第08讲 锐角三角函数及其应用（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第08讲 锐角三角函数及其应用 第四章 三角形 3大考点 2大重难突破 4大中考命题点 22题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 ①理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能根据直角三角形的边角关系写出锐角三角函数表达式； ②熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能进行简单计算； ③能由已知锐角三角函数值求对应锐角，或由已知锐角求其三角函数值。。 题型以选择题、填空题为主，侧重基础计算与概念辨析。 考法1：直接考查定义（在直角三角形中求某角的正弦/余弦/正切值），如2025·浙江杭州卷； 考法2：特殊角三角函数值的混合运算（如代入求值、化简），如2025·四川成都卷； 考法3：由三角函数值反求锐角（结合三角函数表或计算器），多以填空题形式出现。 解直角三角形 ①理解解直角三角形的含义，知道在直角三角形中，除直角外，已知两个元素（至少有一条边），可以求出其余未知元素； ②能运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形； ③能根据实际问题情境，选择合适的边角关系进行计算。 题型涵盖选择题、填空题、解答题，解答题常结合实际应用考查。 考法1：纯几何解直角三角形（已知一边一角或两边，求其余边和角），如2025·江苏苏州卷； 考法2：在非直角三角形中通过作高转化为直角三角形求解，如2025·湖北武汉卷； 考法3：与相似三角形、圆等知识结合的综合计算，侧重知识迁移能力。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 解直角三角形的实际应用 ①能将实际问题（如测量、航海、工程等）抽象为直角三角形模型； ②理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念，能在实际情境中识别并运用； ③能运用解直角三角形的知识解决实际问题，形成数学建模意识。 题型以解答题为主，是中考高频考点，常作为中档题或压轴题的一部分。 考法1：测量高度问题（仰角、俯角），如测量建筑物、山峰高度（2025·广东广州卷）； 考法2：坡度与坡角问题（如水库大坝、楼梯坡面计算），如2025·重庆卷； 考法3：方位角问题（航海、搜救路线），如2025·山东青岛卷； 考法4：结合函数图像或网格的实际应用，侧重数形结合能力。 龙江齐齐哈尔卷，2025·四川南充卷） 锐角三角函数的综合拓展 ①理解垂线、垂线段概念，能用三角板/①能运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的几何综合问题； ②初步了解三角函数在解决一般三角形问题中的作用，为高中学习铺垫； ③能通过构造辅助线，将复杂图形转化为直角三角形进行分析。 题型以解答题（压轴题）为主，侧重综合能力与数学思想。 考法1：与相似三角形、全等三角形结合，证明线段比例或角度相等，如2025·北京卷； 考法2：与圆结合（如圆周角、切线性质），利用三角函数求弦长、半径等，如2025·江苏南京卷； 考法3：动态几何问题（点、线、面运动），结合三角函数分析最值或路径问题，如2025·四川绵阳卷。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：2026年全国中考数学 “锐角三角函数及其应用” 模块将以基础题与中档题为主，聚焦核心概念、基本计算与实际建模应用，重点考查锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形及仰角 / 俯角、坡度、方位角等实际情境应用，题型以选择、填空、简单解答为主，综合题侧重与相似、圆等基础几何结合，难度稳定在易到中档，注重数学建模与直观推理，不涉及复杂三角恒等变换，常结合测量、工程、航海等生活情境与简单图形综合考查。 备考建议：备考时紧扣课标核心，夯实锐角三角函数定义与特殊角值，强化解直角三角形的基本方法训练，熟练掌握仰角/俯角、坡度、方位角等实际问题的建模与求解，规范几何语言与解题步骤，针对性突破易错点(如非直角三角形的辅助线构造、特殊角值混淆、实际情境的图形抽象),结合典型例题与真题训练，提升图形直观分析与数学建模能力，确保基础题不丢分、中档应用题能得分。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，我们定义三个三角函数： 名称 符号 定义（在Rt△ABC 中，∠C=90°） 记忆口诀 正弦 sinA 对边比斜边 余弦 cosA 邻边比斜边 正切 tanA 对边比邻边 注意： 1.三角函数的大小只与角的大小有关，与三角形的边长无关。 2.定义的前提是在直角三角形中，非直角三角形需要先构造直角。 ∟ C B A 知识 • 核心梳理 二、特殊角的三角函数值（中考必背）这是计算的核心，必须熟练记忆： 角度α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、重要性质与推论 1.互余角关系： 在直角三角形中，若∠A+∠B=90°,则： ， 即：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，反之亦然。 2.同角三角函数关系： 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 解：∵在中，，，， ∴， ∴， C 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； B 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 3．（2025·江苏南通·中考真题）在中， ，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 解：在中， ， ， ， ∴ ． ∴ ． 根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义 （为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 解析 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 解：如图，在图中标注，， 设，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵的面积为， 网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴，∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 5．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴，解得， ∴， ∴． 解：如图，延长，交于点，在中， ，， ∴， ∵四边形是矩形，∴， ∴， ， ∵，∴， ，， ∴， ∴，， ， 真题 • 实战精炼 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． ∴ ， ∴， ∴ ， ，， ∴， ， ∴． 知识 • 核心梳理 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 二、解直角三角形的核心依据 1.三边关系(勾股定理)： 一、什么是解直角三角形？ 定义：在直角三角形中，除直角外，已知2个元素（至少有1条边），求出其余未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。 前提： 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c（c为斜边），三个角为∠A，∠B，∠C。 2.角的关系： 3.边角关系(锐角三角函数) ∟ C B A 知识 • 核心梳理 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 三、可解的4种基本类型 已知条件 解题步骤 1. 已知斜边c和一个锐角A ①求；②求；③求 2. 已知一条直角边a和锐角A ①求；②求；③求 3. 已知斜边c和一条直角边a ①求；②求，得∠A；③求 4. 已知两条直角边a，b ①求；②求，得∠A；③求 四、非直角三角形的处理方法 如果题目给的是斜三角形(没有直角),需要先构造直角三角形： 1.作高法：过一个顶点作对边的高，把斜三角形分成2个直角三角形。 2.利用特殊角：若有30°，45°，60°等特殊角，优先在这些角处作高。 3.方程思想：设未知边长，利用勾股定理或三角函数列方程求解。 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 1．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ) A． B．2 C． D． 解：如 图，过作于，∵正方形， ∴，， ，， ，， 由对折可得：，， ，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴；. B 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A． B．4 C． D． 解：如图1，在点A的右侧取一点G， 使得，连结，， 过点F作于点H， 直线，，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A． B．4 C． D． ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A． B．4 C． D． ，， ，， 设，则，， ，， ， ，， ，解得， ，，，， ，， ， ，，解得， 当最短时，则的长度为4． B 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长， ， ∴，∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴；． A 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 4．（2025·江苏盐城·中考真题） 计算：． 解： ． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）计算： ． 解：， ， ， ． 6．（2025·青海·中考真题）计算： 解： ． 真题 • 实战精炼 考点二 考点二 解直角三角形的相关计算 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． （1）解：∵中， 的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴ ； （2）解：由（1）知： ， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 知识 • 核心梳理 考点三 解直角三角形的应用 通用解题模板 1.读题画图：画出几何图形，标注所有已知角度、边长。 2.抽象模型：将实际图形转化为一个或多个直角三角形。 3.选三角函数： ①已知斜边和角→用sin/cos ②已知角和对边/邻边→用tan 4.列方程求解：设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程。 5.检验作答：验证结果是否符合实际意义，按要求保留小数或根号。 六、避坑提醒 概念混淆：坡度是竖直：水平，不是竖直：坡面。 角度看错：仰角/俯角是与水平线的夹角，不是与竖直方向。 方位角描述：必须以正北/正南为起点，如“北偏东”不能写成“东偏北”。 单位统一：注意题目中距离单位是否一致。 解：由题意，作于，于， ． ，． ． ，． ． ∵． ，． ．． ， 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 1．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____ 四边形是矩形．． 在中，， ． 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 解：如图，延长，交点为， 过点作于点， 过作交于点．由题意得， ，，， ，之间的距离为， 在的中点处，， ∵中，， ， ， ，为中点，∴， 为的中点， 即， ， 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 设 ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 3．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） （1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，， ，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 3．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中， ， 在中， ， 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． （1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； E ∟ F ∟ 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 5．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． H ∟ 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 6．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 6．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 解：（1）①由题意知， 米，米， 米， 即点到地面的距离是米， ② 米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中， 米， 米， 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 6．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． （2）如图，延长交于点，则， 米， ， ， ， 在中， 米， ，即， 延长交于点，过作交于， ， ， 为使头部不被淋湿， ∴， 解得，又， 所以； ； 真题 • 实战精炼 考点三 解直角三角形的应用 6．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． （3）设小丽将手臂水平前伸了米时， 身体恰好不会被淋湿，如图，延长交于点， 过作交于，延长交于， 过作交于， 则，，，， ∴在中，， ， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 锐角三角函数的基本概念以及简单运算 命题点一 ►题型01 求角的正弦值 ►题型02 已知正弦值求边长 ►题型03 求角的余弦值 ►题型04 已知余弦求边长 ►题型05 求角的正切值 ►题型06 已知角的正切值求边长 ►题型07 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 ►题型01 求角的正弦值 【典例】（2026·广西贵港·一模）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：∵在中，， ，， ∴； ∴． C ►题型01 求角的正弦值 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了时，垂直高度下降了．则（    ） A． B． C． D． 解：如图，记一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了，此时在点处，则， 过点作于点，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， A F ∟ E ►题型01 求角的正弦值 【变式2】（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 解：如图，连接，∵四边形是矩形， 为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得： ， ∴，， ∵的延长线过点，∴， 在和中，， ∴， ∴，∴， 又∵， ∴，∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，∴， 在中， ， A ►题型02 已知正弦值求边长 【典例】（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，∴ A ►题型02 已知正弦值求边长 【变式1】（2025·云南昆明·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 解：如图，过点作于点C，  根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴重合部分构成的菱形的边长大约在到之间． C C ∟ ►题型02 已知正弦值求边长 【变式2】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 解：在中， ， 所以 B ►题型03 求角的余弦值 【典例】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，， ，为斜边上的中线，则的值为______． 解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ►题型03 求角的余弦值 【变式1】（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为_____． 解：如图，设交于F， 是的平分线， ． ， ． 在和中 ． ． ，． ． ， ． ►题型03 求角的余弦值 【变式2】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为______________ 解：四边形是矩形， ，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ∴， ∵， 又∵，∴， ∴ ►题型04 已知余弦求边长 【典例】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________． 解：∵的余弦值是，， ∴， ∵，∴， 解得， 16 ►题型04 已知余弦求边长 【变式1】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ►题型04 已知余弦求边长 【变式2】（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，将边绕点逆时针旋转至的位置，连接，，，若，且，则的面积为_____． 解:如图，过点作，垂足为， 过点作，垂足为， ∵， ∴， 又 ∴ ， ，， ，． ►题型05 求角的正切值 【典例】（2025·上海杨浦·一模）已知在锐角中，，点D在上，，，那么的值为__________． 解：作，则， ∴，∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴ ►题型05 求角的正切值 【变式1】（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________． 解：如图1，连接，由七巧板可知， ，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵，∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则，∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． ►题型05 求角的正切值 【变式2】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 解：当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 或 ►题型06 已知角的正切值求边长 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为_______． 解：过F作于G，在正方形中，， ∴，，， 又，∴， ∴， ∵，∴， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， G ∟ ． ►题型06 已知角的正切值求边长 【变式1】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点 ，点为的中点，连接，若，则___________． 解：如图所示，连接， ∵点、分别为、边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∵点为的中点，∴ ►题型06 已知角的正切值求边长 【变式2】（2025·云南昆明·二模）如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 解：∵在中，若， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴的值估计在4到5之间， B ►题型07 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 一、网格里求三角函数的核心思路 方格图中，角的顶点通常在格点，求sinα、cosα、tanα只有一句话： 把角放进直角三角形里，用“横、竖、斜”三数直接算。 二、万能四步法(所有题通用) 1.找到角α：看清角的顶点、两条边。 2.在角的一条边上取一个格点：向另一条边作垂线，构造直角三角形。 3.数格子算三边长 ①水平段：横向格数→邻边 ②竖直段：竖向格数→对边 ③斜边：用勾股定理算： 4.套定义： ►题型07 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 【典例】（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每 个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴，∴， ∴， 设小菱形的边长为， 取格点，，连接交于点， 则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴，， 在中， ， ∴． ►题型07 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则_______． 解：连接，由题可知，此时，  在网格中，由勾股定理可得： ， ， ∴在中，． ∟ ►题型07 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 【变式2】（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 解：连接，交于点，∵菱形， ∴ ， ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形， ，， ∴，， ∴； 特殊的锐角三角函数 命题点二 ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 ►题型02 由锐角三角函数求锐角 ►题型03 锐角三角函数的增减性 ►题型04 利用同角三角函数关系求值 ►题型05 互余两角三角函数的关系 ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 万能解题步骤 第1步：先把所有三角函数换成数值 看到sin30°、cos45°、tan60°，立刻替换成数字/根式，不要边算边代。 第2步：按运算顺序计算 1.先算乘除，后算加减 2.有括号先算括号里 3.有平方、绝对值、零指数、负指数，先算这些 第3步：统一分母，合并根式 ①有分数就通分； ②根式要写成最简二次根式； ③结果写成：整式+最简根式 第4步：检查符号 减号、负号、括号前是负号要变号，别把sin、cos、tan再带回去 ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 【典例】（2026·陕西西安·一模）计算： ． 解： 原式 ． 【变式1】（2026·湖南衡阳·一模）计算： ． 解： ． ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 【变式2】（2026·上海长宁·一模）计算：． 解： ． ►题型02 由锐角三角函数求锐角 【典例】（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴，， ∴， A ►题型02 由锐角三角函数求锐角 【变式1】（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴ C ►题型02 由锐角三角函数求锐角 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意； 选项A、B、D说法错误，不符合题意． C ►题型03 锐角三角函数的增减性 锐角三角函数的增减性——解题思路 一、先记结论(0°～90°之间) 1.sinα:角越大，值越大(单调递增) 2.cosα:角越大，值越小(单调递减) 3.tanα:角越大，值越大(单调递增)一句话口诀：正弦正切越大越大，余弦越大越小。 2.已知函数值大小，判断角度大小 ①若sinA>sinB→∠A>∠B ②若tanA>tanB→∠A>∠B ③若cosA>cosB→∠A<∠B 1.比较两个三角函数值大小 步骤： 1.看是不是同一种函数 (都是sin、都是cos、都是tan) 2.看角度是不是都在0°～90° 3.直接用增减性判断： ①sin/tan：角大→值大； ②cos：角大→值小 二、解题通用思路 ►题型03 锐角三角函数的增减性 【典例】（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小． 已知，当取最小值时， 即，的值最大，即最大值为． A ►题型03 锐角三角函数的增减性 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． B ►题型03 锐角三角函数的增减性 【变式2】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 解： ， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． D ►题型04 利用同角三角函数关系求值 【典例】（25-26九年级上·山东滨州·期末）我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， A ►题型04 利用同角三角函数关系求值 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 解：如图，在中，， 则，，∴， 又∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， 整理得：， ∴ 整理得：， 解得， 即或， ∵，， ∴， 得，∴， ►题型04 利用同角三角函数关系求值 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________． 解：依题意得：则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴，∴ ， 解得 ，， ∴， ►题型05 互余两角三角函数的关系 【典例】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若锐角且为锐角， 则．已知，则的值为______． 解：如图，, , 因为为锐角，且， 所以， 则 ， 【变式1】（2025·安徽亳州·一模） 若，则_______． 解：∵ ，∴. 解直角三角形相关计算 命题点三 ►题型01 解直角三角形与勾股定理 ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 ►题型03 构造直角三角形求线段距离 ►题型04 解直角三角形中求线段长度 ►题型01 解直角三角形与勾股定理 【典例】（24-25九年级上·山东淄博·月考）在中，，为锐角且，． (1)求的度数 ． (2)求的长． （1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵，∴， ∵，∴， 在中，， ∵，∴， 即:， 解得， ∴． H ∟ ►题型01 解直角三角形与勾股定理 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 解：四边形是矩形， ，， ， 点E是边CD的中点，， 在中， ， ， B ， ， ， 在中， ， ►题型01 解直角三角形与勾股定理 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 设， B D ∟ 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 【典例】（2025·四川广元·一模）如图， 在中， ， ， 按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点， 连接， 则的周长为_______． 解：由作法得到平分，，∴ 在和中， ∴ ∴, ∵ ∴， ∴的周长 ． ． ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 【变式1】（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________． 解：由作图可知，，为的垂直平分线， ，， 设， ， ，， ，， ，， 直线所在直线为， 联立，， 点的坐标为． 设直线解析式为， ，解得：， ， ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）如图，，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点C，D．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接，过点P分别作，交于点E，，交于点F．若，则四边形的面积为______（用含a的代数式表示）． M ∟ 解：如图所示，过P作于M，则， 由作图可知平分，且， ∴， ∴在中，直角边， ∵，∴， ∴，∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，∴， ∴在中， ， ∴， ∴ . ►题型03 构造直角三角形求线段距离 【典例】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 解：过点作，垂足为D，  在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． A D ∟ ►题型03 构造直角三角形求线段距离 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中， ，则的长为___________． 解：如图所示，作于，设， ， ，， ， 即，解得：， 在中，， 即：， ， ， D ∟ ►题型03 构造直角三角形求线段距离 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 解：如图所示，过点作于点，作线段的中点， 连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，∴ 根据翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时， 的值最小， 即为线段的长度， ∵， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴，即的最小值为．   ►题型04 解直角三角形中求线段长度 【典例】（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 解：如图，连接，四边形为菱形， ， ， 为等边三角形． 分别是边的中点，， ， ， 在中， ， 在中，． D ►题型04 解直角三角形中求线段长度 【变式1】（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　）   A． B．1 C． D． 解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， B ►题型04 解直角三角形中求线段长度 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ►题型04 解直角三角形中求线段长度 【变式3】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形中，，，等边三角形的边平分，交于点，边过点，则的长为（    ） A． B． C． D． H ∟ 解：如图，过点作于， 平分，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， A 解直角三角形的实际应用 命题点四 ►题型01 仰角俯角问题 ►题型02 方位角问题 ►题型03 坡度坡比问题 ►题型04 跨学科类问题 ►题型05 实践与探究类问题 ►题型06 其他类问题 ►题型01 仰角俯角问题 一、两个概念 ①仰角：从水平线往上看，视线与水平线的夹角 ②俯角：从水平线往下看，视线与水平线的夹角 共同点：都和水平线形成直角三角形! 3.认准三角函数 ①已知/求：对边+邻边→用tan(最常用) ②已知/求：对边+斜边→用sin ③已知/求：邻边+斜边→用cos 4.列方程: →计算→写答 三、标准解题四步走 1.画图，标已知 ①标出：仰角/俯角、高度、水平距离 ②找出：直角(水平线工竖直线) 2.把角“搬”到直角三角形里 ①仰角：在下方的直角三角形里 ②俯角：利用平行线内错角相等， 转化到下方的三角形里→俯角=底下的仰角 二、解题核心思路 所有仰角俯角题，本质只有一件事： 构造直角三角形→找水平/竖直边 →用三角函数/勾股。 ►题型01 仰角俯角问题 【典例】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)；(2)求山体的垂直高度(精确到)．(参考数据：，，，，) （1）解：在中，， ，，， ． 答：点的垂直高度约为． （2）解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度， 则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， 在中，， ， ，解得． 答：山体的垂直高度约为． ， ． ►题型01 仰角俯角问题 【变式1】（2026·陕西西安·二模）跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） ►题型01 仰角俯角问题 【变式1】（2026·陕西西安·二模）图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） 解：如图，连接，过点作于，过点作于，延长交于，∵平行于地面， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∵，∴， 设，∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：大跳台最高点离地面的高度约为． ►题型01 仰角俯角问题 【变式2】（2025·陕西西安·一模）实验中学校园1号教学楼前有一尊孔子雕像，活动实践课上，小晨所在的兴趣小组准备测量该孔子雕像的高度．测量方法如下：如图，小晨站在雕像前，从处测得雕像顶端的仰角为，小轩站在教学楼门前的台阶上，从处测得雕像顶端的仰角为．已知点在同一条直线上，所有点均在同一平面内，，台阶的高度．请你根据以上信息，求出孔子雕像的高度．（结果保留整数，参考数据： ） 解：过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 又∵，∴， ∴， ∴， 在中，， 即， F ∟ 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度约为． ►题型02 方位角问题 方位角问题(解直角三角形)解题思路 一、先记住2个关键点 1.方位角： 以正北、正南为基准，向东/向西偏多少度。 3.认准用哪个三角函数 方位题几乎全用tan： 已知角和一边→求另一边 两个直角三角形就联立/加减 4.计算+写答 ①特殊角直接代值 ②结果保留根式或按要求近似 二、万能解题步骤 1.画标准图 ①每个观测点都画：十字线(正北、正南、正东、正西) ②标出：方位角、已知边长、所求边长。 2.把方位角“转化”到直角三角形里 南北线水平线→一定有直角 利用：互余、内错角、平行线性质， 把题目给的方位角变成直角三角形里的内角。 2.所有方位角题，本质都是： →画南北、水平线 →造直角→解直角三角形。 ►题型02 方位角问题 【典例】（2026·陕西西安·一模）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 解：过点A作于点A，过点C作， 交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，， 四边形是矩形，， ∴，， ，， ∵小明以的速度从C打卡点沿 方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴． ►题型02 方位角问题 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． （1）解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形， ，， ∴． ∵在中， ∴（米）． M ∟ ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． ►题型02 方位角问题 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． M ∟ （2）解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，， ， ∴， 在中， ∴米， 米， 由（1）知， （米）， 米， N ∟ ∴ 米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． ►题型02 方位角问题 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． ►题型03 坡度坡比问题 坡度、坡比问题(解直角三角形)解题思路。 设坡面的铅直高度为h,水平宽度为l,坡角为α。 1.坡比(坡度)i 2.坡角α: 坡面与水平面的夹角。 3.坡面长度 ►题型03 坡度坡比问题 【典例】（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米．  (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离；(2)求松树EF的高度． （参考数据：） （1）后山的坡比为3：4， 设，， ，由题可得：（米）， ，， （米），（米）， （米）， （米）． ►题型03 坡度坡比问题 【典例】（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米．  (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离；(2)求松树EF的高度． （参考数据：） （米）， （米）， （米）， （米）． （2）过点作， 过点作， ，， （米）， （米）， 在中，， ， ►题型03 坡度坡比问题 【变式1】（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． （1）解：由题意得： 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为： ， 由题意得：点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为： ； ►题型03 坡度坡比问题 【变式1】（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． E ∟ （2）此次击球有失误． 理由：当时， ， 解得：， （不合题意，舍去）， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵的坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴此次击球有失误． ►题型03 坡度坡比问题 【变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． ►题型03 坡度坡比问题 【变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． F ∟ E ∟ 解：过点D分别作，交的延长线于点E，于点F， 则四边形是矩形，∵斜坡坡度, 在中，米， （米） ∴（米）， （米） ∴（米） ∴（米） 在中， （米） （米） ∴火箭模型AB的高度为米．   ►题型04 跨学科类问题 【典例】（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度为________cm（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），测得：DE=28cm, MN=8cm,"∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin12°=0.21,cos 12°=0.98,tan 12°=0.21） （1）解：∵，， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴， （2）解：在中， ∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点， 则四边形是矩形， ►题型04 跨学科类问题 【典例】（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度为________cm（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），测得：DE=28cm, MN=8cm,"∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin12°=0.21,cos 12°=0.98,tan 12°=0.21） ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． ►题型04 跨学科类问题 【变式1】（2025·河北·一模）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． ►题型04 跨学科类问题 【变式1】（2025·河北·一模）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； （1）解：， ， ， ， ∴， 即该介质的折射率为； ►题型04 跨学科类问题 【变式1】（2025·河北·一模） (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． （2）解：∵，折射率为， ∴， ， ，， 设， ， ，∴， ，， ，， 设， ， ， ∴， ， ， ． ∵，折射率为， ∴，， ►题型04 跨学科类问题 【变式2】（2025·江西宜春·三模）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度；(2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） ►题型04 跨学科类问题 【变式2】（2025·江西宜春·三模）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度；(2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） G ∟ （1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是，∴． ∴在中，， ∴， ∴． ►题型04 跨学科类问题 【变式2】（2025·江西宜春·三模）【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度；(2)若，求水的折射率n． （参考数据；，，） （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ． G ∟ 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． ►题型05 实践与探究类问题 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】 直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】 在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽． （结果精确到） H ∟ 解：如图，作于， 在中， ， ，， ， 在中，， ∵矩形，， ∴， ， ， ， ∵， ， ►题型05 实践与探究类问题 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】 直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】 在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽． （结果精确到） H ∟ 在中， ， ， ． ∴矩形配件的长和宽分别约为，． ►题型05 实践与探究类问题 【变式1】（2026·山东滨州·一模）【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 (1)请求出图③中圆心到的距离； (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． ►题型05 实践与探究类问题 【变式1】（2026·山东滨州·一模） 【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 【问题解决】 (1)请求出图③中圆心到的距离； （1）解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为， 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴弓形高， ， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 答：圆心F 到的距离为． ►题型05 实践与探究类问题 【变式1】（2026·山东滨州·一模） 【问题提出】图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在直角中，， ∴， ∵由绕点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 答：的长度约为． ►题型05 实践与探究类问题 【变式2】（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． ►题型05 实践与探究类问题 【变式2】（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1：（1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 解：任务1： 悬托架米， 点固定在伞面上， 且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于， 而， ►题型05 实践与探究类问题 【变式2】（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1：（1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 解：任务1： ②如图，过点 作于点， 过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ∵米，在中， ，又， 解得：米， 此时影子的长度为米； ►题型05 实践与探究类问题 【变式2】（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务2：（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 任务2：小明会 被照射到． 理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米，米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为: ， 小明会被照射到. ►题型06 其他类问题 【典例】（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） （1）解：延长交于点X，  由题意得：、， 、是的外角 ►题型06 其他类问题 【典例】（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） （2）解：延长交于点Y，， 、、 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 的长约为； ►题型06 其他类问题 【典例】（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） （3）解：延长， 交于点Z，与于点， ， 由（1）知 、 ， ， ， ， ， ， ， ►题型06 其他类问题 【典例】（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 作于点， 则 ， ， 根据题意可得 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ►题型06 其他类问题 【典例】（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 由题意得：， ， ， 的长约为． ►题型06 其他类问题 【变式1】（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． （1）解：如图，过点C作， 垂足为M，则， ∵垂直水平地面， 臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ， ， ， 即点A到地面的距离为； M ∟ ►题型06 其他类问题 【变式1】（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，∴； ，， ， ，， ， ， ， 点A到地面的距离为 ． ►题型06 其他类问题 【变式1】（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． M ∟ E ∟ F ∟ （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线， 垂足分别为E，F，则四边形是矩形，∴； ，， ， ，， ， ， ， 点A到地面的距离: ． ►题型06 其他类问题 【变式2】（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） （1）解：如图，连接， ，， ∵在中，，， ， ．同理可得，， 点D，E重合，． （2）解：如图， 连接，过A点作于点H， ，， ，在中， ， ，， H ∟ ， 此时操作人员取盘手势不自然． ►突破一 特殊锐角三角函数的最值问题 【典例】（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为______． 解：如图，延长使，连接， ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， 当共线且时， 有最小值， 最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴和都是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，设点到直线的距离为,即中边上的高， ，解得:． 故点到直线的距离为． ►突破一 特殊锐角三角函数的最值问题 【变式1】（2025·江苏连云港·二模）如图，矩形中，，，点G是的中点，点P是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿所在直线翻折，得到四边形点E、F分别与点D、A对应，H点是的中点，连接，当最小时，的长为______． 解：如图，连接，，∵四边形是矩形， ∴，， ∵G是的中点，， ∵，∴当点H落在上时，的值最小 如下图，连接，延长交于点J，过点J作于点K，设交于点T，  ∵，， ，， ∵，∴， K ∟ 设，， ，， ，， ，， ►突破一 特殊锐角三角函数的最值问题 【变式1】（2025·江苏连云港·二模）如图，矩形中，，，点G是的中点，点P是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿所在直线翻折，得到四边形点E、F分别与点D、A对应，H点是的中点，连接，当最小时，的长为 ． K ∟ ，，， ， 设，则，， ，， ，， ，， ， ►突破二 解直角三角形与函数综合 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若 ，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（   ） A． B． C． D． 解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形，∴， 设，则， 设，则由平移的性质可知， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于， ∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数， 且随的增大而减小， ∴选项符合题意． ►突破二 解直角三角形与函数综合 【变式1】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ，， ， M ∟ ►突破二 解直角三角形与函数综合 【变式1】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 当点Q在上时，即时，   四边形是菱形，， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， C ►突破二 解直角三角形与函数综合 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积y最大， 此时点P与点C重合时，点E与点A重合，， 重合部分的面积y是菱形的面积， 由图象可得，此时， ，∴，， ∵，即， ∴，故A选项错误． 连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ，∴在中， ， ∴，故选项B错误； O ►突破二 解直角三角形与函数综合 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， ∵在菱形与菱形中， ，且， ∴菱形与菱形全等， ∴， ∴， ∴， ∴点O与点E重合，如图所示， 设与相交于点M， 与相交于点N，连接，交于点H， ∵在菱形和菱形中， ， ， 又， ∴，， ∴，， ►突破二 解直角三角形与函数综合 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，∴ ∵在中，， ∴在中， ， ∴， ∴， 即，故选项C正确． 由图象可得，当时，，故选项D错误． C 感谢聆听! $