拓展学习：带电粒子在有界磁场中运动的最小面积问题 课件-2025-2026学年高二下学期物理鲁科版选择性必修第二册

该高中物理课件聚焦带电粒子在有界磁场中运动的最小面积问题，通过确定粒子运动轨迹的圆心、半径及射入射出点，结合圆形、矩形等磁场边界形状，以例题解析和拓展问题为支架，帮助学生衔接平面几何与物理规律，构建知识脉络。 其亮点在于以科学思维中的模型建构和科学推理为核心，通过圆形磁场以弦为直径、矩形磁场以弦为长弧高为宽的实例，引导学生综合运用几何知识与洛伦兹力规律。采用“轨迹分析—磁场建模—面积计算”的教学方法，既提升学生的物理观念和科学探究能力，又为教师提供系统的教学资源，提高课堂效率。

拓展学习：带电粒子在有界磁场中运动的最小面积问题 第 1 章 会根据题目要求的磁场边界形状结合粒子临界状态下的运动轨迹，求解有界匀强磁场的面积最小值(重难点)。 学习目标 求解有界匀强磁场的最小面积的题目主要考查学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力。分析此类问题重点在于确定粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入点、射出点，再结合磁场区域的形状(圆形磁场、矩形磁场、三角形磁场等)或临界状态下粒子的运动轨迹，求解磁场的最小面积。 例1 　在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的带电粒子(重力不计)从O点开始以初速度v0 沿+x方向进入磁场，粒子经过y轴上P点时速度方向与+y方向夹角为θ=30°。已知OP=L。求： (1)磁感应强度的大小和方向； 答案　　方向垂直xOy平面向里 由左手定则得，磁场方向垂直xOy平面向里，粒子在磁场中做弧长为圆周的匀速圆周运动，如图甲所示。 粒子在Q点飞出磁场，设其圆心为O'，半径为R，由几何关系有 (L-R)sin 30°=R 解得R=L 由牛顿第二定律得qv0B=m 联立可得磁感应强度B= (2)该圆形匀强磁场区域的最小面积。 答案　L2 设圆形磁场区域的最小面积为S， 由几何关系得直径OQ=R=L， 如图乙所示 所以S=π()2=L2。 拓展　若空间中存在的是矩形的匀强磁场区域，O点为矩形区域边界上的一点，求矩形匀强磁场区域的最小面积S'。 答案　见解析 如图，矩形磁场的长最小值为OQ， 宽最小值为d=R-Rsin 30°== 所以S'=L·=L2。 求解最小面积问题的基本步骤 1.画出轨迹(确定圆心、半径、射入点及射出点)。 2.利用轨迹画出相应的磁场图形 (1)若磁场区域为圆形，以弦(射入点与射出点的连线)为直径对应的圆面积最小。 (2)若磁场区域为矩形，以弦为长，弧高为宽对应的矩形面积最小(运动轨迹小于半圆周)。 3.利用几何知识解出最小面积。 总结提升 例2 　如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为(-d，0)，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域(图 中未画出)，磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为θ=30°，M点的坐标为(0，-1.5d)，质子重力不计。求： (1)磁感应强度为多大？ 答案　2 设质子从O点进入磁场的速度为v，则有qEd=mv2 质子进入磁场后的运动轨迹如图所示，反向延长M点的速度方向与x轴交点为C，作∠OCM的角平分线交y轴于O1，O1即为运动轨道的圆心，OO1即为运动轨道的半径，设为r。 由几何关系可得r+=1.5d 质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得qvB=m 联立解得B=2 (2)圆形匀强磁场区域的最小面积。 答案　πd2 最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆， 设圆的半径为r1，则有r1=rcos 30° 最小圆形区域的面积S=π 解得S=πd2。 巩固练习 1.(多选)一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子以速度v0从y轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°，如图所示(粒子仅受洛伦兹力)。下列说法正确的是 A.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为 B.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为 C.如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积为 D.如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积为 √ √ 磁场方向垂直于纸面向外，刚进入磁场时粒子受到的洛伦兹力向下， 由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m，解得R=， 粒子运动周期为T== 运动轨迹如图所示 由图可知粒子速度方向偏转了60°，则圆心角为θ=60°，粒子在磁场中运动的时间为t=T=；若磁场区域是圆形，则以CD为直径的圆面积最小，CD=R，所以最小面积为Smin=π()2=，故A错误，B、C正确； 若磁场区域是矩形，则以CD为长，以圆弧高h为宽的矩形面积最小。 根据几何关系可得高为h=R-R=(1-)R， 所以Smin=Rh=(1-)R2=，故D错误。 2.如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为+q(q>0)的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP 方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α=30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出第一象限，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出第一象限，且射出之前都在磁场内运动，不计粒子重力及粒子间的相互作用，求： (1)vm的大小； 答案　 粒子的运动轨迹如图， 设粒子A在磁场中做圆周运动的半径为Rm， 由几何关系得Rm=L， 由洛伦兹力提供向心力，有qvmB=m， 解得vm= (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间； 答案　 粒子做匀速圆周运动，则有qvB=m，周期为T=，联立解得T=， 由运动轨迹可知，粒子A经过磁场后的偏转角为120°， 则粒子A在磁场中运动的时间t=T=T，解得t= (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 答案　(-)L2 由几何关系可知三角形PO1Q的面积 S1=sin 120° 120°圆心角对应的扇形面积S2=π 由题意可知，磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积， 其面积ΔS=S2-S1=(-)L2。 本课结束 第 1 章 $