2.1 第2课时 无理数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦七年级下册“无理数”教学，核心内容包括无理数概念、判断方法及用计算器求近似值。通过视频情境导入，结合剪拼长方形为正方形的活动，引导学生从有理数自然过渡到无理数，构建知识支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，体现数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），如通过剪拼活动抽象无理数概念，议一议辨析“带根号的数是否为无理数”培养批判性思维。计算器操作环节强化应用意识，帮助学生理解无限不循环小数，教师可借助结构化资源提升教学效率，学生能在探究中发展创新意识。

2.1 平方根 第2课时 无理数 第2章 实 数 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是 无理数.（重点） 2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值． （难点） 点击视频开始播放 → 情境导入 观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？ 正方形的面积为 8 cm2， 由于 22 = 4，32 = 9， 又 4＜8＜9， 且面积较大的正方形的边长也较大， 因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数. 思考：正方形的边长怎么表示呢？是个什么样的数呢？ 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 无理数的认识 1 探究新知 5 还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？ 追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？ 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 7 追问2：a 可能是分数吗？ ① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ 归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数. 8 思 考 观察下列结果： 12 = 1， 22 = 4； 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164 1 .414²=1.999396， 1.415²=2.002225; 1.4142²=1.99996164， 1.4143²=2.00024449; … … (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 解：由于12<2，2<22，所以1<<2. 由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5. 同理可得，1.41<<1.42， 1.414<<1.415，1.4142<<1.4143. (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 知识要点 事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 例如，，，π 是正无理数， ，，π 是负无理数. 类似于有理数分类， 无理数也分为正无理数和负无理数. 议一议 下面的说法正确吗? 如果不正确，请说明理由. (1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数. 答：(1) 不正确. 如 = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，属于无理数 (2) 正确. (3) 不正确. 如 = 2 属于有理数. (4) 不正确. 如 π. 练一练 1. 把下列各数分别填入相应的集合内： 0.101， 有理数集合 无理数集合 ．．． ．．． （每两个3之间依次增加一个7） （每两个3之间依次增加一个7） 我们常见的无理数的有以下三种形式： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） …… 总结归纳 例1 设 n 为正整数，且 n＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：根据特殊有理数找出最接近的平方数，问题可得到解决． 因为 ＜ ＜ ， 所以 8＜ ＜9， 所以 n＝8. D 典例精析 方法总结：开不尽平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围． 练一练： 写出一个比－3大的无理数：_________. 问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？ 例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 用计算器求算术平方根 2 问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？ 3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数. 知识要点 例2 用计算器求下列各式的值. (1) (2) （精确到小数点后面第三位）. 解：(1) 依次按键： 显示：32 所以 1 2 0 4 = (2) 依次按键： 显示：2.828427125 所以 8 = 2.用计算器比较下面两数的大小： (1) (2) 解：(1) 3.236067978. (2) 3.339148045. 练一练 20 总结归纳 由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a. 做一做 = a 成立吗？ 若不成立，请举例说明. 当 a≥0 时， = a 成立. 当 a＜0 时， = a 不成立. → 无理数 化简后含有 π 的数 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） 开不尽方的数开方所得结果 用计算器计算 ↓ 概念 …... 课堂小结 1. 下列各数： 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】无限不循环小数是无理数，其中 (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是有理数. A 课堂练习 23 【解析】因为 3.14 是小数， 是分数， 是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数. 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. D. C (1) 有限小数是有理数. ( ) (2) 无限小数都是无理数. ( ) (3) 无理数都是无限小数. ( ) (4) 有理数是有限小数. ( ) 3. 判断题： ╳ √ √ ╳ 4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为 25 的正方形 B.面积为 的正方形 C.面积为 8 的正方形 D.面积为 1.44 的正方形 C 用计算器计算 ：显示 2.4494897， 所以 . 5.用计算器求下列各式的值： 6. 面积为 6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器 求边长的近似值（精确到 0.001 cm）. 正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为 cm. 解： 解： 解： 7. 用计算器分别求 的近似值 (精确到0.001). 8. 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ 利用你发现的规律直接写出结果： 4···4442 3···3332 + = 5···555. 5555. = 2 2 3333 4444 + 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $