【内蒙古专用】期中模拟卷（1）（人教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（   ） A． B． C． D．1 2．有下列说法： ①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两条直线平行． 其中，说法正确的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 3．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（    ）    A． B．与异面 C．与异面 D．与所成的角为 5．复数（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C． D．2 6．已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．计算：（　　） A． B． C． D． 8．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列说法错误的是（      ）． A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D． 9．复数（其中为虚数单位）的实部为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．下列命题中，正确的是（ ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 11．设，，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．复数，则_____________. 14．若复数满足，则_____. 15．如图，在正方体中，，E为的中点，点F在上，若平面，则线段的长度等于__________． 16．如图所示的立方体中，下列直线①AC；②AD；③；④；与直线垂直的有_________，（填写序号）    17．已知复数，则的共轭为____. 18．在正方体中，与所成的角的大小是_________ . 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．（本小题8分）已知复数．求： (1)，； (2)，． 20．（本小题8分）已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 21．（本小题10分）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 22.（本小题10分）如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 23．（本小题12分）已知复数，. (1)求； (2)求； (3)求. 24．（本小题12分）如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线BD⊥平面； (2)证明：直线平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数虚部的定义求解. 【详解】复数（i为虚数单位），则z的虚部为， 故选：C. 2．有下列说法： ①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两条直线平行． 其中，说法正确的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据空间中两条直线的位置关系逐项判断即可. 【详解】①：空间中平行于同一条直线的两条直线平行，该说法正确； ②：空间中平行于同一个平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，该说法错误； ③：空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，该说法错误； ④：空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，该说法正确． 故说法正确的是：①④. 故选：C. 3．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】根据共轭复数的定义可知， 复数的共轭复数. 故选：A. 4．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（    ）    A． B．与异面 C．与异面 D．与所成的角为 【答案】C 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可求解. 【详解】    如图所示，将展开图还原成正方体. 选项A，由于此几何体为正方体，所以，∴四边形是平行四边形，∴，故正确. 选项B，与不同在任意一个平面内，所以它们是异面直线，故正确. 选项C，与两直线相交，∴与可唯一的确定一个平面，所以它们是共面直线，故错误. 选项D，根据选项A的证明，四边形是平行四边形，∴，连接，则为等边三角形，即与所成的角为，故正确. 故选：C. 5．复数（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的模的公式求解. 【详解】复数，其中， 则. 故选：B. 6．已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由直线与平面平行的性质以及点线面位置关系，依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误； 对于B，若，则或与相交，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则由线面平行性质定理可得，故D正确. 故选：D. 7．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 8．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列说法错误的是（      ）． A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D． 【答案】D 【分析】根据平行公理、线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理、异面直线的定义及所成角，分析求解即可. 【详解】对于选项A：因为，E、F分别为、的中点，所以， 又因为，所以，因为平面， 平面，所以平面，故A正确； 对于选项B：在正方体中， 平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为由（1）知，所以平面，故B正确； 对于选项C：由正方体可知与不平行且无交点，所以是异面直线，故C正确； 对于选项D：由（1）知，所以即为的所成角， 因为均为正方形的对角线，所以正方体中 ，即为等边三角形，所以， 所以不垂直，故D错误， 故选：D. 9．复数（其中为虚数单位）的实部为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算法则计算，再由实部的概念即可解答. 【详解】因为， 所以复数的实部为， 故选：B. 10．下列命题中，正确的是（ ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 【答案】B 【分析】根据线面平行、线线平行的判定及性质即可得解. 【详解】对于选项，直线与平面平行，不代表和这个平面内任意直线平行， 只能是与这个平面内所有直线都不相交，即可能异面，可能平行，故选项错误； 对于选项，平面外两条平行直线，一条与平面平行，则另一条也与此平面平行，故选项正确； 对于选项，如果一条直线与两个相交平面的交线平行，但该直线位于其中一个平面上， 那么它不会平行于该平面，故选项错误； 对于选项，平行于同一平面的两条直线有可能异面，有可能相交，故选项错误； 故选：. 11．设，，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数求和转化成复平面内点的坐标直接得到答案. 【详解】因为，， 所以， 则在复平面内对应的点坐标为， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 12．已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，连接，由已知条件推出是到的距离，即可求解. 【详解】 作，连接， ∵平面，平面， ∴. 而，且平面，平面 ∴平面，即，故是到的距离. ∵在矩形中，，，平面，且， ∴根据矩形面积公式得，， 即. ∴. 故选：B. 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．复数，则_____________. 【答案】8 【分析】根据复数加法运算法则进行计算即可. 【详解】因为，， 则. 故答案为：8. 14．若复数满足，则_____. 【答案】1 【分析】根据题意，结合复数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：1. 15．如图，在正方体中，，E为的中点，点F在上，若平面，则线段的长度等于__________． 【答案】 【分析】根据直线与平面平行的性质得出即可解答. 【详解】在正方体中，， ， 平面，且平面， 又平面平面， ， E为的中点， 点F是的中点，， 故答案为：. 16．如图所示的立方体中，下列直线①AC；②AD；③；④；与直线垂直的有_________，（填写序号）    【答案】①②④ 【分析】由线面垂直的性质结合立方体的结构逐项判断即可. 【详解】由图中立方体可得，平面，平面， 且平面，平面， 所以， 因为，与不垂直，所以与不垂直. 故答案为：①②④. 17．已知复数，则的共轭为____. 【答案】 【分析】由复数的乘法运算和共轭复数即可得解. 【详解】， 故其共轭复数为. 故答案为：. 18．在正方体中，与所成的角的大小是_________ . 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质，即可求解． 【详解】 如图，连接，则， 则为异面直线与所成的角， 因为在正方体中，都是面对角线， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 即直线与所成的角为． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．（本小题8分）已知复数．求： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据题意，结合共轭复数的定义及复数的模，即可求解； （2）根据题意，结合复数的运算，即可求解. 【详解】（1）因为复数， 所以；； （2）由（1）知， 所以； . 20．（本小题8分）已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）连接并延长交于，通过已知条件中的比值关系来寻找平行的条件，得出，进而可得结论； （2）利用余弦定理，结合已知条件求的长度． 【详解】（1）连接并延长交于，连接，如图所示． ，， ， 又， ， 又平面平面， 平面．    （2）在等边中，， 在中，由余弦定理知 ， ． ， ． 21．（本小题10分）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，根据复数的代数运算及纯虚数的概念可得结果； （2）由（1）根据复数的代数运算及复数模的定义可得结果； 【详解】（1）将代入得 . 因为为纯虚数， 所以，解得，即复数； （2）由（1）知， 所以，. 22.（本小题10分）如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线所成的角化为三角形中的角即可解得. （2）将线面角化为平面角，根据已知求得三角形边长进行计算即可解得. 【详解】（1）由题，为正方体， 则， 则即为异面直线与所成的角， 又知为正方形，为正方形对角线， 则， 即所求异面直线与所成角为. （2）由题，为正方体， 则平面，平面， 故，又， 则为与平面所成的角， 由题可知， 则，， 在直角三角形中，， 故所求线面角的正切值为. 23．（本小题12分）已知复数，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数加法的知识求得正确答案. （2）根据复数乘法的知识求得正确答案. （3）根据共轭复数、除法的知识求得正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）， . 24．（本小题12分）如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线BD⊥平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $