云南省玉溪第一中学2025—2026学年下学期高三适应性测试（二）数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高三适应性测试（二） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.某校举办演讲比赛，五位评委给某位参赛选手的评分分别为，，，，，若这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为 A. B. C. D. 3.已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值 A. B. C. D. 4.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 5.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间单位：时的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数已知，给氧小时后，血氧饱和度为若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间单位：时为精确到，参考数据：， A. B. C. D. 6.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，用过点，，的平面截正方体，则截面周长为 A. B. C. D. 7.设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上点满足，直线和直线分别和椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8.在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则 A. B. C. D. 10.函数的图象如图所示，则 A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若在上有且仅有两个零点，则 11.在正方体中，，点为正方体内部含表面的点，且满足，，则下列说法正确的是 A. 存在点使得平面 B. 异面直线与间的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值范围是 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线方程为 ． 13.直线与抛物线交于，两点，若，则中点到轴距离的最小值是 ． 14.已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，． 证明：平面； 若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 16．（15分）已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，． 求双曲线的方程 过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线过定点． 17．（15分）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． 求数列的通项公式 将数列与的所有项从小到大排列得到数列 求的前项和 证明：． 18．（17分）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分平局不得分棋手负减分当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止否则比赛继续已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，，，且各局比赛相互独立． 求两局后比赛终止的概率 在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率 在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19．（17分） 已知函数，． 若函数与在处的切线平行，，求的极值； 当时，讨论函数零点的个数； 设为正整数，若，，求的最小值． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高三适应性测试（二） 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 2 27 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：证明：如图，连接， 在中，由，可得， ，， ，， ，，， 则， 故， ，，，平面， 平面； 解：由可知，，，两两垂直， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ，， 则， 又，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设平面的法向量为， ，， 则，令，则，， 故， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．  16．（15分） 解：因为的离心率为，所以，当轴时，，不妨令，代入的方程中，得，解得，则双曲线的方程为． 设，，则因为的斜率不为，所以可设，联立得，所以，，则，因为，所以直线的方程为由双曲线对称性得直线所过定点必在轴上，故令，得，则因为，所以因为所以，所以，所以直线恒过定点． 17．（15分） 解：设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； 解：由知，，所以， 因为，所以，所以的前项和为； 证明：因为，所以， 所以当时，； 当时，． 综上即证．  18．（17分） 解：设第局比赛甲胜为事件，第局比赛甲平为事件，第局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止， 当棋手得分为分，则局均负，即 当棋手得分为分，则局先平后胜，即， 因为，互斥， 所以 ， 所以两局后比赛终止的概率为； 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件， 因为 ， ， 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ， 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 因为局获奖励万元，说明甲共胜局， 当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种 当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ， 所以， ， 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为．  19．（17分） 解：， ，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行， 得， 此时， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 由知， 因为，故时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由， 知在上有一个零点， 当时，在上无零点， 此时在上仅有一个零点； 当时，， 在上有一个零点， ， 故在上有一个零点， 此时在上有个零点， 当时，在上有一个零点， 此时在上有个零点， 综上所述，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有个零点； 当时，在上有个零点； 由知，对于任意， 得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，， 当时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数的最小值为． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $