精品解析：福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试数学试题

2026届高中毕业班适应性考试 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合 ，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率求出，即可得双曲线线的渐近线方程.. 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线 的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 3. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出对应的点结合该点在第二象限判断即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 因为该点在第二象限，所以，，则， 所以，即，所以 . 4. 某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，84，78，86，91，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 78 B. 82 C. 84 D. 85 【答案】D 【解析】 【详解】将数据从小到大排列，得到48，58，66，75，78，78，82，84，86，91， 由于，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数， 所以这组数据的第80百分位数是. 5. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为 ，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 6. 已知函数为增函数，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数 的取值范围是，即 的最小值为 . 7. 已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先找到的外接圆圆心位置 ，结合三棱锥的体积确定外接球半径 及外接球球心 的位置，并利用勾股定理建立关于 的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边 中点， 设 中点为 ，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又， 为 中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即 在底面投影为 . 设，球半径为 ，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球 的表面积. 8. 已知函数有且仅有 个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】求导得出，令可得或或，对 、 的大小以及、 的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项. 【详解】因为函数，该函数的定义域为， （1）当时，， 由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去； （2）当且 时， ， 由可得或或， 因为函数有且仅有 个极值点、、，且， 则且，符合题意， ①若，则，， 则，所以，，， 若、 都为奇数，则、都为偶数，列表如下： 减 减 极小值 增 增 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当为奇数， 为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下： 增 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有两个极值点，不符合题意； 当为偶数， 为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意； 当、 均为偶数时，、均为奇数，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有 个极值点，符合题意，且，，， 此时，则； ②当 时，同理可知、 均为偶数，且，，， 此时，则. 故D选项正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如图，以 为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为 ，则，，，， 对于A，可得，， 则，得到，故A正确； 对于B，由题意得，，，， 则，，， 可得，得到， 可得，得到， 而平面，得到平面，故B正确； 对于C，由题意得，， 若，则，得到， 而不存在使方程组成立，即不成立，故C错误； 对于D，由题意得，，， 设平面 的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，得到平面 ，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象求出、的值，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，， 所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交 于两点，直线 交 于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得 ，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线 的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设 的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被 轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被 轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线 的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线 的方程为，设 到 的距离为 ， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 13. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 14. 已知数列满足 ，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】构造数列，根据递推关系，可得，利用等比数列通项公式求出，分组求和即可得解. 【详解】因为， 所以， 令，则， 所以， 则， 所以，又， 所以是以为首项，公比为 的等比数列， 所以，即， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，，． （1）若，求 的面积； （2）点D在边BC上，，E为AC中点，且，求角C的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和面积公式进行求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换进行求解. 【小问1详解】 设，由余弦定理，得， 即，， 求得或（不合要求，舍去），即， 所以． 【小问2详解】 因为， 为中点，所以，， 在 中，由正弦定理，得， 又，即， 又，所以， 因为，所以，故，故， 其中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． 16. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数 的定义域为 ，． 当 时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在 ，使， 不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当 时，令，得，令，得； 所以 在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述， 的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当 时，可得．因为 ，所以，又因为时，， 所以； (ii)当 时，恒成立，所以； (iii)当 时，可得． 令，， 当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增； 所以，所以． 综上所述， 的取值范围为． 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及短轴长求出即可得解； （2）分别设出直线方程，联立椭圆方程，求出，，根据平行可知，列出方程求解即可. 【小问1详解】 依题意，得 解得 所以 的方程为． 【小问2详解】 因为，所以，且． 设，，，， 显然直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为，直线的方程为． 由得，可得， 所以 所以． 由得，所以． 则，又因为， 所以，解得， 所以直线 的方程为． 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买 个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买 个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 19. 已知平面，垂足为 ，直线，是内的动点，且始终在的两侧． （1）若 ，证明：是锐角三角形； （2）若， 是线段上靠近 的三等分点，． （i）证明：二面角为锐角； （ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值． 【答案】（1）证明：证法一： 因为平面，，所以，． 不妨设，且， 因为 ，所以，，， 所以，所以 为的最大内角． 由余弦定理，得， 所以，所以是锐角三角形． 证法二：因为平面，，所以，． 又因为 ，故可以 为原点，分别为 轴， 轴和 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，所以，在中， ，所以 为锐角， ，所以为锐角， ，所以为锐角， 所以是锐角三角形． 证法三：因为平面，，所以，． 又因为 ，所以在中， ，所以 为锐角， ，所以为锐角， ，所以为锐角， 所以是锐角三角形． （2）（i）证明：因为， 在上，且， 由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称， 故以 为原点，分别为 轴和 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，因为，所以． 因为 是线段上靠近 的三等分点，故，即， 故，，， 依题意得，化简得， 且，即，故，又点 不在直线上，故，同理，，且， 故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在 轴的两侧，如图． 因为的两条渐近线分别为 和，它们的夹角为，所以． 因为平面平面，，， 所以 是二面角的平面角，所以二面角为锐角． （ii）． 【解析】 【分析】（1）证法一：不妨设，且，利用余弦定理证明；证法二：根据条件建系，利用向量数量积的坐标运算判断；证法三：利用转化法求向量数量积判断； （2）（i）建系后设，，利用空间向量夹角公式推出，，利用其代表的轨迹双曲线的渐近线夹角进行证明；（ii）解法一：将问题等价转化为在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线 过点，，，求的最小值；解法二：运用解析法和向量的数量积运算求解；解法三：将问题等价转化为在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线 过点，，求的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解法一：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 由（i）知，，所以，又因为，， 所以，故． 因为，所以分别是直线与所成的角， 即， 不妨设，则，且，所以，， 且． 作于 ，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为 是线段上靠近 的三等分点，所以 是线段上靠近 的三等分点， 所以，即直线 过， 所以，所以， 这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上， 直线 过点，，，求的最小值． 如图，不妨设点 在第四象限，则，．因为都在双曲线的右支，故， 即，所以，又，， 即且，解得， 所以， 当，即时，等号成立． 故的最小值为． 解法二：因为△不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 作于 ，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为 是线段上靠近 的三等分点，所以 是线段上靠近 的三等分点， 所以，即直线 过． 在平面直角坐标系中，设直线 的方程为， 联立得， 依题意，有且 因为，所以． 因为， 所以 ， ， 同理， 不妨设，则必有． 因为， 因为且，所以，代入上式得到 ， 所以， 又因为，所以． 因为，所以分别是直线与所成的角，即， 因为，所以，所以，所以， ， 当，即时，等号成立． 故的最小值为． 解法三：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 由（i）知，，所以，又因为，， 所以，故． 因为，所以分别是直线与所成的角，即， 不妨设，则，且，所以，， 且． 作于 ，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为 是线段上靠近 的三等分点，所以 是线段上靠近 的三等分点， 所以，即直线 过， 所以，所以． 这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上， 直线 过点，，求的最小值． 如图，不妨设点 在第四象限，因为，所以点 在以 为直径的圆 内（含边界），记 圆 与双曲线在第四象限的交点为，则． 因为在渐近线的上方，故，而，故， 即直线与双曲线右支有两个交点，符合条件．所以当点 位于点时，最大，则最小． 联立，得，解得或（舍去）， 故当，即时，的最小值为． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高中毕业班适应性考试 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，84，78，86，91，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 78 B. 82 C. 84 D. 85 5. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 6. 已知函数为增函数，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥 的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有 个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若 ，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交 于两点，直线 交 于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则______. 13. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 14. 已知数列满足 ，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，，． （1）若，求 的面积； （2）点D在边BC上，，E为AC中点，且，求角C的大小． 16. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求 的取值范围． 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求 的取值范围． 19. 已知平面，垂足为 ，直线，是内的动点，且始终在 的两侧． （1）若，证明：是锐角三角形； （2）若， 是线段上靠近 的三等分点，． （i）证明：二面角为锐角； （ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $