题号猜押07 天津卷17题空间向量与立体几何5大题型（解答题）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 17题空间向量与立体几何（解答题） 参考答案 押题预测 考点1 求点到平面的距离 1． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【详解】（1）（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； （3）因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面，   所以平面； （2）因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ，              设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以，    设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ，       所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； （3）， 设点M到平面BCD的距离为d， . 3． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 4． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）过作，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）由（2）中信息，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在正三棱柱中，M为BC的中点，则，过作， 由平面，得平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是， 即，而平面， 所以直线平面. （2）由（1）得， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）得点A到平面的距离. 5． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解， （2）根据线线垂直可得平面，即可知为直线与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解， （3）由线面角的大小，即可求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知：， 所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接, 由于所以, 又平面平面，所以, 平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以, 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. （3）由（2）知直线与平面的夹角为， , 故点M到平面的距离为. 考点2 求点到直线的距离 1． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量垂直得出直线垂直，结合线面垂直的判定可证，或求解平面法向量，利用可证结论； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （3）利用点线距的向量求解公式可得答案，或作出距离，利用三角形相似可求答案. 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 法一：， ， ， 又平面平面， 平面. 法二：设是平面的一个法向量， 令则， 是平面的一个法向量． ，平面. （2）设是平面的一个法向量， 令，则 是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为， ， ， 平面与平面夹角的正弦值为. （3）法一：， ，，， ， 点到直线的距离. 法二：， ，，， 点到直线的距离. 法三：过点作直线的垂线，交的延长线于点， 平面平面 平面． 四边形为矩形， 平面， 平面， ， ， 为的中点， ， 点到直线的距离. 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，可得出点的坐标，求出、的坐标，可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可求出的值，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求出平面与平面的夹角的大小； （3）利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离. 【详解】（1）依题意，以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、，所以． 设，故，则． 所以． 因为，所以，解得，所以． （2）由（1）知，． 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，则． 易得平面的一个法向量为， 因为，故，故平面与平面的夹角大小为． （3）因为，， 所以在上的投影向量的长度为． 又， 所以点到直线的距离为． 3． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明； （2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值； （3）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 4． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 考点3 求体积 1． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行，由此证明结论； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）利用向量方法求点到平面的距离，再锥体体积公式求结论. 【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以平面． （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形，，， 所以， 所以． 3． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角，面面角和点到平面的距离进而即得. 【详解】（1）由，直四棱柱，有平面， 故以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知， 由分别为的中点，故． 易知， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为． （2）设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3）设点到平面的距离为． 由，有，故． 4． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【详解】（1） 由于在直棱柱中，则⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； （2）设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故. （3）由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 5． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【详解】（1）因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 考点4 求线面角 1． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法证明即可； （2）根据面面角向量法计算求解； （3）设，由空间向量线性运算可得，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）设的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 因为，所以， 又因为平面，所以平面． （2），，设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，， ， 设与平面所成角为， 则， 因为，， 所以的取值范围是． 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； （2）由（1）得到，求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，由点到平面的距离，列出方程求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点H为原点，以所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得向量， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）解：设（其中），可得， 则点到平面的距离，即， 解得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 3． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直转化为线面垂直，证明平面，由线面垂直的性质可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求出结果. （3）结合（2）中的分析，利用线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意在中，，， 故， 则，则，即； 又底面为等腰三角形，，是的中点， 则，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 平面，所以平面， 平面，故； （2）由（1）知两两垂直， 以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，则， ∴， 设平面法向量，则， 令，则，得， 设平面法向量，则， 令，则，可得， ∴， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由于. 设直线OB与平面所成角为， ， 即直线OB与平面所成角的正弦值为. 考点5 求面面角 1． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证， （2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 因为，， 平面， 所以平面. （2），，. 设平面的法向量为， 则即，令，得， 所以. （3），. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 2． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）取的中点，连接，在，中，运用勾股定理逆定理得到，再结合线面垂直判定定理证明； （2）建系，求出关键点坐标，应用计算求解； （3）求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，原题即得证； （2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）证明平面，再利用向量法求平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. （2）在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴， 由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； （3）∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量． ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 3． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题设可知，，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 又，有，故， 所以． （2）依题意，，，，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 设点到平面的距离为， 则． （3）当时，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得线面垂直，利用三棱锥的体积公式，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，因为平面平面，平面， 平面平面，所以平面， 在直角梯形中，易知，，， 所以三棱锥的体积. （2）取的中点为，连接，易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：    则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则，解得. 5． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面即可； （2）借助（1）中的数据，结合线面角的向量解法即可得答案； （3）借助（1）中的数据，结合平面与平面所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，，为棱的中点， 可得、、、、、、、、， 则， 设平面的法向量为， 因为，， 且，可得， 取，则，，所以， 则，故， 因为平面，所以平面． （2）由（1）可得为平面的一个法向量， 又， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）易知是平面的一个法向量， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 1． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据即可证明平面； （2）由点到平面距离的向量表示公式，代入数据即可求解； （3）由直线与底面所成角的正弦值为可求出，然后根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可. 【详解】（1）连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 2． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算确定平面的法向量，从而利用线面平行的向量关系可证得结论； （2）求解平面的法向量，利用面面夹角与向量夹角关系即可得所求； （3）根据点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，底面为正方形，因此以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系： 则， 证明：可知，由题意可得平面， 则平面的法向量为，所以， 所以，又因为平面，所以平面； （2）设平面的法向量为，又， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）易知，设点到平面的距离为， 则. 3． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 5． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【详解】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . （2）设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 6． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据线面平行判定定理证明即可； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）取的中点为，连接，，因为，分别为，中点，    所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． 7． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ⅱ）． 【分析】（1）以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建系，由证明； （2）（i）求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求解；（ii）求出平面和平面的法向量，由面面角的向量求法求解. 【详解】（1）由已知，以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 则， ，， 由得，即， 因为， 所以，即． （2）（i）由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，又 ， 所以点B到平面的距离为， 解得，． （ⅱ）易知平面的一个法向量为． 由（1）和（i）得，， 设平面的一个法向量为，又 ， 则，即， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 8． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)16 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可； （2）利用二面角的向量公式计算即可； （3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，   ，， ，， 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． ， 平面平面． （2）是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. （3），，， 又是平面的一个法向量， 点A到平面的距离． ， 梯形为等腰梯形，易得梯形的高为， ，． 9． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，应用向量法得，再由线面平行的判定证明结论； （2）（3）根据（1），应用向量法求线面角、面面角的正余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得， 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． （2）设与平面的夹角为，则． （3）显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 10． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量即可. （2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算. （3）利用点到面距离的向量的公式计算. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以 易知平面的一个法向量为， 则，故， 又因为平面，故平面. （2）， 设平面的法向量为， 则，不妨设， 因为， 设平面的法向量为 则，不妨设， 则 因此，平面与平面夹角的余弦值为. （3）点到平面的距离 因为，为的中点 所以， 所以三棱锥的体积. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 17题空间向量与立体几何（解答题） 溯源：近5年真题第18题为必考解答题，分值14分，难度中档。题目常以棱柱、棱锥、正方体、三棱台等为载体，综合考查空间位置关系的证明与空间角的计算。命题结构稳定：第(1)问证明线面平行或垂直（几何法），第(2)问求空间角（向量法为主），第(3)问求距离或体积（等体积法或向量法）。 预测：2026年第18题延续“几何证明+向量计算” 的双重考查模式。第(1)问仍为线面平行或垂直的证明；第(2)问考查二面角或线面角的计算；第(3)问可能结合动点问题（如确定点位置使满足某条件）或体积最值问题。 备考核心：熟练掌握几何法证明的规范步骤（作—证—算），尤其是线面平行的判定（找面内平行线）和线面垂直的判定（找面内两相交垂线）。强化空间向量法的标准流程：建系→写点坐标→求法向量→代入公式；注意建系技巧（“边缘建系”可简化坐标）。第(3)问的点到平面距离优先用等体积法. 考点1 求点到平面的距离 1．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 2．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 3．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2025·天津·二模）如图，在正三棱柱中，，M为BC的中点. (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点A到平面的距离. 5．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角； (3)求点M到平面的距离． 考点2 求点到直线的距离 1．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 2．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 3．（2025·天津滨海新区·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 4．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 考点3 求体积 1．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 2．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 3．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积 4．（2026·天津红桥·一模）如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 5．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 考点4 求线面角 1．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 2．（2025·天津和平·二模）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若线段上存在点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形．，底面为等腰三角形，，是的中点，．    (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 考点5 求面面角 1．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 3．（2025·天津南开·二模）如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． (1)求证：； (2)当点为棱的中点时，求点到平面的距离； (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.将沿对角线折起，记折起后点的位置为且使平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面所成夹角的大小. 5．（2025·天津·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 1．（2026高三·天津·专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 2．（25-26高三上·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 3．（25-26高三上·天津·月考）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 5．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 6．（25-26高三上·天津·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 7．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． (1)求证：； (2)若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 8．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．    (1)求证：面面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积． 9．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 10．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 17题空间向量与立体几何（解答题） 溯源：近5年真题第18题为必考解答题，分值14分，难度中档。题目常以棱柱、棱锥、正方体、三棱台等为载体，综合考查空间位置关系的证明与空间角的计算。命题结构稳定：第(1)问证明线面平行或垂直（几何法），第(2)问求空间角（向量法为主），第(3)问求距离或体积（等体积法或向量法）。 预测：2026年第18题延续“几何证明+向量计算” 的双重考查模式。第(1)问仍为线面平行或垂直的证明；第(2)问考查二面角或线面角的计算；第(3)问可能结合动点问题（如确定点位置使满足某条件）或体积最值问题。 备考核心：熟练掌握几何法证明的规范步骤（作—证—算），尤其是线面平行的判定（找面内平行线）和线面垂直的判定（找面内两相交垂线）。强化空间向量法的标准流程：建系→写点坐标→求法向量→代入公式；注意建系技巧（“边缘建系”可简化坐标）。第(3)问的点到平面距离优先用等体积法. 考点1 求点到平面的距离 1．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【详解】（1）（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； （3）因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 2．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面，   所以平面； （2）因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ，              设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以，    设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ，       所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； （3）， 设点M到平面BCD的距离为d， . 3．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 4．（2025·天津·二模）如图，在正三棱柱中，，M为BC的中点. (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）过作，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）由（2）中信息，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在正三棱柱中，M为BC的中点，则，过作， 由平面，得平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是， 即，而平面， 所以直线平面. （2）由（1）得， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）得点A到平面的距离. 5．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解， （2）根据线线垂直可得平面，即可知为直线与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解， （3）由线面角的大小，即可求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知：， 所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接, 由于所以, 又平面平面，所以, 平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以, 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. （3）由（2）知直线与平面的夹角为， , 故点M到平面的距离为. 考点2 求点到直线的距离 1．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量垂直得出直线垂直，结合线面垂直的判定可证，或求解平面法向量，利用可证结论； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （3）利用点线距的向量求解公式可得答案，或作出距离，利用三角形相似可求答案. 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 法一：， ， ， 又平面平面， 平面. 法二：设是平面的一个法向量， 令则， 是平面的一个法向量． ，平面. （2）设是平面的一个法向量， 令，则 是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为， ， ， 平面与平面夹角的正弦值为. （3）法一：， ，，， ， 点到直线的距离. 法二：， ，，， 点到直线的距离. 法三：过点作直线的垂线，交的延长线于点， 平面平面 平面． 四边形为矩形， 平面， 平面， ， ， 为的中点， ， 点到直线的距离. 2．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，可得出点的坐标，求出、的坐标，可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可求出的值，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求出平面与平面的夹角的大小； （3）利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离. 【详解】（1）依题意，以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、，所以． 设，故，则． 所以． 因为，所以，解得，所以． （2）由（1）知，． 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，则． 易得平面的一个法向量为， 因为，故，故平面与平面的夹角大小为． （3）因为，， 所以在上的投影向量的长度为． 又， 所以点到直线的距离为． 3．（2025·天津滨海新区·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明； （2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值； （3）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 4．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 考点3 求体积 1．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 2．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行，由此证明结论； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）利用向量方法求点到平面的距离，再锥体体积公式求结论. 【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以平面． （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形，，， 所以， 所以． 3．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角，面面角和点到平面的距离进而即得. 【详解】（1）由，直四棱柱，有平面， 故以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知， 由分别为的中点，故． 易知， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为． （2）设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3）设点到平面的距离为． 由，有，故． 4．（2026·天津红桥·一模）如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【详解】（1） 由于在直棱柱中，则⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； （2）设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故. （3）由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 5．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【详解】（1）因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 考点4 求线面角 1．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法证明即可； （2）根据面面角向量法计算求解； （3）设，由空间向量线性运算可得，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）设的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 因为，所以， 又因为平面，所以平面． （2），，设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，， ， 设与平面所成角为， 则， 因为，， 所以的取值范围是． 2．（2025·天津和平·二模）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若线段上存在点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； （2）由（1）得到，求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，由点到平面的距离，列出方程求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点H为原点，以所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得向量， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）解：设（其中），可得， 则点到平面的距离，即， 解得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 3．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形．，底面为等腰三角形，，是的中点，．    (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直转化为线面垂直，证明平面，由线面垂直的性质可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求出结果. （3）结合（2）中的分析，利用线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意在中，，， 故， 则，则，即； 又底面为等腰三角形，，是的中点， 则，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 平面，所以平面， 平面，故； （2）由（1）知两两垂直， 以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，则， ∴， 设平面法向量，则， 令，则，得， 设平面法向量，则， 令，则，可得， ∴， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由于. 设直线OB与平面所成角为， ， 即直线OB与平面所成角的正弦值为. 考点5 求面面角 1．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证， （2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 因为，， 平面， 所以平面. （2），，. 设平面的法向量为， 则即，令，得， 所以. （3），. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）取的中点，连接，在，中，运用勾股定理逆定理得到，再结合线面垂直判定定理证明； （2）建系，求出关键点坐标，应用计算求解； （3）求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，原题即得证； （2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）证明平面，再利用向量法求平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. （2）在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴， 由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； （3）∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量． ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 3．（2025·天津南开·二模）如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． (1)求证：； (2)当点为棱的中点时，求点到平面的距离； (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题设可知，，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 又，有，故， 所以． （2）依题意，，，，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 设点到平面的距离为， 则． （3）当时，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 4．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.将沿对角线折起，记折起后点的位置为且使平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面所成夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得线面垂直，利用三棱锥的体积公式，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，因为平面平面，平面， 平面平面，所以平面， 在直角梯形中，易知，，， 所以三棱锥的体积. （2）取的中点为，连接，易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：    则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则，解得. 5．（2025·天津·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面即可； （2）借助（1）中的数据，结合线面角的向量解法即可得答案； （3）借助（1）中的数据，结合平面与平面所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，，为棱的中点， 可得、、、、、、、、， 则， 设平面的法向量为， 因为，， 且，可得， 取，则，，所以， 则，故， 因为平面，所以平面． （2）由（1）可得为平面的一个法向量， 又， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）易知是平面的一个法向量， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 1．（2026高三·天津·专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据即可证明平面； （2）由点到平面距离的向量表示公式，代入数据即可求解； （3）由直线与底面所成角的正弦值为可求出，然后根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可. 【详解】（1）连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 2．（25-26高三上·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算确定平面的法向量，从而利用线面平行的向量关系可证得结论； （2）求解平面的法向量，利用面面夹角与向量夹角关系即可得所求； （3）根据点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，底面为正方形，因此以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系： 则， 证明：可知，由题意可得平面， 则平面的法向量为，所以， 所以，又因为平面，所以平面； （2）设平面的法向量为，又， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）易知，设点到平面的距离为， 则. 3．（25-26高三上·天津·月考）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 5．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【详解】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . （2）设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 6．（25-26高三上·天津·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据线面平行判定定理证明即可； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）取的中点为，连接，，因为，分别为，中点，    所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． 7．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． (1)求证：； (2)若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ⅱ）． 【分析】（1）以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建系，由证明； （2）（i）求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求解；（ii）求出平面和平面的法向量，由面面角的向量求法求解. 【详解】（1）由已知，以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 则， ，， 由得，即， 因为， 所以，即． （2）（i）由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，又 ， 所以点B到平面的距离为， 解得，． （ⅱ）易知平面的一个法向量为． 由（1）和（i）得，， 设平面的一个法向量为，又 ， 则，即， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 8．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．    (1)求证：面面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)16 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可； （2）利用二面角的向量公式计算即可； （3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，   ，， ，， 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． ， 平面平面． （2）是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. （3），，， 又是平面的一个法向量， 点A到平面的距离． ， 梯形为等腰梯形，易得梯形的高为， ，． 9．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，应用向量法得，再由线面平行的判定证明结论； （2）（3）根据（1），应用向量法求线面角、面面角的正余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得， 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． （2）设与平面的夹角为，则． （3）显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 10．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量即可. （2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算. （3）利用点到面距离的向量的公式计算. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以 易知平面的一个法向量为， 则，故， 又因为平面，故平面. （2）， 设平面的法向量为， 则，不妨设， 因为， 设平面的法向量为 则，不妨设， 则 因此，平面与平面夹角的余弦值为. （3）点到平面的距离 因为，为的中点 所以， 所以三棱锥的体积. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $