专题20 直棱柱、正棱锥的表面积-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题20 直棱柱、正棱锥的表面积 一、知识梳理 1. 直棱柱的表面积公式 设直棱柱的高为,直棱柱表面积 = 侧面积 + 2×底面积，即. · 直棱柱侧面积：底面周长×侧棱长，即； 2. 正棱锥的表面积公式 设正棱锥底面多边形的周长为，正棱锥的斜高为(即侧面等腰三角形的高) 正棱锥表面积 = 侧面积 + 底面积，即. · 正棱锥侧面积：底面周长×斜高，即（为斜高，； · 正棱锥的斜高、高、底面中心到边的距离构成直角三角形，可由勾股定理（为棱锥的高，为底面中心到边的距离）求解斜高. 2、 题型精练 题型1 直棱柱的表面积计算 【典例1】已知正三棱柱的底边长和侧棱长均为2，求该棱柱的表面积. 答案： 分析：本题考查正三棱柱的表面积公式，涉及正三角形面积计算、直棱柱侧面积计算知识点. 详解：正三棱柱的底面为正三角形，底面积，两个底面积为； 底面周长，侧面积侧棱长； 故正三棱柱表面积. 题型2 正棱锥的表面积计算 【典例2】正四棱锥底面边长为8米，高为3米，求该棱锥的侧面积（屋顶表面积）. 答案：80平方米 分析：本题考查正四棱锥的斜高求解及侧面积公式，涉及勾股定理、正棱锥侧面积计算知识点. 详解：正四棱锥底面为正方形，底面中心到边的距离米； 由斜高、高、构成直角三角形，得斜高米； 底面周长米，侧面积平方米. 三、知识检测 1．已知以一个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为，，，求它的体对角线（    ） A．12 B． C． D．16 答案：B 分析：本题考查长方体的体对角线公式知识点. 详解：因为个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为， 所以它的体对角线. 故选：B 2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ） A．48 B．32＋ C．48＋ D．80 答案：C 分析：本题考查由三视图还原直四棱柱及直棱柱的表面积计算知识点. 详解：如题所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱. 其底面上底为2,下底长为4,高为4. 故底面积=12. 腰长为:. 则底面周长为2+4+2=6+2... 侧面积. 则该几何体的表面积为.. 故选:C. 3．如图所示，正三棱柱的底边长和侧棱长均是，则该棱柱的表面积是（   ）．    A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查正三棱柱的表面积公式及正三角形面积计算知识点. 详解：正三棱柱的底边长和侧棱长均是， 则表面积为， 故选：D. 4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查正方体和正四面体的表面积计算及正方体面对角线求解知识点. 详解：正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：B. 5．某仓库屋顶是正四棱锥形状，底面边长为 8 米，高为 3 米，屋顶的表面积为（   ）. A．144 平方米 B．80 平方米 C．64 + 100 平方米 D．64 + 128 平方米 答案：B 分析：本题考查正四棱锥的侧面积计算及斜高的求解知识点. 详解：∵正四棱锥的底面边长为 8 米，高为 3 米， ∴侧面等腰三角形的高为米， ∴正四棱锥的侧面积为平方米，即屋顶的表面积为80 平方米. 故选：B. 6．展览馆搭建正四棱锥形状的展示台，底面边长为，高为，过顶点和底面正方形的一条对角线作截面，该截面的面积为（   ）. A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查正四棱锥的截面面积计算及底面正方形对角线求解知识点. 详解：因为正四棱锥形状的展示台，底面边长为10m， 所以底面正方形的对角线长为， 所以该截面的面积为 ， 故选：A. 7． 如图，长方体中，，若直线与直线所成的角为，则该长方体的表面积为（    ）. 答案：C 分析：本题考查长方体的空间角性质、正方体的判定及表面积计算知识点. 详解：连接，，， 因为在长方体中，，所以. 又，所以即为直线与直线AC所成的角. 所以，所以. 设，，解得. 所以该长方体是棱长为2的正方体，其表面积为6×2×2=24． 故选：C．    8．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的表面积是（     ） A．32 B． C．48 D． 答案：B 分析：本题考查由三视图还原正四棱锥及正四棱锥的表面积计算知识点. 详解：由三视图还原几何体的直观图如图所示： 易知底面正方形的对角线为，底面积为=16 则该正四棱锥的侧棱长为， 则侧面为以4为底，腰为的等腰三角形， 且等腰三角形高为， 则正四棱锥侧面积为：4××4×=16， 则四棱锥表面积是16+16. 故选：B. 9．如图所示，正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比等于（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查正方体的面对角线、正三角形面积及正方体和三棱锥的表面积计算知识点. 详解：设正方体的棱长为， 则正方形的面对角线， 则三棱锥的棱长为，侧面均为等边三角形， 则侧面三角形的高为， 所以三棱锥的表面积为， 正方体的表面积为， 所以三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为， ， 故选：B. 10．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 答案：C 分析：本题考查正四棱锥的底面边长、斜高求解及侧面积计算知识点. 详解：因为底面边长是8，高为，所以底面边长为2， 因为侧面三角形的高、高以及斜高在底面上的射影构成直角三角形， 所以侧面三角形的高为， 故侧面积为4×3×2×. 故选：C. 11．已知正四棱锥的侧棱长为5，斜高为3，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查正四棱锥的底面边长求解及侧面积计算知识点. 详解：如图，在正四棱锥S-ABCD中，侧棱SC=5，斜高SP=3， 所以， 又，则P为CD的中点， 所以CD=2CP=8， 所以该四棱锥的侧面积为. 故选：D. 12．正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（    ） A． B．3 C． D．6 答案：C 分析：本题考查正方体和正八面体的表面积计算及正八面体的棱长求解知识点. 详解：设正方体的棱长为2，则其表面积. 如图，记该正八面体为PEFGHQ，现考虑侧面PGH，取的中点分别为M，连接MG,MH,易得：，所以，则该八面体的表面积. 于是，. 故选：C. 13．如图所示几何体都是由若干个____________围成的，我们把这样的几何体称为多面体．多面体中，每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的____________称为多面体的棱，棱和棱的____________称为多面体的顶点，连接____________同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线． 答案：平面多边形；公共边；公共点；不在 分析：本题考查多面体的基本概念知识点. 详解：如图所示几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体称为多面体． 多面体中，每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱， 棱和棱的公共点称为多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线． 故答案为：①平面多边形；②公共边；③公共点；④不在. 14．制作一个正四棱锥模型，底面边长为 10cm，侧面积为200cm2，则侧面等腰三角形的高为______cm. 答案：10 分析：本题考查正四棱锥的侧面积公式及侧面等腰三角形的面积计算知识点. 详解一个侧面面积为，根据三角形面积公式， 已知底面边长，则高. 故答案为：10. 15．已知正三棱锥的斜高为2，且高为1，则它的底面边长为______. 答案：6 分析：本题考查正三棱锥的斜高、高、底面中心到边的距离的勾股关系及正三角形的边长求解知识点. 详解：    设正三棱锥底面边长AB为,它的底面高CD为, 因为F是顶点在底面的投影，还有是两条中线的交点 所以,所以, 斜高,高h=1,刚好构成直角三角形的三边, 所以,解得. 故答案为:6. 16．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，某一“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为_____________． 答案： 分析：本题考查由三视图还原直三棱柱及直三棱柱的表面积计算知识点. 详解：直棱柱如图所示，该直棱柱的表面积为． 故答案为：. 17．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_________（填序号）． 答案：①④ 分析：本题考查棱柱的拼接及几何体的结构特征知识点. 详解：①可以由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成，拼接方案如下图：      ④可以由两个四棱柱拼接而成，拼接方案如下图：    故答案为：①④ 18．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该正方体的棱长为________；半正多面体的表面积为_______. 答案：； 分析：本题考查半正多面体的外接正方体棱长求解及半正多面体的表面积计算知识点. 详解：根据题意，可将正六边形补全为正方形，是斜边为1的等腰直角三角形，直角边DF=，所以正方形的边长 半正多面体包含6个正六边形，8个正三角形，每个正六边形面积，每个等边三角形的面积， 所以半正多面体的表面积是. 故答案为：； 19．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥.求它的表面积. 答案： 分析：本题考查正四棱锥的表面积计算及侧面正三角形的高（斜高）求解知识点. 详解：因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形，各侧面均为正三角形， 所以四棱锥S-ABCD为正四棱锥. 因为正四棱锥S-ABCD底面棱长为5， 所以正四棱锥S-ABCD的斜高为， 所以正四棱锥的表面积为. 20．如图，把边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当剪裁，即在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），求： (1)要使折成的长方体盒子的底面积为484，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长． 答案：(1)9cm；(2)有最大值，最大值为800cm²，剪掉的边长为10cm 分析：本题考查一元二次方程的应用及二次函数的最值问题，涉及长方体的底面积、侧面积计算知识点. 详解：（1）设剪掉的正方形边长为cm，则长方形盒子的底面积为， 解得或（舍去）. 所以，剪掉的正方形的边长为9cm. （2）设侧面积为， 则，（）. 所以当时，取得最大值800. 所以折成的长方体盒子的侧面积有最大值，最大值为800cm²，剪掉的正方形的边长为10cm. 21． 如图，求棱长都是2的三棱锥的表面积． 答案： 分析：本题考查正三棱锥（正四面体）的表面积计算及正三角形面积求解知识点. 详解：由题意可知|OA|=|OB|=|OC|=|AB|=|AC|=2， 沿着O点作AB的垂线，则H是AB的中点， 所以， 每个面的面积都等于， 所以三棱锥的表面积为. 22．如图所示，已知正四棱锥，底面边长和高都等于2.且为的中点，.求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积. 答案：(1)；(2) 分析：本题考查正四棱锥的二面角求解及三棱锥的体积计算知识点. 详解：（1） 正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面AC，ABCD是正方形， 取AB中点H，连接GH，OH， 易知OHAB，则GHAB， 则即为二面角的平面角， 在中，GO=1，OH=1，GH=，. （2） 由题意得， 则 23．在三棱锥中，是高，，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 答案：(1)；(2)2 分析：本题考查三棱锥的表面积和体积计算，涉及直角三角形的判定、三角形面积求解知识点. 详解：（1）    因为在三棱锥S-ABC中SC是高， 所以SC平面ACB，AC,BC平面ABC， 即SCAC,SCCB， 因为SC=3，ACBC，AC=BC=2， 所以， ， ， 又， 所以为等腰三角形， 进而 所以表面积为3+3+2+. （2）因为在三棱锥中SC是高，SC=3，，AC=BC=2， 所以体积. 24一座雕塑底座为正四棱锥，底面边长为 4 米，高为 2 米. (1)求该正四棱锥的表面积（保留整数）； (2)若要在底座侧面安装彩灯，每米彩灯费用为 150 元，求安装彩灯的总费用（保留整数）. 答案：(1)39平方米；(2)3450元 分析：本题考查正四棱锥的表面积、侧面积计算及斜高求解知识点. 详解：（1）正四棱锥底面边长为 4 米，高为 2 米， 斜高米， 侧面积为平方米， 底面积为平方米，表面积为平方米. （2）由（1）可知，侧面积为平方米， 所以安装彩灯的总费用为23×150=3450元. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 直棱柱、正棱锥的表面积 一、知识梳理 1. 直棱柱的表面积公式 设直棱柱的高为,直棱柱表面积 = 侧面积 + 2×底面积，即. · 直棱柱侧面积：底面周长×侧棱长，即； 2. 正棱锥的表面积公式 设正棱锥底面多边形的周长为，正棱锥的斜高为(即侧面等腰三角形的高) 正棱锥表面积 = 侧面积 + 底面积，即. · 正棱锥侧面积：底面周长×斜高，即（为斜高，； · 正棱锥的斜高、高、底面中心到边的距离构成直角三角形，可由勾股定理（为棱锥的高，为底面中心到边的距离）求解斜高. 2、 题型精练 题型1 直棱柱的表面积计算 【典例1】已知正三棱柱的底边长和侧棱长均为2，求该棱柱的表面积. 题型2 正棱锥的表面积计算 【典例2】正四棱锥底面边长为8米，高为3米，求该棱锥的侧面积（屋顶表面积）. 三、知识检测 1．已知以一个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为，，，求它的体对角线（    ） A．12 B． C． D．16 2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ） A．48 B．32＋ C．48＋ D．80 3．如图所示，正三棱柱的底边长和侧棱长均是，则该棱柱的表面积是（   ）．    A． B． C． D． 4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 5．某仓库屋顶是正四棱锥形状，底面边长为 8 米，高为 3 米，屋顶的表面积为（   ）. A．144 平方米 B．80 平方米 C．64 + 100 平方米 D．64 + 128 平方米 6．展览馆搭建正四棱锥形状的展示台，底面边长为，高为，过顶点和底面正方形的一条对角线作截面，该截面的面积为（   ）. A． B． C． D． 7． 如图，长方体中，，若直线与直线所成的角为，则该长方体的表面积为（    ）.    8．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的表面积是（     ） A．32 B． C．48 D． 9．如图所示，正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比等于（    ） A． B． C． D． 10．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 11．已知正四棱锥的侧棱长为5，斜高为3，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 12．正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（    ） A． B．3 C． D．6 13．如图所示几何体都是由若干个____________围成的，我们把这样的几何体称为多面体．多面体中，每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的____________称为多面体的棱，棱和棱的____________称为多面体的顶点，连接____________同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线． 14．制作一个正四棱锥模型，底面边长为 10cm，侧面积为200cm2，则侧面等腰三角形的高为______cm. 15．已知正三棱锥的斜高为2，且高为1，则它的底面边长为______. 16．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，某一“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为_____________． 17．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_________（填序号）． 18．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该正方体的棱长为________；半正多面体的表面积为_______. 19．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥.求它的表面积. 20．如图，把边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当剪裁，即在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），求： (1)要使折成的长方体盒子的底面积为484，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长． 21． 如图，求棱长都是2的三棱锥的表面积． 22．如图所示，已知正四棱锥，底面边长和高都等于2.且为的中点，.求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积. 23．在三棱锥中，是高，，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 24一座雕塑底座为正四棱锥，底面边长为 4 米，高为 2 米. (1)求该正四棱锥的表面积（保留整数）； (2)若要在底座侧面安装彩灯，每米彩灯费用为 150 元，求安装彩灯的总费用（保留整数）. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $