专题02 圆与扇形（期中复习讲义，5重难题型+分层验收）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 圆与扇形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆的基本概念与性质（基础必拿分） 题型02 圆的周长计算（高频基础题） 题型03 圆的面积计算（核心压轴题） 题型04 扇形的认识与计算（基础+中档题） 题型05 组合图形面积（压轴必考题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质 1. 准确辨析圆心、半径、直径，掌握d与r的换算 2. 理解π的意义，区分π与3.14的近似关系 3. 能根据条件确定圆的位置（圆心）与大小（半径） 多以填空、选择考查概念辨析，如“直径是半径的2倍”前提为同圆/等圆，基础送分题，极少单独出解答题。 圆的周长计算 1. 熟练记忆并灵活运用周长公式 2. 掌握公式双向计算 3. 区分“圆周长的一半”与“半圆周长” 期中必考题型，选择、填空、解答均有出现，常结合生活情境（车轮、花坛、圆形跑道）考查应用 弧长相关计算 1. 理解弧长是圆周长的一部分，掌握比例关系 2. 熟练运用弧长公式进行三类基本计算 3. 能区分弧、扇形、半圆的概念差异 选择、填空高频考点，常与圆心角结合考查，解答题中常作为扇形周长、组合图形周长的组成部分 圆的面积计算 1. 掌握圆面积公式及推导过程，理解“化曲为直”思想 2. 能准确进行面积双向计算，区分周长与面积公式 3. 熟练计算圆环面积，识别同心圆特征 核心必考考点，基础计算、阴影面积、生活应用（花坛、喷水池） 易混点：周长（）与面积（）公式、单位（长度vs面积） 扇形的面积计算 1. 理解扇形是圆的一部分，掌握面积比例关系 2. 灵活运用两种扇形面积公式计算 3. 区分扇形面积与三角形面积、扇形周长与弧长 期中重点，选择、填空、解答均会考查，常考组合图形：扇形+三角形、扇形+长方形、半圆+扇形 组合图形与实际应用 1. 掌握割补、转化等方法计算组合图形面积 2. 能将实际问题抽象为圆与扇形数学模型 3. 提升复杂图形分析与分步计算能力 期中解答题压轴核心考点，难度中等偏上；阴影面积、滚动问题是高频难点，区分度高 知识点01 圆的周长与弧长 1. 圆的基本要素 要素 定义 表示与关系 圆心 圆的中心固定点 用字母O表示，决定圆的位置 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 用字母r表示，决定圆的大小 直径 过圆心且两端在圆上的线段 用字母d表示；d = 2r， 圆的对称性 轴对称图形 过圆心的任意直线都是对称轴，有无数条 2. 圆的周长 定义：围成圆的曲线长度，用C表示。 圆周率（π）：圆的周长与直径的固定比值，无限不循环小数（π≈3.1415926…），计算时常用近似值3.14。 公式：C = πd 或 C = 2πr（已知半径或直径代入计算）。 3. 弧与圆心角 弧：圆上两点间的曲线部分，记作（劣弧）、（优弧）。 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，用n°表示（n为度数）。 弧长公式：n°圆心角所对弧长。 知识点02 圆与扇形的面积 1. 圆的面积 定义：圆所围成平面的大小，用S表示。 推导：通过“割补法”将圆等分拼接成近似长方形，长方形的长=圆周长的一半（πr），宽=半径（r），因此面积=长×宽。 公式：S = πr²（已知半径代入计算）。 2. 扇形 定义：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形，是圆的“部分”。 扇形面积公式： 基于圆心角：（与弧长公式同源，体现整体与部分关系）。 基于弧长：（l为弧长，r为半径，简化计算常用）。 3. 拓展：圆环面积 定义：两个同心圆之间的区域。 公式：S环 = πR² - πr² = π(R² - r²)（R为外圆半径，r为内圆半径）。 知识点03易错提醒 1.周长公式混淆：区分C=πd与C=2πr，避免半径、直径代入错误。 2.弧长/扇形面积公式：牢记n为圆心角度数（无单位），与360°的比例是核心。 面积单位：计算面积时注意单位统一，结果带平方单位（如cm²、m²）。 题型一 圆的基本概念与性质（基础必拿分） 解｜题｜技｜巧 1.半径、直径、圆心的识别与计算 正方形内最大圆：直径=正方形边长；长方形内最大圆：直径=长方形短边。 已知周长求半径：先套，得；求直径：。 2.圆的对称性（对称轴判断） 圆有无数条对称轴，均为过圆心的直线；组合图形对称轴取公共部分。 【典例1】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 【答案】 圆心 半径 直径 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的概念，圆心决定圆的位置，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径． 【详解】解：点O是（圆心），线段是（半径），线段是（直径）． 故答案为：圆心，半径，直径． 【典例2】．（2025六年级下·上海·专题练习）请你用圆规和三角尺画出下面三个图案． 【答案】见详解 【知识点】 与圆相关的轴对称图形 【分析】本题主要考查了画圆、与圆相关的轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的特点． （1）先用圆规画出一个大圆，再用三角尺画出这个大圆的一条竖直的直径，再以大圆的半径为直径画上下两个小圆，上面的小圆只画出左边部分，下面的小圆只画出右边部分，最后擦掉画出的这条直径，据此画图即可； （2）先用圆规画出一个圆，把这个圆平均分成6份（用半径在圆周上截取即可），然后用三角尺顺次连接每个等分点，即在圆内画出一个最大的正六边形；分别连接正六边形的三组相对的顶点画出圆的三条直径；再分别连接六边形左上方、左下方及右边的三个顶点，据此在圆内画一个最大的等边三角形即可； （3）先用圆规画出一个大圆，并确定圆心的位置，再以所画大圆的半径为直径在圆内画出4个相同的小圆，这4个小圆分别在大圆的左上方、左下方、右上方、右下方的位置，注意这4个小圆都要经过大圆的圆心，据此画出这个图案。 【详解】解：画图如下： 【变式1】．（2025六年级下·上海·专题练习）车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，是利用了同一圆的________的特征． 【答案】半径都相等 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的概念及特点，根据圆到圆心的距离相等，即同一圆内所有的半径都相等，那么车身与地面的距离就相等，就不会颠簸，据此分析． 【详解】解：车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，根据分析，是利用了同一圆的半径都相等的特征． 故答案为：半径都相等． 【变式2】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下面圆形中画一个最大的正方形，并画出整个图形所有的对称轴． 【答案】见详解 【知识点】 与圆相关的轴对称图形 【分析】本题考查了与圆相关的轴对称图形、对称轴的画法及数量．直径是圆内最长的线段，据此找到两条直径的交点是圆心，再画出两条垂直的直径，最大正方形的4个顶点就在两条垂直的直径与圆的交点处，依次连接4个顶点，即可画出最大的正方形． 正方形的对称轴就是整个图形所有的对称轴，据此画出所有的对称轴． 【详解】解：如图所示， 题型二 圆的周长计算（高频基础题） 解｜题｜技｜巧 1.已知半径 / 直径求周长 直接套公式，优先选对应公式（已知直径用，已知半径用）。 2.已知周长求半径 / 直径（逆运算） 变形公式计算，注意单位统一。 3.半圆周长（高频易错） 半圆周长=圆周长的一半+直径（），漏加直径是最大错误。 4.组合图形周长（如捆扎、操场跑道） 描边法——逐段分析周长由“弧长+直线段”组成，分别计算再相加。 【典例1】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的（   ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，圆的周长与直径成正比，直接利用周长公式计算变化前后的比值即可. 【详解】解：当直径为4厘米时，周长厘米， 当直径增加到12厘米时，周长厘米， ∴周长变化的倍数为， 因此，周长变为原来的3倍，对应选项B， 故选：B 【典例2】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是_____厘米（取3.14）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查了求圆的周长，根据圆周长的公式求解即可． 【详解】解：圆的周长为：（厘米）， 故答案为： 【典例3】．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【答案】199.92厘米 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长求解即可．熟练掌握圆的周长公式是关键． 【详解】解：根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长可得： 厘米， 答：捆4圈至少用绳子199.92厘米． 【典例4】．（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)； (2)不省料，见解析； (3)甲可以得到1080元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、 圆的周长 【分析】本题考查了认识平面图形，以及圆的有关计算．解题的关键是能够找出等量关系列方程解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是30米的两个圆的周长即可； （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是12米、和18米的圆的周长和，然后与图1进行比较； （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径30米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为x米，则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高后为米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米）， （米）， （米）， 由（1）得按照方案A修，修的花坛的周长是米， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等； （3）解：设甲原来每小时的工作效率为x米， 则乙的工作效率为米，甲的工作效率提高为米， 解得， 则（米）． ∴（元）， 答：甲可以得到元． 【变式1】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆形花坛，周长是米，在离开花坛边米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长公式，掌握圆的周长公式是解题的关键．先求花坛的半径，再计算栏杆的长． 【详解】解：米 故选：B． 【变式2】．（24-25六年级下·上海松江·期中）《碧水滴珠》中“滴水有声荡涟漪，珠落玉盘微波远”描述了雨点打在水面上荡起层层波纹的情景．已知水池是一个长5、宽4的长方形，那么当波纹到池边时所形成的最大整圆的周长是________． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长，根据题意，易得当波纹到池边时所形成的最大整圆的直径为长方形的宽，利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：最大整圆的周长是； 故答案为： 【变式3】．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝另一方向去捉老鼠，结果在距点米的点处捉住了老鼠．已知是圆的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是________米．(取 【答案】 【知识点】比的应用、 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，以及比的应用，根据老鼠与花猫的速度比是，时间相同时，则老鼠所跑路程与花猫所跑路程的比是，则花猫所跑路程比老鼠所跑路程多，列出方程可得答案． 【详解】解：设圆形管道的直径为米， 根据题意得：， 解得：， 圆形管道的直径是米； 故答案为：． 【变式4】．（24-25六年级下·上海·期中）已知圆的半径为，等边三角形的边长为．如图，圆按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． （1）当圆第三次回到原来位置时，圆心走过的路程是_______（用含的代数式表示，保留） （2）假设圆从中点位置开始滚动，当圆心走过的路程为2023时停止，问：圆绕圆心滚动了________圈． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查了圆的周长，列代数式，解题的关键是熟悉圆的周长公式， 对于（1），求出圆O的周长和等边三角形的周长，当圆O第三次回到原来位置时，走了，即可作答． 对于（2），用圆心走过的路程除以圆的周长可得答案． 【详解】解：（1）根据题意可得圆O的周长， ∵等边三角形的边长为， ∴等边三角形的周长为 当圆O第三次回到原来位置时， 圆心O走过的路程是； （2）依题意，周……， ∴圆绕圆心滚动的圈数为1011.5圈． 故答案为：，1011.5． 【变式5】．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【答案】(1)最内侧跑道的直道长是米 (2)超前米 (3)， 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长的应用； （1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【详解】（1）解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； （2）解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； （3）解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 【变式6】．（24-25六年级下·上海·月考）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图2，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留） (2)如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 厘米．（结果用含有a的式子表示） 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【详解】（1）解：由题意可得：如图3，点所经过的路线是以点为圆心，以为半径，圆心角为的弧长， 故点A经过的路程为（厘米）； （2）解：设旋转角的度数为，则点经过的路程为厘米， 故， 故点经过的路程为厘米． 题型三 圆的面积计算（核心压轴题） 解｜题｜技｜巧 1.已知半径/直径/周长求圆面积 先求半径，再套；已知周长时，先由求半径。 2. 外方内圆/外圆内方（高频压轴） 外方内圆：剩余面积=正方形面积-圆面积（正方形边长=圆直径）。 外圆内方：正方形面积=2（对角线=2，面积=对角线²÷2）。 3.圆环面积（实际应用：小路、草坪） 核心公式，先找外半径和内半径（内半径=圆形物体半径，外半径=内半径+路宽）。 4.圆面积与半径的倍数关系（易错题） 牢记“周长是线性变化，面积是平方变化”，避免混淆。 【典例1】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（   ） A． B． C． D．4倍 【答案】B 【知识点】 圆的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积，列代数式等知识点，解题的关键是列代数式表示出两个圆的面积． 已知大圆半径等于小圆的直径，可设小圆半径为，则大圆半径为，根据圆的面积公式分别计算大小圆的面积，再求比值即可． 【详解】解：设小圆的半径为，则大圆的半径为小圆的直径，即， 小圆的面积为：， 大圆的面积为：， ∴小圆面积与大圆面积的比值为： 因此，小圆面积是大圆面积的， 故选：B． 【典例2】．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________．（取3.14） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆环的面积，掌握圆环的面积公式是解题关键．设大圆半径为，小圆的半径为，先利用三角形面积公式阴影的面积，得到，再根据圆环的面积公式计算即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆的半径为， 因为阴影部分的面积是， 所以，即， 所以圆环的面积是， 故答案为：． 【典例3】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 【变式1】．（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆的面积 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为正方形的对角线为直径，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： ． 故选：A． 【变式2】．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，长方形的边长，分别以、为直径作弧，两弧相交，形成的其中三个部分的面积分别是，，，且，则 __ （结果保留． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】由题意得，，然后根据以及圆的面积公式代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 即， ， ， 即． 【变式3】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，小圆的是阴影部分，大圆的是阴影部分，则小圆的阴影部分面积与大圆阴影部分面积的比值为_____． 【答案】 【知识点】 求比值、 圆的面积 【分析】本题考查比的意义和比例的基本性质的运用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，大圆面积的等于空白面积，小圆面积的等于空白面积，即大圆面积小圆面积，根据比例的基本性质求出小圆和大圆面积的比，进而求出小圆阴影面积与大圆阴影面积的比． 【详解】解：由题可得：大圆面积小圆面积， 小圆面积大圆面积， 小圆的阴影部分面积与大圆阴影部分面积的比值为， 故答案为：． 【变式4】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为2厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，那么圆心经过的距离为___________厘米． (2)如图2，将一个半径为2厘米的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动一周后圆心所经过的路径长为________厘米． (3)如图3，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆滚过区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 圆的周长、 圆的面积 【分析】（1）圆心O经过的距离为半径为2厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为半径为2厘米的圆的周长； （3）圆O滚过区域的面积为一个直径为4的圆的面积加上三个长方形的面积和一个直径为4的半圆的面积之和． 本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得厘米． 故答案为：． （2）根据题意，得厘米． 故答案为：． （3）解：∵长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且， ∴ ∴圆滚过区域的面积为：宽为， ． 题型四 扇形的认识与计算（基础+中档题） 解｜题｜技｜巧 1.扇形的基本概念（圆心角、弧） 扇形由“两条半径+弧”组成；圆心角的扇形面积是圆面积的。 2.弧长计算 套弧长公式，先确定圆心角和半径。 3.扇形面积计算 优先用；已知弧长时用更快捷。 4.多个扇形面积和（如梯形内扇形） 若扇形半径相等，面积比=圆心角比；多个扇形可合并为一个大扇形（如梯形内4个扇形和为圆面积）。 【典例1】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用．半径相等的两个扇形，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比．扇形面积公式是，由于两个扇形的半径相等，则扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比；依此即可求解． 【详解】解：由扇形面积公式可知，半径相等，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比． 因为一个扇形的圆心角扩大到原来的2倍，所以它的面积扩大到原来的2倍． 故选：D． 【典例2】．（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为________厘米．（取） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长．设这个扇形的半径为r厘米，根据弧长公式可得r的值，即可求解． 【详解】解：设这个扇形的半径为r厘米，根据题意得： ， 解得：， ∴这个扇形的周长为厘米． 故答案为： 【典例3】．（24-25六年级下·上海·月考）在一个周长是厘米的圆上有一段长为厘米的弧所对的圆心角是_______度． 【答案】72 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长和圆心角的计算，熟练掌握基本知识点是解题关键； 先通过周长算出半径，再通过弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ∵圆的周长是厘米 ∴， ∴， ∵弧长为厘米， 设圆心角为， ∴， 解得 故答案为：72． 【典例4】．（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为___（答案保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、比的应用 【分析】本题主要考查了比的运用，圆的面积计算，分别计算出两个扇形面积在圆中的占比，进而求出两个扇形的面积之比，据此可得答案． 【详解】解：因为， 所以圆中圆心角所在的扇形面积与圆中圆心角所在的扇形面积的比为， ∵圆中圆心角所在的扇形面积为， ∴该圆中圆心角所在的扇形面积为， 故答案为：． 【典例5】．（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【答案】224 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】利用扇形面积公式，设出原扇形的圆心角和半径，得到原面积的表达式，再根据圆心角和半径的变化，推导变化后扇形面积与原面积的数量关系，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为， 根据扇形面积公式，可得原扇形面积， 由题意得，变化后扇形的圆心角，半径， 则变化后扇形面积： （平方厘米） 【典例6】．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，用半径为，圆心角度数为60度的扇形面积减去半径为，圆心角度数为60度的扇形面积即可得到答案． 【详解】解： ， 所以图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【典例7】．（24-25六年级下·上海·期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为________平方厘米（结果保留π）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分） （平方厘米）， 故答案为：． 【典例8】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 【答案】(1)分米 (2)平方分米 (3)分米 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查弧长，扇形的面积，熟练掌握弧长和扇形的面积公式是解题的关键． （1）求出弧的长即可； （2）将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去扇形，进行求解即可； （3）根据点经过的路程是分米，求出旋转角的度数，再根据弧长公式求出点经过的路程即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，即旋转角为， 所以点经过的路程为（分米）； （2）解：由旋转可得，， 所以， 所以                   （平方分米）； （3）解：因为点经过的路程是分米， 所以， 因为分米，分米 所以分米， 所以点经过的路程是（分米）． 【变式1】．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形和圆的面积公式得“扇形面积与其所在圆面积的比等于圆心角与周角（）的比”，据此求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，周角为， ∴扇形面积占圆面积的比例为， ∴该扇形的面积是所在圆面积的， 故选：B． 【变式2】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）闹钟时针长是6厘米，从上午10点到下午2点，时针所扫过的面积是______平方厘米． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】从上午10时到下午2点，一共是4个小时，因为一个钟面有12个小时，所以时针“扫过”的面积，可用钟面的面积乘以，即可得到答案． 【详解】解： （平方厘米） （平方厘米）； 故答案为：． 【变式3】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个扇形的半径为8厘米，圆心角为，那么该扇形的面积为______平方厘米． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查了扇形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得该扇形的面积为（平方厘米．） 故答案为：． 【变式4】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是__________． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为扇形面积是它所在圆面积的， 所以扇形的圆心角度数是的， 则， 所以这个扇形的圆心角是． 故答案为：． 【变式5】．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，以为直径的半圆和以为半径的扇形，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么_____． 【答案】45 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形面积与圆面积，由题意知，以为直径的半圆面积等于以为半径的扇形的面积；设，度，即可求解． 【详解】解：设，度， 由图知：以为直径的半圆面积等于以为半径的扇形的面积； 即，得； 故答案为：45． 【变式6】．（24-25六年级下·上海·期中）在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的运用，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算． 【详解】解：半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，设圆心角的度数为n度, 所以, 解得，， 这个圆心角的度数为． 【变式7】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及直角梯形，能将阴影部分的面积转化为整个梯形的面积减去扇形和等腰直角三角形的面积是解题的关键． 根据所给图形，用整个梯形的面积减去扇形和等腰直角三角形的面积即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 【变式8】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，读懂勒洛三角形和勒洛五角形的定义是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得出，，进而可知弧弧弧，进而根据弧长公式可求出每段的弧长，最后乘以3即可得出答案． （2）设与交于点P，与相交于点Q，设，，，，，由三角形内角和定理和平角的定理等量代换可得出，再由弧长公式分别求出每段的弧长，最后相加即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∴弧弧弧 由弧长公式得：弧的长 ∴勒洛三角形的周长为： （2）解：设与交于点P，与相交于点Q，如图所示： 设，，，，， ∵，， ∴， 同理可得出：， ∴， 在中，， ∴， 即．， 由弧长公式得∶弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ 弧长长为∶ ∴勒洛五边形的周长是∶ 题型五 组合图形面积（压轴必考题） 解｜题｜技｜巧 割补法求阴影面积 面积：割补法——将阴影拆成圆、扇形、正方形等基本图形的和/差。 周长：描边法——逐段确认组成部分，避免漏加/漏减。 【典例1】．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【知识点】 圆的面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题主要考查了圆的周长，理解每个方案的线路是解题关键．根据四个方案分别求出点运动路线长度，即可得到答案． 【详解】解：设正方形和的边长为， 方案1：点运动路线长度为； 方案2：点运动路线长度为； 方案3：点运动路线长度为； 方案4：点运动路线长度为， 因为， 所以点运动路线最长的是方案3， 故选：C． 【典例2】．（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为________厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的周长，正确得出最大的圆的直径是解题关键．根据长方形的宽可以确定最大的圆的直径，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的直径为， ∴它的周长为， 故答案为：． 【典例3】．（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，然后根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的弧长总和为：， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【典例4】．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、．则阴影部分的面积为______． 【答案】平方厘米 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了与扇形的面积计算；连接，根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米， 阴影部分的面积为平方厘米 故答案为：平方厘米． 【典例5】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，在外墙角处用长9米的绳子拴着一只羊，墙长10米，墙长6米，求这只羊能吃到草的最大面积．（墙角都是直角，墙外均为草地，结果保留） 【答案】平方米 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题主要考查扇形面积公式在实际生活中的应用，解题的关键是弄清羊吃到草的面积分为哪几部分．先根据题意和扇形面积公式列出算式，即可求解． 【详解】解：如图 依题意，这只羊能吃到草的最大面积为平方米． 答：这只羊能吃到草的最大面积为平方米． 【典例6】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【知识点】 圆的周长、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， （2）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【变式1】．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题考查图形面积的计算．设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为，根据题意列式求解即可． 【详解】解：设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为： 由题意知： 圆被盖住的面积， 三角形被盖住的面积， 这两部分阴影面积相等，故有； 重叠部分面积， 正方形有的面积被阴影覆盖；由于重叠区全部在阴影中，阴影面积即， 将代入上式，得， ， ； 由题知，代入可得， ， ， ∴． 故选：A． 【变式2】．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 【答案】30 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了圆的面积和三角形的面积计算根据题意可推出半圆的面积比的面积多28平方厘米，求出半圆的面积，则可求出三角形的面积，再根据三角形面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：因为阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米， 所以阴影a的面积加上空白部分的面积比阴影b的面积加上空白部分的面积多28平方厘米， 所以半圆的面积比的面积多28平方厘米， 平方厘米， 厘米， 所以厘米， 故答案为：30． 【变式3】．（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 【变式4】．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了阴影部分周长和面积的计算，熟练掌握扇形面积公式和圆的周长计算，是解题的关键．根据弧长和圆的面积和周长计算公式进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长：， 上部空白面积； 阴影部分的面积． 【变式5】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留） 【答案】； 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】大正方形中的阴影面积为，小正方形中的阴影面积为，求和即可；周长为 解答即可． 本题考查了阴影面积，周长的计算，熟练掌握图形分割法表示面积是解题的关键． 【详解】解：大正方形中的阴影面积为，小正方形中的阴影面积为， 故阴影部分的面积为：； 周长为． 【变式6】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)． 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握矩形面积、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据进行计算即可； （2）根据题意可得当时，，进而代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得，， 当时，即， ∴， ∴． 【变式7】．（24-25六年级下·上海青浦·期中）求下列阴影部分的周长和面积（结果保留）； (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查求阴影部分的面积，熟练掌握分割法求阴影部分的面积，是解题的关键： （1）观察可知，阴影部分的周长为两个半圆和一个扇形的弧长之和，面积为以正方形的边长为半径的扇形的面积，进行计算即可； （2）阴影部分的周长等于两个扇形的弧长加上两条线段的长，面积为小扇形的面积减去矩形与大扇形的面积差，加上大扇形的面积减去矩形与小扇形的面积差，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为：； 面积为：； （2）阴影部分的周长为：； 面积为： ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23六年级上·上海徐汇·期末）把一张圆形纸片剪去一个圆心角是的扇形，则余下部分是原来整个圆的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求比值、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】用剩余角的度数除以360度即可求出． 【详解】解：余下部分是原来整个圆的：， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角，解题的关键是熟悉圆周角和圆心角的度数． 2．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆周率，圆周长的计算公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可． 【详解】解：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示， 故选：B． 3．（23-24六年级上·上海·期末）已知两个圆的直径长的比为，那么这两个圆的周长的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，熟记圆的周长公式是解题关键． 根据圆的周长公式即可得． 【详解】解：∵两个圆的直径比是，且圆的周长公式， ∴两个圆的周长的比， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）一个圆的半径是，这个圆的周长是______． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式是解题关键． 直接根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：圆的周长为， 故答案为：． 5．（24-25六年级下·上海·期中）大圆的半径是，小圆的半径是，则大圆面积与小圆面积的比值是______． 【答案】 【知识点】 求比值、 圆的面积 【分析】本题考查了比的基本性质，圆的面积公式，解题的关键是掌握相关知识． 根据圆的面积公式分别求出大、小圆的面积，然后求比，最后根据比的基本性质化简即可． 【详解】解：大圆的面积为：， 小圆的面积为：， 大圆面积与小圆面积比为， 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为______． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，直接利用扇形弧长公式代入求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的半径是1，弧长是， ∴，即， 解得：， ∴此扇形所对的圆心角为：． 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为_____（取3.14）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长公式，根据弧长代入求解即可． 【详解】解：弧的长为：， 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，每一份的弧长为， 则三角形的底边长是． 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一段弧所在的圆的半径为2厘米，弧所对的圆心角为，那么这段弧的长为__________厘米． 【答案】3.14 【分析】本题考查弧长，根据弧长、圆心角与圆的周长的关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这段弧的长为（厘米）， 故答案为：3.14． 3．（25-26六年级下·上海·月考）150度的圆心角所对的弧长是所在圆的周长的___________．（填几分之几） 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】整个圆的圆心角为，将所求圆心角的度数除以，化简即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）已知圆心角所对的弧长为厘米，那么这条弧所在圆的半径等于______厘米． 【答案】20 【详解】解：设圆的半径为厘米， 由弧长公式，其中，， 代入得：， 简化分数：， 即 两边同时除以（）：， 解得：． 故答案为：20． 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 【答案】 【分析】本题考查求弧长，根据弧长的计算公式，得到弧长与这条弧所在圆的周长之比为弧所对的圆心角的度数与周角的比，进行计算即可． 【详解】解：由题意，可知：这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为； 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应圆心，点为对应圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤（）的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥（）的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为______． 【答案】 【详解】解：依题意，点由图①到图⑥，所运动的路径长为 ； 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海·月考）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了求圆心角的知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 用弧长除以周长再乘以即可求解． 【详解】解：， 答：圆心角为． 8．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了扇形的弧长，熟练掌握其公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：经过20分钟，分针的顶端走的角度是， ∴分针的顶端所走的路程是． 答：分针的顶端所走的路程是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果某扇形的圆心角是，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆面积的 ___________________ （填几分之几）． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】根据扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角的比，计算该比例约分即可得到结果． 【详解】解：周角的度数为， ∵扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角的比， ∴． 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 【答案】56 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、比的性质、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查扇形面积的计算，比例的应用.一元一次方程的应用，设这个圆的面积是S，利用扇形面积公式列关于S的方程并求解即可． 【详解】解：设这个圆的面积是S， 根据题意，得， 解得， ∴这个圆的面积是56． 故答案为：56． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）将一个圆心角为的扇形纸片对折两次所得小扇形的面积是平方厘米，则这个扇形纸片的半径是_____厘米． 【答案】6 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了圆的面积公式． 扇形对折两次后，圆心角变为原来的四分之一，即，利用扇形面积公式建立方程求解． 【详解】解：对折两次后，小扇形的圆心角为， 设原扇形半径为厘米，则小扇形面积为． 小扇形的面积是平方厘米，因此有． 两边除以（），得， 即， 解得（舍去负值）． 故答案为：6． 二、解答题 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：， 则， ∴扇面的周长为：． 5．（2025六年级下·上海·专题练习）将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 【答案】114.24厘米 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米和圆的周长公式，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：（厘米） 答：捆扎2圈至少需要114.24厘米长的铁丝． 6．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积（取3.14）． 【答案】阴影部分的周长为，面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查了圆的面积公式和周长公式，利用阴影部分的周长为正方形的边长加半径为的圆的周长的四分之一加上直径为的圆的二分之一周长，利用阴影部分的面积等于半径为的圆的四分之一减去直径为的圆的二分之一，熟练运用圆的面积公式和周长公式是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的周长为正方形的边长加半径为的圆的周长的四分之一加上直径为的圆的二分之一周长， 即； 阴影部分的面积等于半径为四分之一圆减去直径为的二分之一圆， 即， 答：阴影部分的周长为，面积为． 7．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的面积，正方形面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 利用分割法，扇形的面积公式计算即可解决问题． 【详解】解： ． 8．（24-25六年级下·上海虹口·期中）（1）求下图阴影部分的周长；     （2）求下图阴影部分的面积． 注：（1）（2）小题取3.14 【答案】（1）阴影部分的周长为（2）阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了不规则的图形的面积和周长，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形， （1）阴影部分周长等于大圆周长的四分之一加上小圆周长的四分之一再加上即可得解； （2）如图阴影部分的面积为一个长为，宽为的长方形面积加上四分之一半径为6的圆的面积减去一个边长为6和的直角三角形的面积即可得解． 【详解】（1）解：阴影部分周长 ， 答：阴影部分的周长为． （2）解：如图， 阴影部分的面积 ． 9．（24-25六年级下·上海·期中）阅读：乐乐同学在学习了圆的周长与面积的相关内容后发现：如果用表示圆的面积，表示圆的周长，表示圆的半径，圆的面积公式可表示为． 理由如下： 解：因为 又因为 即： 所以． (1)模仿：如果用表示扇形的面积，表示扇形的弧长，表示扇形所在圆的半径，则扇形的面积公式可表示为，请模仿乐乐的思路说明此公式的正确性． (2)应用上述结论解决下列问题： ①定义：如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．如图，将周长为12的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的“等边扇形”（忽略铁丝的粗细），则所得的等边扇形的面积为________． ②如图，已知圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1，，那么圆的面积与扇形的面积的比值为________． 【答案】(1)见解析 (2)①8；② 【知识点】 求比值、 圆的周长、 圆的面积、扇形的周长和面积 【分析】本题考查圆的周长与面积公式，扇形的周长与面积公式． （1）设扇形的圆心角为，则，，即可得到； （2）①根据“等边扇形”的定义得到扇形的弧长和半径都为，再由题意中的扇形面积公式即可求解； ②设圆O的半径为r，扇形的半径为R，圆的周长与扇形所对的弧长都为a，从而得到，．根据题意中面积公式求出圆O的面积，扇形的面积，进而求出比值即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角为， 因为， 又因为， 即， 所以． （2）解：①∵扇形是“等边扇形”， ∴弧长和半径都为， ∴由（1）可得等边扇形的面积为． 故答案为：8 ②设圆O的半径为r，扇形的半径为R， ∵圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1， ∴设圆的周长与扇形所对的弧长都为a， ∴，， ∴， ∴圆O的面积为， 扇形的面积为， ∴圆的面积与扇形的面积的比值为． 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与扇形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆的基本概念与性质（基础必拿分） 题型02 圆的周长计算（高频基础题） 题型03 圆的面积计算（核心压轴题） 题型04 扇形的认识与计算（基础+中档题） 题型05 组合图形面积（压轴必考题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质 1. 准确辨析圆心、半径、直径，掌握d与r的换算 2. 理解π的意义，区分π与3.14的近似关系 3. 能根据条件确定圆的位置（圆心）与大小（半径） 多以填空、选择考查概念辨析，如“直径是半径的2倍”前提为同圆/等圆，基础送分题，极少单独出解答题。 圆的周长计算 1. 熟练记忆并灵活运用周长公式 2. 掌握公式双向计算 3. 区分“圆周长的一半”与“半圆周长” 期中必考题型，选择、填空、解答均有出现，常结合生活情境（车轮、花坛、圆形跑道）考查应用 弧长相关计算 1. 理解弧长是圆周长的一部分，掌握比例关系 2. 熟练运用弧长公式进行三类基本计算 3. 能区分弧、扇形、半圆的概念差异 选择、填空高频考点，常与圆心角结合考查，解答题中常作为扇形周长、组合图形周长的组成部分 圆的面积计算 1. 掌握圆面积公式及推导过程，理解“化曲为直”思想 2. 能准确进行面积双向计算，区分周长与面积公式 3. 熟练计算圆环面积，识别同心圆特征 核心必考考点，基础计算、阴影面积、生活应用（花坛、喷水池） 易混点：周长（）与面积（）公式、单位（长度vs面积） 扇形的面积计算 1. 理解扇形是圆的一部分，掌握面积比例关系 2. 灵活运用两种扇形面积公式计算 3. 区分扇形面积与三角形面积、扇形周长与弧长 期中重点，选择、填空、解答均会考查，常考组合图形：扇形+三角形、扇形+长方形、半圆+扇形 组合图形与实际应用 1. 掌握割补、转化等方法计算组合图形面积 2. 能将实际问题抽象为圆与扇形数学模型 3. 提升复杂图形分析与分步计算能力 期中解答题压轴核心考点，难度中等偏上；阴影面积、滚动问题是高频难点，区分度高 知识点01 圆的周长与弧长 1. 圆的基本要素 要素 定义 表示与关系 圆心 圆的中心固定点 用字母O表示，决定圆的位置 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 用字母r表示，决定圆的大小 直径 过圆心且两端在圆上的线段 用字母d表示；d = 2r， 圆的对称性 轴对称图形 过圆心的任意直线都是对称轴，有无数条 2. 圆的周长 定义：围成圆的曲线长度，用C表示。 圆周率（π）：圆的周长与直径的固定比值，无限不循环小数（π≈3.1415926…），计算时常用近似值3.14。 公式：C = πd 或 C = 2πr（已知半径或直径代入计算）。 3. 弧与圆心角 弧：圆上两点间的曲线部分，记作（劣弧）、（优弧）。 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，用n°表示（n为度数）。 弧长公式：n°圆心角所对弧长。 知识点02 圆与扇形的面积 1. 圆的面积 定义：圆所围成平面的大小，用S表示。 推导：通过“割补法”将圆等分拼接成近似长方形，长方形的长=圆周长的一半（πr），宽=半径（r），因此面积=长×宽。 公式：S = πr²（已知半径代入计算）。 2. 扇形 定义：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形，是圆的“部分”。 扇形面积公式： 基于圆心角：（与弧长公式同源，体现整体与部分关系）。 基于弧长：（l为弧长，r为半径，简化计算常用）。 3. 拓展：圆环面积 定义：两个同心圆之间的区域。 公式：S环 = πR² - πr² = π(R² - r²)（R为外圆半径，r为内圆半径）。 知识点03易错提醒 1.周长公式混淆：区分C=πd与C=2πr，避免半径、直径代入错误。 2.弧长/扇形面积公式：牢记n为圆心角度数（无单位），与360°的比例是核心。 面积单位：计算面积时注意单位统一，结果带平方单位（如cm²、m²）。 题型一 圆的基本概念与性质（基础必拿分） 解｜题｜技｜巧 1.半径、直径、圆心的识别与计算 正方形内最大圆：直径=正方形边长；长方形内最大圆：直径=长方形短边。 已知周长求半径：先套，得；求直径：。 2.圆的对称性（对称轴判断） 圆有无数条对称轴，均为过圆心的直线；组合图形对称轴取公共部分。 【典例1】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 【典例2】．（2025六年级下·上海·专题练习）请你用圆规和三角尺画出下面三个图案． 【变式1】．（2025六年级下·上海·专题练习）车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，是利用了同一圆的________的特征． 【变式2】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下面圆形中画一个最大的正方形，并画出整个图形所有的对称轴． 题型二 圆的周长计算（高频基础题） 解｜题｜技｜巧 1.已知半径 / 直径求周长 直接套公式，优先选对应公式（已知直径用，已知半径用）。 2.已知周长求半径 / 直径（逆运算） 变形公式计算，注意单位统一。 3.半圆周长（高频易错） 半圆周长=圆周长的一半+直径（），漏加直径是最大错误。 4.组合图形周长（如捆扎、操场跑道） 描边法——逐段分析周长由“弧长+直线段”组成，分别计算再相加。 【典例1】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的（   ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【典例2】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是_____厘米（取3.14）． 【典例3】．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【典例4】．（24-25六年级下·上海长宁·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 米．（结果保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3） 【变式1】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆形花坛，周长是米，在离开花坛边米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】．（24-25六年级下·上海松江·期中）《碧水滴珠》中“滴水有声荡涟漪，珠落玉盘微波远”描述了雨点打在水面上荡起层层波纹的情景．已知水池是一个长5、宽4的长方形，那么当波纹到池边时所形成的最大整圆的周长是________． 【变式3】．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝另一方向去捉老鼠，结果在距点米的点处捉住了老鼠．已知是圆的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是________米．(取 【变式4】．（24-25六年级下·上海·期中）已知圆的半径为，等边三角形的边长为．如图，圆按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． （1）当圆第三次回到原来位置时，圆心走过的路程是_______（用含的代数式表示，保留） （2）假设圆从中点位置开始滚动，当圆心走过的路程为2023时停止，问：圆绕圆心滚动了________圈． 【变式5】．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【变式6】．（24-25六年级下·上海·月考）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图2，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留） (2)如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 厘米．（结果用含有a的式子表示） 题型三 圆的面积计算（核心压轴题） 解｜题｜技｜巧 1.已知半径/直径/周长求圆面积 先求半径，再套；已知周长时，先由求半径。 2. 外方内圆/外圆内方（高频压轴） 外方内圆：剩余面积=正方形面积-圆面积（正方形边长=圆直径）。 外圆内方：正方形面积=2（对角线=2，面积=对角线²÷2）。 3.圆环面积（实际应用：小路、草坪） 核心公式，先找外半径和内半径（内半径=圆形物体半径，外半径=内半径+路宽）。 4.圆面积与半径的倍数关系（易错题） 牢记“周长是线性变化，面积是平方变化”，避免混淆。 【典例1】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（   ） A． B． C． D．4倍 【典例2】．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________．（取3.14） 【典例3】．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是_____平方厘米．（结果保留） 【变式1】．（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，长方形的边长，分别以、为直径作弧，两弧相交，形成的其中三个部分的面积分别是，，，且，则 __ （结果保留． 【变式3】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，小圆的是阴影部分，大圆的是阴影部分，则小圆的阴影部分面积与大圆阴影部分面积的比值为_____． 【变式4】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为2厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，那么圆心经过的距离为___________厘米． (2)如图2，将一个半径为2厘米的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动一周后圆心所经过的路径长为________厘米． (3)如图3，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆滚过区域的面积． 题型四 扇形的认识与计算（基础+中档题） 解｜题｜技｜巧 1.扇形的基本概念（圆心角、弧） 扇形由“两条半径+弧”组成；圆心角的扇形面积是圆面积的。 2.弧长计算 套弧长公式，先确定圆心角和半径。 3.扇形面积计算 优先用；已知弧长时用更快捷。 4.多个扇形面积和（如梯形内扇形） 若扇形半径相等，面积比=圆心角比；多个扇形可合并为一个大扇形（如梯形内4个扇形和为圆面积）。 【典例1】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【典例2】．（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为________厘米．（取） 【典例3】．（24-25六年级下·上海·月考）在一个周长是厘米的圆上有一段长为厘米的弧所对的圆心角是_______度． 【典例4】．（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为___（答案保留）． 【典例5】．（24-25六年级下·上海长宁·期中）已知扇形的面积是28平方厘米，若扇形的圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则现在扇形的面积为 ________ 平方厘米． 【典例6】．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是_________（答案保留）． 【典例7】．（24-25六年级下·上海·期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为________平方厘米（结果保留π）． 【典例8】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 【变式1】．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）闹钟时针长是6厘米，从上午10点到下午2点，时针所扫过的面积是______平方厘米． 【变式3】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个扇形的半径为8厘米，圆心角为，那么该扇形的面积为______平方厘米． 【变式4】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是__________． 【变式5】．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，以为直径的半圆和以为半径的扇形，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么_____． 【变式6】．（24-25六年级下·上海·期中）在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 【变式7】．（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【变式8】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 题型五 组合图形面积（压轴必考题） 解｜题｜技｜巧 割补法求阴影面积 面积：割补法——将阴影拆成圆、扇形、正方形等基本图形的和/差。 周长：描边法——逐段确认组成部分，避免漏加/漏减。 【典例1】．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【典例2】．（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为________厘米．（结果保留） 【典例3】．（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【典例4】．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且厘米，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、．则阴影部分的面积为______． 【典例5】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，在外墙角处用长9米的绳子拴着一只羊，墙长10米，墙长6米，求这只羊能吃到草的最大面积．（墙角都是直角，墙外均为草地，结果保留） 【典例6】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【变式1】．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 【变式3】．（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【变式4】．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 【变式5】．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留） 【变式6】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【变式7】．（24-25六年级下·上海青浦·期中）求下列阴影部分的周长和面积（结果保留）； (1) (2) 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23六年级上·上海徐汇·期末）把一张圆形纸片剪去一个圆心角是的扇形，则余下部分是原来整个圆的（      ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 3．（23-24六年级上·上海·期末）已知两个圆的直径长的比为，那么这两个圆的周长的比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）一个圆的半径是，这个圆的周长是______． 5．（24-25六年级下·上海·期中）大圆的半径是，小圆的半径是，则大圆面积与小圆面积的比值是______． 6．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为______． 7．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为_____（取3.14）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一段弧所在的圆的半径为2厘米，弧所对的圆心角为，那么这段弧的长为__________厘米． 3．（25-26六年级下·上海·月考）150度的圆心角所对的弧长是所在圆的周长的___________．（填几分之几） 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）已知圆心角所对的弧长为厘米，那么这条弧所在圆的半径等于______厘米． 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 6．（24-25六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应圆心，点为对应圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤（）的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥（）的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为______． 7．（24-25六年级下·上海·月考）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 8． （24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果某扇形的圆心角是，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆面积的 ___________________ （填几分之几）． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）一个圆中，的圆心角所在的扇形面积是7，则这个圆的面积是 _______ ． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）将一个圆心角为的扇形纸片对折两次所得小扇形的面积是平方厘米，则这个扇形纸片的半径是_____厘米． 二、解答题 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 5．（2025六年级下·上海·专题练习）将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 6．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积（取3.14）． 7．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积． 8．（24-25六年级下·上海虹口·期中）（1）求下图阴影部分的周长；     （2）求下图阴影部分的面积． 注：（1）（2）小题取3.14 9．（24-25六年级下·上海·期中）阅读：乐乐同学在学习了圆的周长与面积的相关内容后发现：如果用表示圆的面积，表示圆的周长，表示圆的半径，圆的面积公式可表示为． 理由如下： 解：因为 又因为 即： 所以． (1)模仿：如果用表示扇形的面积，表示扇形的弧长，表示扇形所在圆的半径，则扇形的面积公式可表示为，请模仿乐乐的思路说明此公式的正确性． (2)应用上述结论解决下列问题： ①定义：如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．如图，将周长为12的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的“等边扇形”（忽略铁丝的粗细），则所得的等边扇形的面积为________． ②如图，已知圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1，，那么圆的面积与扇形的面积的比值为________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $