2026届高三数学选填题小题定时专训（一）（全国适用）

2026数学选填题小题定时专训（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 所用时间： 所得分数： 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】或， 则，且， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算求z，再由复数的几何意义可得. 【详解】因为 所以. 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 已知为正项等比数列的前项和，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值. 【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故. 故选：C. 4. 下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用奇偶函数的判断方法及幂函数的性质，即可求解；对于B，利用奇偶函数的判断方法及二次函数的性质，即可求解；对于C，利用奇偶函数的判断方法及复合函数的单调性，即可求解；对于D，利用奇偶函数的判断方法，得是偶函数，即可求解. 【详解】对于选项A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故选项A不正确； 对于选项B，函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以奇函数，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确， 对于选项C，，因为，所以的定义域为， 又，所以是奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项D，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，故选项D不正确， 故选：C. 5. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合的范围，求在轴右侧的相邻三根，根据题意可得的不等关系，求解的范围，从而求出的范围，根据正弦函数的单调性即可求出结果. 【详解】， 令得：， 因为，所以， 则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得， 由题意可知，即， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，通过二项式定理展开即可求解. 【详解】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求得圆台的底面半径长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 8. 已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解. 【详解】设，则由题：， 又的离心率为，所以， 即，，即， 令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点， 又O是的中点，则，所以， 又，所以， 所以，则，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 所用时间： 所得分数： 9. 已知，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 二项式系数和为128 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令可判断A，令可判断B，求出二项式系数和可判断C，对两边求导，令可判断D. 【详解】由， 对于A，令得，故A正确； 对于B，令得，所以，故B错误； 对于C，二项式系数和为，故C错误； 对于D，对两边求导，得 ，令得，故D正确. 故选：AD. 10. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ） A. 事件，为互斥事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，不可能同时发生，所以为互斥事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率， 积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则， 根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 11.设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，故A正确； 又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 所用时间： 所得分数： 12.若甲、乙等6人随机排一排照相，则甲、乙不在两端也不相邻的概率为__________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用插空法求出符合要求的排法，再由古典概型求概率即可. 【详解】6人排一排的总数为，甲，乙不在两端也不相邻有种排法， 故所求概率为. 故答案为： 13.已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得以为直径的圆为，把的中点代入圆的方程，整理得到，结合，得到，即可求解. 【详解】如图所示，由椭圆，可得， 则的中点为，且， 所以以为直径的圆为， 又由中点在以为直径的圆上，可得， 整理得， 因为，所以，即， 等式两边同除以，可得，解得， 又因为，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14.中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 经验总结： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026数学选填题小题定时专训（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 所用时间： 所得分数： 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为正项等比数列的前项和，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 7.如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 所用时间： 所得分数： 9. 已知，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 二项式系数和为128 D. 10. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ） A. 事件，为互斥事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 11.设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 所用时间： 所得分数： 12.若甲、乙等6人随机排一排照相，则甲、乙不在两端也不相邻的概率为__________. 13.已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为________． 14.中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为________. 经验总结： 学科网（北京）股份有限公司 $