精品解析：江西九江六校2025-2026学年高一4月第一次段考数学试卷

高一年级第一次段考 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第一章至第二章第四节． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为6米，则该花坛的弧长为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，该花坛的弧长为米. 2. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则（ ）． A. B. C. D. 与方向相反 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质结合向量的相关概念逐项分析判断即可. 【详解】因为分别是边的中点，则，故A，B错误； 且与方向相同，所以，故C正确，D错误. 3. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量加减法的运算法则求解即可. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 则，， 所以. 4. 若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 5. 函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式以及对数函数的定义域可得，整理可得，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】令，可得， 注意到，即，可得， 则，可得，整理可得， 解得或，， 所以函数的定义域为. 6. 已知函数（其中，），点在的图象上，点为该图象在点左侧第一条渐近线与轴的交点，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切型三角函数性质，结合已知条件求出解析式，代入计算即可. 【详解】由题意知，，即，解得，则. 又点在的图象上，所以，即，，所以，， 又，所以，所以. 则. 7. 已知向量，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且，则（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，由，得， 因此，即，所以. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数的单调性和对称性列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 若，则， 因为函数在区间上单调递增，则，解得， 若，则， 因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得， 综上所述：的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ）． A. 零向量的方向是任意的 B. 单位向量都相等 C. 相等向量的长度一定相等 D. 共线向量一定在同一条直线上 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A正确； 对于选项B：单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误； 对于选项C：相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C正确； 对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 10. 下列函数中，是偶函数的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，，A是； 对于B，函数的定义域为，，B不是； 对于C，函数的定义域为，，C是； 对于D，函数的定义域为， 且，D是. 11. 某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（ ）． A. B. C. 在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数 D. 在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得结果；对于B：根据题意可得，即可得结果；对于C：根据题意结合余弦函数的零点分布即可得结果；对于D：结合函数的奇偶性分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即， 且，则，即，故A正确； 对于选项B：因为，即， 且，则， 当为奇数时，则，故B错误； 对于选项C：若，则，且， 因为在内有且仅有一个零点，在有2个零点， 则在内有奇数个零点， 所以在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C正确； 对于选项D：因为为偶函数，且在时，质点位于最高点， 根据对称性可知在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50米，再向北移动30米，最后沿西偏南45°方向移动米．以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：从原点出发，先向东移动50米，到达， 再向北移动30米，到达， 最后沿西偏南45°方向移动米，到达， 所以该机器人最终的位置坐标为. 14. 对于函数，若存在正常数T，使得对任意恒成立，则称为“正弦周期函数”，T为其一个正弦周期．已知是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题需要运用三角恒等式结合连续性分析与的关系 【详解】对于任意角，如果，可得或， 因为是定义在上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，所以，由此可得或， 分类讨论，当时， 代入，可得， 根据题目条件，，可得， 因为，所以排除此种可能性； 当时， 代入，可得， 根据题目条件，，可得， 因此， 代入，可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，且． （1）求t和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义解得，进而可求的值； （2）根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为角的终边经过点，且， 则，且，解得， 即，所以. 【小问2详解】 由题意可得：. 16. 已知向量，． （1）若向量与共线，求实数k的值； （2）是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算先求与，再结合共线向量的坐标表示运算求解； （2）根据向量的坐标运算先求与，再结合向量模长的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 因为向量，，则，， 若向量与共线，则，解得. 【小问2详解】 因为向量，，则，， 若，则， 整理可得，解得或. 17. 已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期可得，结合最值点可得，，即可得的解析式； （2）根据图象变换得到的解析式并化简为，再以为整体，结合正弦函数有界性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：的最小正周期， 且，由解得， 又因为最高点坐标为，则， 则，即， 且，则，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 再向右平移个单位长度，得到， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上的值域为. 18. 九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． （1）求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； （2）为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】（1）最大高度为米，分；最小高度为米，分； （2）（ⅰ）分；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的性质求解. （2）（ⅰ）根据给定条件建立不等式，再解正弦函数不等式即可；（ⅱ）设出新的函数解析式，利用待定系数法求解. 【小问1详解】 函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. 【小问2详解】 （ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 19. 在中，点D在边AB上，点E在边AC上，且满足，．设BE与CD交于点P，连接AP并延长交BC于点F．设，． （1）用，表示，； （2）若，求xy； （3）若点G在线段AP上，且满足，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量减法及数乘向量求解. （2）利用共线向量定理的推论及向量基本定理求解. （3）利用共线向量定理及向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 在中，，， 所以，. 【小问2详解】 由点在线段上，设， 则，而共线， 因此，解得，于是， 而，且不共线，则， 所以. 【小问3详解】 设，由（2）得，而共线，则， 解得，则，， 由点在线段上，设，则， ，由，且不共线， 得，解得，因此，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一次段考 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第一章至第二章第四节． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为6米，则该花坛的弧长为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则（ ）． A. B. C. D. 与方向相反 3. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（ ）． A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数（其中，），点在的图象上，点为该图象在点左侧第一条渐近线与轴的交点，且，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知向量，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且，则（ ）． A. B. C. 3 D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ）． A. 零向量的方向是任意的 B. 单位向量都相等 C. 相等向量的长度一定相等 D. 共线向量一定在同一条直线上 10. 下列函数中，是偶函数的有（ ）． A. B. C. D. 11. 某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（ ）． A. B. C. 在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数 D. 在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：______． 13. 某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50米，再向北移动30米，最后沿西偏南45°方向移动米．以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为______． 14. 对于函数，若存在正常数T，使得对任意恒成立，则称为“正弦周期函数”，T为其一个正弦周期．已知是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，且． （1）求t和的值； （2）求的值． 16. 已知向量，． （1）若向量与共线，求实数k的值； （2）是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 18. 九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． （1）求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； （2）为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 19. 在中，点D在边AB上，点E在边AC上，且满足，．设BE与CD交于点P，连接AP并延长交BC于点F．设，． （1）用，表示，； （2）若，求xy； （3）若点G在线段AP上，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $