精品解析：2026年山东省春季高考第二次模拟考试数学试题

2026年山东省春季高考第二次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上 1. 已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 2，3 B. ， C. ， D. 0，4，6 2. 已知，若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 定义一种新运算：，则（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 18 5. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若是三角形的内角，且，则等于（ ）. A. B. 或 C. D. 或 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 圆心坐标为，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 过直线与的交点，且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数对任意实数，都有，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 14. 在的二项展开式中，若含项的二项式系数最大，则实数（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 15. 已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 16. 某中等职业学校现有学生会干部9名，其中男生5名，女生4名，学校要从这9名同学中任选4名参加奥运宣传活动，则恰好选到男，女生各2名的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 若椭圆的焦距为2，则m的值为（    ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 18. 在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不确定 19. 从3名班干部和4名学生中选出4人参加一项活动，班干部既不能全去，也不能全不去，则所有不同的选法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 38 D. 30 20. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上 21. 在等差数列中，若，，则__________. 22. 函数的单调递增区间是__________. 23. 某考试项目规定4道题中答对3道及以上为及格，甲参加一次考试，若他解每道题的正确率均为，则他能及格的概率约是__________（精确到）. 24. 已知向量，，若函数，则该函数的最小值是__________. 25. 已知函数，当时，；当时，.有下列说法： ①； ②若点，在上，且，则； ③若方程的两实数根为，，且，则，. 其中，正确的序号是__________. 三、解答题：本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上 26. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 27. 已知等差数列，，记前项和为，且.问该数列的前多少项的和最大，并求这个最大值. 28. 在中，已知角，，对边为，，，且. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 29. 如图所示，已知正方体的棱长为1. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 30. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示. （1）求抛物线及双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线过一、三象限的渐近线平行，交抛物线于，两点，交双曲线于点，且点是线段的中点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省春季高考第二次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上 1. 已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 2，3 B. ， C. ， D. 0，4，6 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示出集合，将可转化为，分和分别求出集合，再根据子集的概念可得结果. 【详解】， 因为，所以. ①当时，符合题意； ②当时，， 由可得，或，解得或， 综上所述，实数的值是或或. 故选：D 2. 已知，若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可比较大小. 【详解】因为，且，， 所以， 所以，即. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在函数中，先令，计算可得，仿此再计算可得结果. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故选：C 4. 定义一种新运算：，则（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合新运算的计算公式，及指数幂的运算，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形可求解. 【详解】 由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示： 其中，, 所以. 故选：C 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件与必要条件的概念求解. 【详解】若，显然，那么，所以可得，充分性成立， 若，当时，，不满足，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】，且， ， . 故选：D. 8. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：A. 9. 若是三角形的内角，且，则等于（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为是三角形的一个内角，所以， 又因为，则或. 故选：B. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调性可得，再根据偶函数的性质可得结果. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，. 又在上是增函数，且， 所以，即. 故选：B 11. 圆心坐标为，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合两点之间的距离公式先求得半径，结合圆心坐标即可求得圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且过点， 所以半径， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 12. 过直线与的交点，且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组求出交点坐标，根据平行关系设出直线方程，将交点代入方程中即可得解. 【详解】联立方程组，解得，所以交点坐标为， 设所求直线方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线方程为， 故选：. 13. 已知函数对任意实数，都有，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出函数关于对称，代入对称轴公式即可得解. 【详解】函数对任意实数，都有， 则函数图像关于对称， 则，解得， 故选：. 14. 在的二项展开式中，若含项的二项式系数最大，则实数（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质确定的值. 【详解】的二项展开式的通项， 可得含项时，即为二项展开式的第6项， ∵含项的二项式系数最大， ∴含项为中间项，即第6项为中间项， ∴二项展开式共11项，所以， 故选：C. 15. 已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】一元二次方程的一个根是，另一个根是， 由韦达定理得， 所以. 故选：B. 16. 某中等职业学校现有学生会干部9名，其中男生5名，女生4名，学校要从这9名同学中任选4名参加奥运宣传活动，则恰好选到男，女生各2名的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率的计算公式，并结合组合数公式求解即可. 【详解】设事件“恰好选到男，女生各2名”为事件A， 则. 故选：B. 17. 若椭圆的焦距为2，则m的值为（    ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：C. 18. 在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数及标准差的意义判断即可. 【详解】由题意可知， 甲、乙7场比赛的平均数相等．而甲、乙两位同学标准差分别为和， 所以甲的标准差大于乙的标准差，发挥更稳定的是乙. 故选：B 19. 从3名班干部和4名学生中选出4人参加一项活动，班干部既不能全去，也不能全不去，则所有不同的选法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 38 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意计算出总选法数，减去班干部全去和全部去的种数即可得解. 【详解】从3名班干部和4名学生中选出4人参加一项活动，共有种， 班干部全去的种数有种，班干部全不去的种数有种， 所以班干部既不能全去，也不能全不去的种数有种， 故选：. 20. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面、面面的位置关系判定定理，逐一分析选项. 【详解】选项A：若，，直线还可能落在平面内，不一定满足，因此A错误. 选项B：平行于同一个平面的两条直线，可能相交、也可能异面，不一定平行，因此B错误. 选项C：由，可推出，又已知，可得，因此C正确. 选项D：因为和不一定相交，因此不能推出，D错误. 故选：C. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上 21. 在等差数列中，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项，公差分别为， 由题意得，，解得，所以. 故答案为：. 22. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】函数的单调递增，则， 即，解得, 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 23. 某考试项目规定4道题中答对3道及以上为及格，甲参加一次考试，若他解每道题的正确率均为，则他能及格的概率约是__________（精确到）. 【答案】## 【解析】 【分析】由每道题的正确率为得每道题错误的概率为，结合独立重复实验得概率公式即可求解. 【详解】因为甲解每道题的正确率为，则甲解每道题错误的概率为， 因为规定4道题中答对3道及以上为及格， 所以甲要及格则需答对3道题或者四道题， 答对3道题的概率为， 答对4道题的概率为， 所以他能及格的概率为. 故答案为：. 24. 已知向量，，若函数，则该函数的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的内积求出函数解析式，结合辅助角公式及正弦函数的性质即可得解. 【详解】向量，， 函数， 其中， 所以函数的最小值为，此时. 故答案为：. 25. 已知函数，当时，；当时，.有下列说法： ①； ②若点，在上，且，则； ③若方程的两实数根为，，且，则，. 其中，正确的序号是__________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性以及性质求解即可. 【详解】已知二次函数，二次项系数，因此抛物线开口向上，对称轴为， 判别式. ①：当、时，开口向上的抛物线存在两点在x轴下方， 则判别式，即，得，所以①错误. ②：开口向上的二次函数，对称轴左侧函数单调递减，故②正确. ③： 开口向上的二次函数，的范围是两根之间. 因为和都满足，则，③正确. 故答案为：②③. 三、解答题：本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上 26. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据把代入函数解析式，结合对数的运算即可求解. （2）根据对数函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为函数，则，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，则， 因为在上单调递增， 所以，解得，即实数的取值范围为. 27. 已知等差数列，，记前项和为，且.问该数列的前多少项的和最大，并求这个最大值. 【答案】15；225 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式求出公差，再根据等差数列通项求解即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为，，所以， 整理计算得：，解得公差，所以. 令，即，解得. 故等差数列的前15项均为正数，从第16项开始全为负值， 因此时取得最大值，最大值为. 28. 在中，已知角，，对边为，，，且. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，再根据特殊角的三角函数值求解即可. （2）根据正弦定理以及三角函数的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为为三角形的内角，所以，进而. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 因为，所以或，进而或. 当时，； 当时，. 29. 如图所示，已知正方体的棱长为1. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 底面积. 所以三棱锥的体积为. 30. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示. （1）求抛物线及双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线过一、三象限的渐近线平行，交抛物线于，两点，交双曲线于点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线方程，求得抛物线方程及焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，利用双曲线的定义，求出的值，据此可求解； （2）设，根据双曲线的渐近线方程，可得直线的斜率，由中点公式可得， 将，两点代入抛物线方程，作差变形可得，代入双曲线方程求出点，据此可求解. 【小问1详解】 因为点是抛物线上的一点， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，焦点坐标为 所以双曲线的焦点为，. 又点是双曲线上的点，根据双曲线的定义可得： ，解得， 从而，所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由双曲线可知，过一、三象限的渐近线， 故所求直线的斜率. 设，则 ，两式相减，可得， 因为，， 所以，解得， 又因为在上， 所以，解得或（舍去）. 从而，直线的方程为， 即为所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $