精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期数学定时作业

重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期数学定时作业 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为二项式系数最大项的求解，根据二项式系数的单调性可得到结果. 【详解】展开式通项为：， 若系数最大，则最大，即展开式的二项式系数最大， 当时，取得最大值，系数最大的项为第项. 2. 某小区有 3 个不同的快递驿站 （驿站 ），现在有 5 件快递需要分发到这 3 个驿 站， 每件快递只能分发到其中一个驿站， 那么不同的分发方法有多少种?（ ） A. 15 B. 125 C. 243 D. 81 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，每个快递有3 个不同的快递驿站， 则不同的分发方法有种． 3. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】方法1：因为直线与曲线不相切. 设切线方程为. 代入得，整理得：. 由. 所以所求切线方程为：，即. 方法2：因为，所以点在曲线上. 由，所以，即在点处的切线斜率为2. 所以所求切线方程为：，即. 4. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 5. 已知数列的首项，且满足，则这个数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原递推式可改写为， 则是以为首项，公比为3的等比数列， 所以，所以． 6. 过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点斜式得直线方程：，联立直线与抛物线方程得到，，再利用焦半径公式即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得直线方程：， 联立方程，得到， 解得， 因为点在点的上方，所以，， 抛物线的焦点为 ， 由焦半径公式为， 则 ，； 所以. 故选：C. 7. 正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等体积法，结合锥体的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 8. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设左顶点关于渐近线的对称点为， 则，解得，即， 已知在圆上，即， 化简得，代入化简得：， ， ，解得（舍去）或， 双曲线的离心率为2． 二、多项选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （ ） A. B. 若 ，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；利用条件概率公式及概率的性质可判断BC，利用全概率公式可判断D. 【详解】对于A，设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”， 则，，此时，故A错误； 对于B，，所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， 在定义域上恒成立 B. 若函数在 上存在零点，则 C. 若在区间 上单调递减，则的取值范围为 D. 若在区间 上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到单调区间，求得，可判定A正确；当时，求得，得到单调区间，结合题意，列出不等式组，求得的范围，可判定B错误；求得，转化为在上恒成立，求得的取值范围，可判定C正确；转化为在上有解，令，结合的单调性，求得的值域，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，函数，可得其定义域为， 且，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 所以在定义域上恒成立，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 当时，，显然函数没有零点； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 因为， 要使得在上存在零点，则满足或， 即或，解得或，所以， 当时，可得函数在上单调递减，在单调递增， 要使得在上存在零点，则满足或， 即或，此时不等式组无解， 综上可得，实数的范围，所以B错误. 对于C，由函数， 可得， 要使得函数在区间上单调递减，则满足在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则满足，解得， 所以实数的取值范围为，所以C正确； 对于D，要使得函数在区间上不单调，即在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，且，所以， 当时，即时，此时， 所以，函数在区间 上单调递增，不符合题意， 所以实数的取值范围为 ，所以D正确. 11. 在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ） A. B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为 C. D. 周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的定义可以判断A；根据平行于平面可知，点到平面距离为高，结合体积公式求解可以判断B；结合空间中两点距离公式，建立关于长度的方程即可求解C；将周长最小转化为求解最小，结合对称性求解D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 选项A：，，，故，A正确； 选项B：连接，在中，易知为中位线，则， 因为平面,平面，所以平面. 故直线到平面的距离即为三棱锥的高. ，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，即， 所以直线到平面的距离. 因为， ， ， 所以， 可得， 所以 故，B正确； 选项C：设（满足，），， 当时，有最小值为，即，C错误； 选项D：，周长最小等价于最小， 作关于平面的对称点，， 故周长最小值为，且交点在四边形内，D正确. 三、填空题:本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为 ，且，，则时， 的最小值为_____. 【答案】21 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式根据题意求出，，从而得到，再根据等差数列的前项和公式将化为，即可求出答案. 【详解】由得， 由得，即，即，即， 所以， 所以，即， 由题意知，，可化为， 所以， 又，所以， 又，所以， 所以的最小值为. 14. 重庆市鲁能巴蜀中学为了丰富学生社会实践活动的经历，组织了一项 “青春进社区” 的志愿服务活动.已知甲、乙、丙等名学生干部志愿者分配到个不同的社区（）进行服务，每人选择一个社区，每个社区至少有一人选择，则甲乙不去同一个社区且丙一定去社区的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先将名学生干部志愿者按“每人选择一个社区，每个社区至少有一人选择”，进行分配，共有种方案，其中“甲乙不去同一个社区且丙一定去社区”有种方案，比值即可. 【详解】根据题意，每人选择一个社区，每个社区至少有一人选择，则分配比例可以为或或三种， ①按分配有种方案， ②按分配有种方案， ③按分配有种方案， 所以总的分配方案有种； 又甲乙不去同一个社区且丙一定去社区，则可能情况有： ①丙去社区，甲、乙去社区，其余3人任意分配，有种方案， ②甲和丙去社区，乙去社区， 若社区只有1人去，有种方案， 若社区只有2人去，有种方案， 若社区只有3人去，有种方案， 所以甲和丙去社区，乙去社区，共有种方案； 同理，甲和丙去社区，乙去社区，或乙和丙去社区，甲去社区，或乙和丙去社区，甲去社区，都一样，共有种方案， 所以甲乙不去同一个社区且丙一定去社区，共有种方案， 综上所述，甲乙不去同一个社区且丙一定去社区的概率为. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算 步骤. 15. 已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 【答案】 根据题意，， 则， 且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【解析】 【详解】略 16. 已知函数. （1）若，求的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先写出的解析式，求出导函数，根据导函数的正负即可得到单调区间； （2）分离参数后可构造函数，问题可转化为恒成立问题. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，即，解得（舍去）或； 令，即，结合定义域可解得. 又在处连续，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，即，整理得，即. 因为，所以. 构造函数，则，. 因为均在上单调递减， 所以是减函数，又的一个零点为1， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】8（1）由题意，先证明，，，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法即可求解； （2）设，由（1）所建立的空间直角坐标系，求得和平面的法向量，根据线面角的正弦值为，可求得，进而可求得的长. 【小问1详解】 由题意，过点作，垂足为，连接， 在中，，，， 可得，，所以， 又，所以在中，可得，， 又底面为直角梯形，，所以， 所以且， 所以四边形为矩形，所以， 又平面平面，且平面与平面相交于， 所以平面， 又平面，所以. 综上可得，，，， 所以，以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设二面角的大小为（）， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问2详解】 设（）， 由（1）可得，，，，， 则，所以， 又由（1）可得平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 所以. 18. 设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知 . （1）求C的方程； （2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 【答案】（1） （2）①设, 易知直线的斜率存在且不为，故设， 联立，得， 则，得， 则， 易知直线的斜率存在，若斜率不为，则设, 令，得，故， 因为，所以直线的斜率为， 则，即，此时直线 MN 过定点； 若直线的斜率为，则，则, 则，此时，，则直线，过原点， 故直线 MN 过定点； ② 【解析】 【分析】（1）不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为，在中利用勾股定理即可； （2）①设，，联立直线与抛物线的方程，利用化简直线的方程，得出，再化简直线的方程即可，再求出直线斜率为零时的情况即可； ②联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式求出，再求出点坐标，得出，即可化简，结合函数的单调性求解，再求出直线斜率为零时的情况即可. 【小问1详解】 由抛物线的定义知，， 不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为， 因为，故为等边三角形，则， 因为，所以，则，得， 故抛物线方程为； 【小问2详解】 ①略 ②易知直线的斜率存在，联立得， 则， 则， 由①知，，与联立得，， 则，故， 则， 因为在上单调递增，所以， 所以，此时，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 ，（是的导数，是的导数）． （1）求在 处的曲率； （2）证明： 图象上任一点曲率恒为常数； （3）若函数 在 处的曲率相同，证明： . 【答案】（1） （2） ，， 则函数的曲率； （3） 函数，，， 故， 则， 令得，即， 故当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在取得极大值， 因为函数，在处的曲率相同， 不妨设，则，，即， 令，，则， 所以，即， 所以，整理得，， 由得， 所以，即， 令，则，即， 所以，解得，即， 所以，故， 所以函数在处的曲率相同，则． 【解析】 【分析】（1）根据曲率函数的概念求解即可； （2）根据新定义结合导函数二次求导代入计算即可； （3）不妨设，进而将问题转化为，，，令，，则，转化为，再结合基本不等式求得，即可得答案． 【小问1详解】 函数，，， 所以， ， 故在 处的曲率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期数学定时作业 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2. 某小区有 3 个不同的快递驿站 （驿站 ），现在有 5 件快递需要分发到这 3 个驿 站， 每件快递只能分发到其中一个驿站， 那么不同的分发方法有多少种?（ ） A. 15 B. 125 C. 243 D. 81 3. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的首项，且满足，则这个数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 6. 过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（       ） A. B. C. D. 8. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （ ） A. B. 若 ，则 C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， 在定义域上恒成立 B. 若函数在 上存在零点，则 C. 若在区间 上单调递减，则的取值范围为 D. 若在区间 上不单调，则的取值范围为 11. 在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ） A. B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为 C. D. 周长的最小值为 三、填空题:本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 13. 已知等差数列的前项和为 ，且，，则时， 的最小值为_____. 14. 重庆市鲁能巴蜀中学为了丰富学生社会实践活动的经历，组织了一项 “青春进社区” 的志愿服务活动.已知甲、乙、丙等名学生干部志愿者分配到个不同的社区（）进行服务，每人选择一个社区，每个社区至少有一人选择，则甲乙不去同一个社区且丙一定去社区的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算 步骤. 15. 已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 16. 已知函数. （1）若，求的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 18. 设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知 . （1）求C的方程； （2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 19. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 ，（是的导数，是的导数）． （1）求在 处的曲率； （2）证明： 图象上任一点曲率恒为常数； （3）若函数 在 处的曲率相同，证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $