5.反比例函数的应用&6.二次函数的图象和性质-2025年中考数学总复习（吉林版）

5.反比例函数的应用 一、选择题 1.长方形的面积为4，两邻边分别为x、y,则y与x的图象大致为 ( 米 密 0 封 线 B 内 不 要 答 题 D 2.已知压强的计算公式是P-5,我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变纯，如果刀刃奢薄，刀具 密 封 就会变得锋利，下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是 线 A.当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小 外 B.当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大 不 C.当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大 要 D.当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小 写 二、填空题 学 3.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛和0.5米，那么动力F和 p 号 动力臂！之间的函数解析式是 效 4.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关系， 姓 它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A,那么用电器可变 名 电阻R应控制的范围是 4 0 R/2 第4题 米 中考总复 三、解答题 5.为了方便孩子入学，小王家购买了一套学区房，交首付款15万元，剩余部分向银行贷款，贷款及贷 款利息按月分期还款，每月还款数相同.计划每月还款y万元，x个月还清贷款，若y是x的反比例 函数，其图象如图所示， (1)求y关于x的函数解析式； (2)若小王家计划180个月(15年)还清贷款，则每月应还款多少万元？ y万元 0.5 0 144 x月 第5题 6.实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时) 变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示.国家规定，车辆驾驶人员血液中的 酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路 (1)求部分双曲线AB的函数解析式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30 能否驾车去上班？请说明理由 ◆y/(毫克/百毫克) A B 20 013 x/时 42 第6题 习·数学 6.二次函数的图象和性质 一、选择题 1.抛物线y=2(x+9)2一3的顶点坐标是 A.(9,-3) B.(-9,-3) C.(9,3) D.（-9,3) 2.如图，抛物线对应的函数解析式为y=一2(x一h)2+k,则下列结论正确的是 A.h>0,k>0 B.h0,k>0 C.h<0,k0 D.h>0,k<0 0 第2题 3.已知抛物线y=(x一2)2+1，下列结论错误的是 ( A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 4.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x十1)2+a上的三点，则y1y2y3的大小关系 为 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 5.已知一次函数y=ax一c的图象如图所示，则二次函数y=ax2十c的图象大致是 ( y=ax-c 第5题 A B D 6.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数 y=x2十2x十c有两个相异的不动点x1,x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是 () A.c<-3 B.c<-2 C.e< D.c<1 二、填空题 7.函数y=(a一2)xa-a是二次函数，则a的值是 8.已知关于x的二次函数y=a.x2一6ax十a2一8a十3，当-1≤x≤2时，有最大值5，则a的值是 9.抛物线y=x2一2x十m的图象与直线y=3有且只有一个公共点时，m= 10.已知抛物线C1:y=mx2+2mx十m一1与抛物线C2关于点P(1,0)中心对称，设抛物线C1,C2与 y轴的交点分别为M,N,当MN=8时，m的值为 中考总复 11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2m(a≠0)的图象经过正方形 ABOC的三个顶点A,B,C,则m的值为 12.若二次函数y=ax2+bx十c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对 0 称，则下列说法正确的序号为 第11题 ①2-2：②当<a<时，代数式。+6-6+8的最小值为3，③对于任意实数 m,不等式am2十bm一a十b≥0一定成立；④P(x1,y1),Q(x2,y2)为该二次函数图象上任意两点， 且x1<x2,当x1十x2十2>0时，一定有y1<y2 13.已知抛物线P:y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点为C,与x轴相交于A,B两点（点A在点B左侧）， 点C关于x轴的对称点为C',我们称以A为顶点且过点C,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物 线P的“梦之星”抛物线，直线AC'为抛物线P的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线 和“梦之星”直线分别是y=一x2十2x一1和y=一x+1,则这条抛物线的解析式为 三、解答题 密 14.如图，直线y=一x一2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2十bx十c的顶点为A,且经过 点B, (1)求该抛物线的解析式； (2)作直线BC∥x轴，交抛物线于点C,求线段BC的长. 封 线 第14题 15.如图，点M(1,3)在抛物线C:y=x2+mx+10上. (1)直接写出抛物线C的解析式： ,顶点Q的坐标： (2)点P(a,一2)在抛物线C:y=x2+mx+10上，且在抛物线C的对称轴的右侧，求a的值； (3)在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P',C',平移该 胶片，使C'所在抛物线对应的解析式恰为y=x2十4x十10，求点P'移动的最短路程. P 第15题 习·数学 米 16.已知二次函数y=x2一2mx+2m一1(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数图象与x轴一定有公共点； (2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y=一(x一1)2的图象上； (3)已知点A(a,一1)，B(a+2,-1),线段AB与函数y=一(x一1)2的图象有公共点，则a的取 值范围是 米 密 封 线 内 要答 题 密 17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2十6ax一4m(a≠0)与x轴的交点为A,B(点A在点B 封 的左侧)，且AB=2. 线 (1)求抛物线的对称轴及m与a的数量关系； (2)若将此抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）记为C,当在C内的 外 整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出a的取值范围. 不 要 写 学 号 敬 姓 名 米 中考总复 1 18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y= 2x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点 的抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(一1,0)，点P是抛物线位于第四象 限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E,点F, (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当EF=AC时，求点P的坐标； (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连 接NA,MP,则NA+MP的最小值为 R\U 备用图 第18题 习·数学(3)解：，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用 乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方 式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50 张，故总成本为150×5+8×50=1150（元）.，两种木 盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 7≤a≤18， 1 解得7≤a≤18.设利润为w元， 7≤20-2a≤18， 则w=10a+10(20-2a)-1150,整理得：u 850+50a..50≥0，.w随a的增大而增大，故当a= 18时，有最大值，最大值为850+50×18=1750（元）， 则此时B种木盒的销售单价定为20一号×18= 11(元)，即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒 的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大， 最大利润为1750元. 12.(1)解：.在边长为12cm的正方形ABCD中，M是 AD边的中点，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD=BC= 12,AM=MD=6,∴.根据题意得，12X12-2×12×6- 1 6X61=96,解得=4，d点P的速度为2=3cmS (2)解：当点P在边AB上时，y=12×12-2×6× 3-2X61=144-12(0≤1≤4)；当点P在边BC上 时，y=7×(24-31)×12+2×6×(12-t)=180- 1 21(4<t≤8)：当点P在边CD上时，y=2× (36-4t)×6=-12t+108(8<t≤9)；综上所述，y与 -12t+144(0≤t≤4)， t的函数解析式为y= -21t+180(4<t≤8)， -12t+108(8<t≤9). 4.反比例函数的图象和性质 -、1.D2.C3.B4.D5.A6.A 二7.号8-69.无实数根10号111.5（答案 5 不唯-）12.4048 405 三、13.解：：反比例函数y=mxm-5的图象经过二、 四象限，.m2-5=一1，m<0,解得m=-2,.解析 式为y是 14.解：在y=一3x十6中，令y=0,则一3x十6=0，解 得x=2C(2,0B2,)A(0,):点D 为AB的中点点D(1,冬)：点D在直线y= -3x+6上合 =-3×1+6,.k=6. 15.解：图象如图. (1)-3 (3)y<-6或y>3 第15题 1 16.(1)解：AB/y轴，.S△Ac=2AB·OA=2×3X 3 0A=20A=1…B1,3). (2)解：BD=AB=3,∠ABD=90°，∴.DB∥x轴， ÷D(一-2,3).设反比例函数解析式为y一会，3=冬2 得=-6，y=一6 17.(1)1<x<5【解析：联立y1=-x+6(x>0)和 -26>0),得-x十6=三，解得x=1或5，观察 函数图象知，当y1>y2时，x的取值范围是1< x<5.】 (2)①2028【解析：设矩形N的边长分别为m,n, 由题意得：z十y=m十)且z=m,面z十y 7,xy=10,则m十n=14,mn=20,故周长为28，面积 为20.】 ②解：假设存在矩形Q,其边长为s,t,同理可得：s十 。-2x十》名-2y-9则存在方程：2x 110 7x十10=0.△=49-80<0，方程无解，故不存在矩 12 中考总复 形Q. 令y=0,得x=一2，.A(-2,0).设二次函数的解析 10=一x十 （3)解：存在.理由：联立两个函数解析式得 式为y=a(x+2)2,把B(0,-2)代入得4a=-2,解 7,解得x=2或5，即点C,D的坐标分别为(2,5)，(5,2). 得a=一号，抛物线的解析式为y=一号(z十2)= 设点E(x,y),当CO为对角线时，由中点坐标公式得 2x2-2x-2. 2=x+5 x=-3, 。解得 即点E(一3,3)；当OD或 5=y十2 y=3, (2②)解：令y=-2.得-+2)=-2解得x,= 5=x+2, x=5+2, OE为对角线时，同理可得 或 解 -4,x2=0,.BC=4. 2=y+5 y=5+2, 15.(1)y=x2-8x+10(4,-6)【解析：把M(1,3) x=3, x=7, 得 或 y=-3y=7, 即点E(3,-3)或(7,7).综上， 代入y=x2+mx+10得1+m+10=3,解得m= 一8，.抛物线C的解析式为y=x2-一8x十10.y= E(-3,3)或(3，-3)或(7,7). x2-8x十10=(x-4)2-6,∴.顶点Q的坐标为(4，一6).】 5.反比例函数的应用 (2)解：把P(a,-2)代入y=x2-8x+10得a2 8a十10=-2，整理得a2-8a十12=0，解得a1=2, -、1.C2.B a2=6.,抛物线C:y=x2-8x十10的顶点坐标为 二、3.F=600 4.R3.6 (4,一6)，∴.抛物线的对称轴为直线x=4.:点P在 三、5.(1)解：设y与工的函数解析式为y=(k≠0)， 对称轴的右侧，a=6. (3)解：，平移后的抛物线的解析式为y=x2十4x十 把P(144,0.5)代入得0.5=144，解得k=72.小y与 10=(x十2)2+6，∴.平移后的抛物线的顶点Q'的坐标 为（一2,6）.：平移前抛物线的顶点Q的坐标为 72 x的函数解析式为y=工 (4,-6),.QQ′=√(4+2)2+(-6-6)7=6W5.点 72 P′移动的路程等于顶点移动的距离，而顶点移动的最 (2)解：当x=180时，y= 180 =0.4(万元)，答：则每月 短路程为线段QQ'的长，∴.点P移动的最短路程为6√5. 应还款0.4万元 16.(1)证明：，△=4m2-4(2m-1)=4m2-8m+4= 6.(1)解：依题意，直线OA过(}，20)，则直线OA的 4(m一1)2≥0，所以不论m为何值，该二次函数的图象 与x轴总有公共点. 解析式为y=80x,当x= 之时，y=120,即 (2)证明：，y=x2-2x+2m-1=(x-m)2-(m-1)2, A(侵，120设双曲线的解析式为y=会，将点 ∴.二次函数y=x2一2m.x+2m一1的顶点坐标为 (m,-(m-1)2）.当x=m时，y=-(x-1)2=-(m-1)2, A(停，120)代入得为=180y-18(≥2》】 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函 数y=一(x一1)2的图象上. (2)解：由y三0得当y=20时，x=9,从晚上22：00 (3)-2≤a≤2【解析：当y=-1时，y=-(x-1)2= 到第二天早上6：30时间间距为8.5小时.，8.5<9， -1,解得x1=0,x2=2,当a十2≥0且a≤2时，线段 .第二天早上6：30不能驾车去上班. AB与函数y=一(x一1)2的图象有公共点，所以a的 范围为-2≤a≤2.】 6.二次函数的图象和性质 17.(1)解：：y=ax2+6ax-4m=a(x2+6x)-4m= -、1.B2.A3.D4.A5.C6.B a(x十3)2-4m一9a,∴.抛物线的对称轴为直线x=一3. 3 AB=2,∴.点A的坐标为(-4,0)，把（一4,0）代入 =、7.-18.8-66或29.410.1或- y=ax2+6ax-4m得：16a-24a-4m=0,∴.m=-2a. 11.-112.①③④13.y=-x2+4x-3 (2)解：由(1)得：抛物线的解析式为y=ax2+6ax一 三、14.(1)解：令x=0,得y=一x-2=-2,.B(0,-2), 4m=a(x2+6x)-4m=a(x十3)2-a,点A的坐标 8 习·数学 为（一4,0），点B的坐标为（一2,0），此时线段AB上 的整数点有三个：（一4,0），（一3,0），（一2,0），.顶点 坐标为（一3，一a).:在C内的整点（横、纵坐标都为 整数的点)有且仅有7个，当a>0时，一5<-a≤-4， .∴.4≤a<5;当a<0时，4≤-a<5,.∴.一5-a≤-4. 综上所述，a的取值范围为4≤a<5或-5<-a≤一4. 18.(1)解：直线y=2x一2与x轴交于点A,与y轴交 于点C,则点A,C的坐标分别为(4,0)，(0，一2)，则抛物 线的解析式为y=a(x-4)(x+1)=a(x2-3x-4),且 一4a=一2，则a=2,所以抛物线的解析式为y= 2x2. (2)点D的坐标为(4士2√5,0)或（一4,0）.【解析：设 点D(x,0),由点A,C,D的坐标得，AC2=20,AD2= (x一4)2，CD2=x2+4,则AC=AD或AC=CD,即 20=(x-4)2或20=x2+4,解得x=4士2√5或4（舍 去)或-4，即点D(4士2√5,0)或（一4,0）.】 (3)解设点P(,7-2:-2小，当y=合 多-2=合x-2时，则z=2-3红，即点 3 E(-z,7-子-2以.“E,C,F,A共线， EF=AC,则xp-xE=xA-xc,即x-(x2-3x)= 4一0，解得x=2,即点P(2,一3). (4)3V13 【解析：如图，作点A关于y轴的对称点 A'(一4,0)，将点A'向右平移号(MN的长度)，得到点 A(一号，0)，连接PA"交抛物线对称轴于点M,过点 M作MN⊥y轴于点N,连接A'N.,A'A"∥MN且 A'A”=MN,则四边形A'A"MN为平行四边形，则 A'N=A"M,NA+MP=A'N+PM=A"M+ MP=AP为最小，最小值为/2++子-3】 第18题 7.二次函数的应用 -、1.C2.C3.C4.C5.D 二、6.4507.148.7 三、9.解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为心 万元，每天的“销售收人”为y万元，@=(x一2)[100十 50(5-x)]=-50(x-4.5)2+312.5.,-50<0,.∴. 随x的增大而减小，.当x=4.5时，w有最大值，最 大值为312.5万元，y=x[100+50(5一x)门= -50(x-3.5)2+612.5.:-50<0,.y随x的增大 而减小，∴.当x=3.5时，y有最大值，最大值为612.5 万元.答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利 润”最大，其最大值为312.5万元，该果商定价为3.5 万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为 612.5万元. 10.(1)解：由题意得：y=P+8T=10x+8× 21-x十2)(z+4)7 ,整理得y=一x2十4x+160, 8 当y=148时，则-x2+4x+160=148,解得x1=6, x2=-2.0≤x≤9，∴x2=-2不符合题意，舍去 答：该商场建造的隔热层厚度为6cm. (2)解：由(1)得y=-x2+4x+160.,t=y+x2, .t=-x2+4x+160+x2=4x+160(172≤t≤192). :4>0,∴.t随x的增大而增大，当t=172时，4x十 160=172,解得x=3;当t=192时，4x+160=192,解 得x=8.答：x的取值范围为3≤x≤8. 11.(1)解：当1≤x<50时，y=(200-2x)(x+40- 30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时，y (200一2x)(90一30)=一120x+12000,综上所述， -2x2+180x+2000(1≤x<50), y= 一120x+12000(50≤x≤90). (2)解：当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数 对称轴为x=45,当x=45时，y最大=一2×452十 180×45+2000=6050;当50≤x≤90时，y随x的 增大而减小；当x=50时，y最大=6000，综上所述，销 售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050元 (3)解：共有41天，每天销售利润不低于4800元. 12.解：连接CF,如图，，AF=BC=1米，∠A= ∠B=90°，∴.CF∥AB,∠AFC=∠BCF=90°..四 边形ABCF是矩形，，四边形MNGH是矩形， .∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG,∴.∠HQF= 中考总复 ∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米..'∠BCG= ∠AFH=135°，∴.∠HFQ=∠GCP=45°，∴.FQ= HQ,CP=GP,..FQ=HQ=MH-MQ=MH-1, 同理得：CP=MH-1,∴.AM=NB=MH一1，∴.MN= AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, D .S矩形GH=MN·MH=(5-2MH)·MH=5MH 第13题 2MH=-2MH'-MH)-2H-}°+装 14.(1)解：观察两种场景可知，场景A为y=一0.04x2十 bx十c,场景B为y=ax十21(a≠0)，把(10,16)， 当M1=子米时，铁皮的面积最大，最大值为空平 5 (20,3)代人y=-0.04x2+bx+c得： -4+106+c=16, b=-0.1, 方米 解得 y=-0.04x2- -16+20b+c=3, c=21, H 0.1x+21.把(5,16)代入y=ax+21得：5a+21=16, 解得a=一1，.y=-x十21.答：场景A的函数解析 式为y=一0.04x2-0.1x+21,场景B的函数解析式 N 为y=-x十21. M 第12题 (2)解：当y=3时，场景A中，x=20,场景B中，3= 一x+21,解得x=18.答：该化学试剂在场景A下发 13(1)解：由题意，点A(3,2 是抛物线y=一x2十 挥作用的时间更长 证上的一点1-3+36=号则-9+3动 6 3 函数部分复习效果检测 7 7 小抛物线的解析武为y=一x2+2x. -、1.A2.C3.B4.D5.B6.B 10.5 (②)解：由题，抛物线为y=+=-(-）十 7 =7.-18≥1且x≠89y=-2+号 11.5<y<1012.y2<y1<y313.414.①②③ 得范物线最商点的圭标为（行》 三、15.(1)解：由一次函数的定义，得m2-m=0,解得 m=0或m=1,又，m-1≠0，即m≠1，.当m=0 (3)解：如图，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别 时，这个函数是一次函数. 是点E,D.又，∠BOD=∠AOE,∠BDO=∠AEO, (2)解：根据题意，得m2一m≠0，解得m1≠0，m2≠1. OD BD OB ∴△0BDn△0AE,∴OE-定-8R又：点B是 .当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数. 16.(1)解：设直线AB所对应的函数解析式为y 0A的三等分点8册日A,》AE=是 kx十b.:直线经过点A(4,4),B(一2,1)， 1 0E-3÷82-8册-日B0 3AE,则BD= 4k+b=4, 解得一2'：直线AB所对应的函数 -2k+b=1, b=2, 1 解析式为y=2x+2, ∴.OD= 3×3=1,点C的横坐标为1.将x=1代入 1 (2)解：把P点坐标a,5)代人y=x+2得24+2= x中y=-1+号×1-号点C的 7 y=-x2+ 5,解得a=6. 1 坐标为1，》，则cD=名CB=D-BD=号-号 (3)解：“把直线y=2x十2向下平移5个单位得到 1 2.答：这棵树的高度是2. 的直线的解析式为y=2x一3，…平移后的直线与y 9 习·数学