8.6.1 空间直线、平面的垂直（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦空间直线、平面的垂直这一核心知识点，系统梳理从线线垂直定义，到线面垂直的定义、判定与性质定理，再到面面垂直的定义、判定与性质定理的完整脉络，构建层层递进的知识支架。 资料以长方体为直观载体培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过定理归纳与证明发展推理能力（数学思维），设计选择、证明等多样题型助力数学语言表达。课中辅助教师教学，课后供学生巩固练习，有效查漏补缺。

8.6.1　空间直线、平面的垂直 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．归纳出直线与平面垂直的判定定理． 3．理解直线与平面垂直的性质定理． 4．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系． 5．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是 直角 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)表示：直线a与直线b垂直，记作 a⊥b ． 直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】(1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． (2)若l⊥α，c⊂α，则l⊥c． 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n ＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直 线平行 符号语言 ⇒ a∥b 图形语言 【注意】(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． 平面与平面垂直的定义和判定 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β． (2)画法： 2．面面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的 垂线 ，那么这两个平面垂直 b⊥α ，b⊂β⇒β⊥α 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直” 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面 垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【注意】1．定理成立的条件有三个： ①两平面互相垂直．②直线在其中一个面内． ③直线与两个平面的交线垂直． 2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 题型一 线面垂直的判定定理 1．（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 6．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 题型二 线面垂直的性质定理 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 10．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 11．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 12．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． 13．（2026高三·北京·专题练习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 题型三 面面垂直的判断定理 14．（24-25高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 15．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 17．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 18．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 题型四 面面垂直的性质定理 19．（25-26高三下·广东深圳·月考）如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 21．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 22．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 23．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； 24．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 题型五 平行垂直的综合应用 25．（25-26高三上·青海西宁·月考）在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 26．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 27．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，是的中点，是的中点，． (1)证明： 平面． (2)证明：平面． 28．（24-25高三下·湖南长沙·月考）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 30．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D．平面 5．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 6．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 7．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； 8．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 9．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； 10．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 11．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； 12．（24-25高二下·甘肃定西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1　空间直线、平面的垂直 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．归纳出直线与平面垂直的判定定理． 3．理解直线与平面垂直的性质定理． 4．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系． 5．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是 直角 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)表示：直线a与直线b垂直，记作 a⊥b ． 直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】(1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． (2)若l⊥α，c⊂α，则l⊥c． 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n ＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直 线平行 符号语言 ⇒ a∥b 图形语言 【注意】(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． 平面与平面垂直的定义和判定 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β． (2)画法： 2．面面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的 垂线 ，那么这两个平面垂直 b⊥α ，b⊂β⇒β⊥α 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直” 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面 垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【注意】1．定理成立的条件有三个： ①两平面互相垂直．②直线在其中一个面内． ③直线与两个平面的交线垂直． 2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 题型一 线面垂直的判定定理 1．（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 6．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）连接，利用中位线性质可得，首先证明平面，从而得到，同理得到，结合线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得到结论. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 题型二 线面垂直的性质定理 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】利用直线与平面平行、直线与平面垂直、平面和平面垂直的性质逐个分析，即可得到答案. 【详解】对于选项A，根据线面垂直的性质定理，得当，，则，故选项A正确； 对于选项B，由，则存在使得，因为，所以，，故选项B正确； 对于选项C，已知，，，若，则， 因为直线不一定在平面上，故选项C错误； 对于选项D，若，，，过直线作平面与平面相交于直线，则； 过直线作平面与平面相交于直线，则，， 又，，则，再由，，由线面平行的性质定理得， 而，，故选项D正确. 故选：ABD. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 10．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 11．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 12．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． 13．（2026高三·北京·专题练习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 题型三 面面垂直的判断定理 14．（24-25高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 15．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 17．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断A；根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理判断B，C，D. 【详解】因为为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 所以A正确. 又平面，平面，所以， 由为圆的直径，得， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 所以B正确. 因为平面，且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 因为平面，平面，所以，所以D正确. 故选：ABD. 18．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由，，根据线面垂直的判定定理证出平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 题型四 面面垂直的性质定理 19．（25-26高三下·广东深圳·月考）如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理，而平面， 所以平面. 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 21．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件先证，再由平面平面证明平面，可得，再由平面几何知识证明，进而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 22．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 23．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. 24．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 题型五 平行垂直的综合应用 25．（25-26高三上·青海西宁·月考）在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线，结合线面平行的判定定理证得平面. （2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证得平面． 【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，是的中点，所以是的中点， 又是的中点，所以，又，所以， 又平面平面，所以平面. （2）因为，为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又平面， 所以平面. 26．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由分别为的中点得，然后根据线面平行的判断定理即可证明； （2）由底面，得，且，然后根据线面垂直的判断定理即可证明. 【详解】（1）因为分别为的中点， 则， 所以 因为平面平面 所以平面. （2）因为底面，且平面， 所以， 因为， 且平面，平面， 所以平面． 27．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，是的中点，是的中点，． (1)证明： 平面． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）设，连接，利用三角形中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明平面，所以，再利用线面垂直的判定定理证明即可； 【详解】（1）设，连接，所以， 因为，所以，所以为中点； 又因为是的中点，所以是 的中位线； 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为底面是菱形，所以 ； 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 又因为，，平面， 所以平面． 28．（24-25高三下·湖南长沙·月考）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 29．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 30．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 3．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD.    4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】画出图形，结合正方体的性质逐一判断各选项：选项A，根据正方体性质得出四边形是平行四边形，得出，结合正方形的对角线互相垂直的性质，得出；选项B：根据线面平行定理进行判断；选项C：根据正方体性质得出是等边三角形，结合，得出即为与所成夹角；选项D：根据线面垂直定理进行判断. 【详解】设正方体的棱长为， 如图，连接. 选项A：根据正方体性质可知，， 四边形是平行四边形， 又平面，且平面， 平面 又平面， ，故A错. 选项B：由选项A知，平面，故B正确. 选项C：根据正方体的性质可知，， 为等边三角形，又， 等于与所成的角，故C错. 选项D：根据正方体的性质可知，平面， 又平面，. 根据正方形的性质，的对角线. 又平面， 平面，故D正确. 故选：BD. 5．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 6．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 7．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. 8．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面 9．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面； （2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案； 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 10．（25-26高三上·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 11．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； 【答案】(1)证明过程详见解析. 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 12．（24-25高二下·甘肃定西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证线面垂直，先要证线线垂直，因此需要证； （2）要证线线平行，先要证线面平行，再通过线面平行的性质定理证明线线平行． 【详解】（1）平面平面， 又四边形为矩形， ， 又，平面， 平面， 又平面． ，为的中点， ， 又，平面， 平面． （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $