空间线段点的存在性问题、立体几何中的最值与范围问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

空间线段点的存在性问题、立体几何中的最值与范围问题专项训练 空间线段点的存在性问题、立体几何中的最值与范围问题专项训练 考点目录 空间线段点的存在性问题 立体几何中的最值与范围问题 考点一 空间线段点的存在性问题 例1．（24-25高二下·江苏常州·月考）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；（2）不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意可证出平面，即可证得； （2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出； ②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在. 【详解】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 例2．（2026·浙江宁波·二模）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）根据余弦定理，求出几何体各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由向量共线的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得， 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 （2）如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故. 记在上的射影点为， 设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且. 例3．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面ACD； (2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）取的中点，先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； 解法一：（ⅰ）先证明是二面角的平面角，根据面积公式可得，由此可求结论； （ⅱ）过作交于，求三棱锥的体积，利用等体积法求点到平面的距离，再由线面角的几何定义求结论； 解法二：（ⅰ）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式列方程求， （ⅱ）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）证明：取的中点，由题意知，，所以，，三点共线， 由得；由得， 又，故，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）解法一：（几何法） （ⅰ）由（1）知平面，平面， 所以，又，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以， 由得， 所以， 即，即， 由得，所以； （ⅱ）过作交于，则平面， 由（ⅰ）知， 所以， 由（ⅰ）知，所以， 记到平面的距离为，所以， 所以，即， 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 解法二：（建系法） （ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，， 由得， 设平面的法向量为，由得， 故，取，可得，所以， 设平面的法向量为， 记二面角的大小为，则， 化简得，解得或（舍）， （ⅱ）由（ⅰ）知，取平面的法向量为， 又，记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高三下·江西·月考）如图，四棱锥中，平面，平面平面， (1)证明：平面： (2)点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 【分析】（1）方法一：利用线面垂直判定定理，通过证明垂直平面内两条相交直线与来实现；方法二：先求出相关边长和角度，再证明垂直平面内两条相交直线与. （2）（i）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. （ii）先根据向量关系得出点坐标，再利用球心到四点距离相等列出方程，求解方程得到球心坐标，最后根据球心在平面内确定的值. 【详解】（1）方法一：由平面，平面，得， 因为平面平面，且平面平面， 取的中点，连接，又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面. 方法二：因为平面，平面，得， 又因为，所以，， 又因为，所以，， 又因为， 由余弦定理得， 所以，故， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故， 又因为，且，，、平面， 所以平面. （2）（i）以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由于，即，即， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，令，则， 设平面的法向量为，， 则， 令，则， 设二面角的平面角为，注意到为锐二面角， 所以， 即二面角的余弦值为. （ii）设，则， 设过，，，四点的球的球心为， 半径为，则， 即，求解可得：， 令，解得满足条件， 综上所述：时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； （3）利用等体积法将体积比转化为对应三角形面积比，结合另一组同高棱锥的体积比等于底边长之比，从而求出线段的长度，确定满足条件的点. 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 变式3．（2026·云南红河·模拟预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答． ①； ②； 是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据题意可得，结合面面垂直的性质分析证明即可； （2）建系并标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设（），可得，，若选①：根据空间向量的数量积运算求解；若选②：可得，结合模长公式运算求解. 【详解】（1）因为，，则，即． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接， 因为为等边三角形，且，则，且， 以为坐标原点，，，平行的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设面的一个法向量为，则， 令，得，，可得； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，可得； 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． （3）由（2）可知，， 因为点在线段上，设（），则（）， 因为，， 若选①：存在一点，使得， 理由如下：因为，解得或（舍去）， 所以当为线段的中点时，． 若选②：存在一点，使得， 理由如下：因为， 可得， 又因为，即，解得或（舍去）， 因此当为线段的中点时，． 考点二 立体几何中的最值与范围问题 例1．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【详解】（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 例2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，再利用性质推理得证. （2）由（1）中信息，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设，求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式，再结合正弦函数的性质求出最大值. 【详解】（1）设， 在半圆中，直径，为中点，则，折后，， 由扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为， 得，则，所以，所以， 又，平面，因此平面， 又平面，所以. （2）由（1）得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，令，则，， 则，， 设平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以得平面的一个法向量， 而平面的一个法向量， 因此 ， 由，得，则， 所以当时，， 所以平面与平面夹角余弦的最大值为. 例3．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值； （3）首先计算得，再计算体积表达式，最后根据范围即可得到答案. 【详解】（1）延长交的延长线于点，则为交线， 因为为的中点，，所以为的中点，所以， 因为侧面是等边三角形，所以， 所以，所以， 所以所求角为． （2）取的中点，连接，由，则， 分别以所在直线为轴和轴， 以过垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则． 设直线与平面所成角为， 则．， 令，则， 令，结合的取值范围可知， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，故. （3）由题意可知，所以点为的中点， 设， 因为， 则， 又因为， 所以，解得． 即 ， 因为，所以． 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，为的中点， ． (1)证明：平面平面； (2)点为底面所在平面内一点，且． （ⅰ）若点在两平行直线与之间，设平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）已知，，，，在同一球面上，设该球的球心为，证明：球心在平面上，并判断是否存在点E在球的球面上，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，存在 【分析】（1）连接，利用勾股定理的逆定理可得，再利用等腰三角形中线性质可得，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）（ⅰ）建立适当空间直角坐标系后，可设出点坐标，再表示出平面和平面的法向量后，利用向量夹角公式计算即可得解；（ⅱ）由底面为矩形，可得球心投影在矩形中心，再利用外接球性质计算可得球心，即可得其位置，再计算是否存在符合要求的点，使得等于外接球半径即可得. 【详解】（1）连接，由，，四边形为矩形， 则，又，， 则有，故， 由，为的中点，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）取的中点，连接，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由，则点轨迹为以、为焦点的椭圆， 且椭圆方程为； （ⅰ）由点在两平行直线与之间，则， 设平面的法向量为，由， 得，取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 得，取，得， 故平面的一个法向量为． 则， 令，则， 所以， 由函数单调递增， 则当时，取最大值，最大值为； （ii）设，由四边形为矩形，则在平面的投影为矩形中心， 即有，，则由外接球性质可得， 即有， 解得，即，故球心在平面上， 该外接球半径， 由，则点到球心的距离 ， 令，则有， 解得或， 由，可得，则符合题意，不合题意， 故存在点E在球的球面上.    变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2）设到平面的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 变式3．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)证明：平面； (2)动点在所在的平面内，且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）先由平面得，然后利用题目已知条件求得，再用勾股定理得到，进而证得平面. （2）①先根据 在平面 内的条件，设出 的坐标为 ；然后由   ，代入坐标整理出圆的方程 ；最后得到这是一个半径为 1 的圆，计算其周长 即为轨迹长度.②先求出平面 的法向量 ；然后写出 的坐标，代入向量公式 ，并联立方程得到的取值范围，最后求出 的最大值 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 过 作 于 ，如图： 因为，，， 所以四边形为正方形，      则，，， 在 中，， 在 中，    ， 所以， 则，所以， 又，平面，平面，故平面； （2）以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，设， ①，，由得， 故动点的轨迹是平面内以为圆心，1为半径的圆，轨迹的长度为； ②，，， 设平面的法向量，则，取，则， ， 设，在平面内，直线与圆有公共点，联立方程并化简得：，则，解得， 则当时，取得最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间线段点的存在性问题、立体几何中的最值与范围问题专项训练 空间线段点的存在性问题、立体几何中的最值与范围问题专项训练 考点目录 空间线段点的存在性问题 立体几何中的最值与范围问题 考点一 空间线段点的存在性问题 例1．（24-25高二下·江苏常州·月考）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·浙江宁波·二模）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 例3．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面ACD； (2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 变式1．（25-26高三下·江西·月考）如图，四棱锥中，平面，平面平面， (1)证明：平面： (2)点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 变式3．（2026·云南红河·模拟预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答． ①； ②； 是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 考点二 立体几何中的最值与范围问题 例1．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 例2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 例3．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，为的中点， ． (1)证明：平面平面； (2)点为底面所在平面内一点，且． （ⅰ）若点在两平行直线与之间，设平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）已知，，，，在同一球面上，设该球的球心为，证明：球心在平面上，并判断是否存在点E在球的球面上，请说明理由． 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 变式3．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)证明：平面； (2)动点在所在的平面内，且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成的角为，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $