空间向量法求空间角与空间距离问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1.(2026辽宁抚顺一模)如图，在五面体ABCEA B,中，平面ABB,A⊥平面ABC,四边形ABBA为矩形， ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC,AB=AC=√5，AA=4,CE=1,CE∥AA. E (1)证明：AE⊥平面A,B,E. (2)求五面体ABCEA,B,的体积， (③)求平面AB,E与平面ABC所成角的大小. 【答案】()证明见解析 a 号 【详解】(1) A C 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 在矩形ABB,A中，AB∥AB,AB⊥AA, 因为AB⊥AC,AA,∩AC=A,所以AB⊥平面AACE, 因为AEc平面AACE,所以AB⊥AE,即A,B,⊥AE, 如图所示，过点E作EF⊥AA,垂足为F, AE=AC2+CE2=2,AF=1,AF=3,EF=3,AE=4F2+EF2=213, 所以AE2+AE2=AA2,即AE⊥A,E, 又A,B,∩A,E=A,所以AE⊥平面AB,E. (2)如图所示，连接BE.该五面体可由四棱锥E-ABB,A和三棱锥E-ABC组成 四饺锥E-4884的体积=×5x4x5=4, 三棱锥E-48C的体积5=写*行x5x5x1 11 2 五面体ABCEA B,的体积V=K+店=2 9 (3)以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), E(0,5,. 由(1)可得平面AB,E的一个法向量为AE=(0,5,. 易知平面ABC的一个法向量为i=(0,0,1), 则cos AE,i= AE·n1 AE元2' 所以平面AB,E与平面ABC所成角的大小为 31 例2.(25-26高三下·贵州铜仁月考)己知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为梯形，ADIBC.点Q、M、N分别 在线段DA、BQ、PA上，且满足DQ=2QA=4CB=4,QM=2MB,PA=3PN. N D 、 B 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 (I)求证：MN∥平面PCD; (2)PQ⊥平面ABCD,点Q在线段PB的中垂线上，PA=AB=2√10，求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5v187 187 【详解】(1)作MEIIBC交DC于点E,NFIAD交PD于点F,连接EF,如下图所示： D D 0 B 由DQ=2QA=4CB=4可得AD=6; 又QM=2MB,因此可知ME为梯形BCDQ的一个三等分线， 所以ME=BC+DO-BC 3 =2； 阿为P4=PN,可符福即r=2 又ADIIBC,所以NFIIME, 即四边形NFEM为平行四边形，所以MNIIEF, 又MNt平面PCD,EFc平面PCD; 可得MN∥平面PCD: (2)由PQ⊥平面ABCD,可得PQ⊥QB,PQ⊥QA; 又点Q在线段PB的中垂线上，所以PQ=QB, 又PA=AB=2V10,OA=2,所以PQ=VPA-QA2=6, 因此QB=6,此时QB2+QA2=AB2,因此QB⊥QA; 即QA,QB,PQ两两垂直，以Q为坐标原点，QA,QB,PQ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： 3 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 D为 可得P(0,0,6),A2,0,0),B(0,6,0),D(-4,0,0, 则PA=(2,0,-6),PB=(0,6,-6),PD=(-4,0,-6)； 设平面PAB的一个法向量为m=（x,y1,2), PA.m=2x-6z=0 则 ，令2=1，则x=3y=1,即m=(31,1； PB.m=6y-62=0 设平面PBD的一个法向量为n=(x2,》2,2), p丽n=6y-62,=0，令4=2，则=-3,4=2，即i=-3,22, PD.i=-4x2-6z2=0 -5 5V187 所以eosm,m园1x17982, 则平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为587 187 例3.(2026浙江台州二模)如图，在四棱台ABCD-A,BC,D,中，上、下底面均为正方形，AA,⊥底面ABCD, AB=2,AB,=1,AA=2,点E为棱CC的中点 A D E D A (1)求证：AC,/I平面BDE; (②)求平面ABC,与平面BDE夹角的正弦值. 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 【答案】(1)证明见解析 2ò 5 【详解】(1)证明：连接AC交BD于M点，如图所示： A D B D C 由ABCD是正方形得M为AC的中点， 因为E为CC,的中点，所以ME为△ACC,的中位线， 于是MEIIAC,又因为MEc平面BDE,AC,文平面BDE, 所以AC//平面BDE (2)由已知，AA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以以A为原点，AB,AD,AA,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示， A A D D B-… C 因为AB=2,AB1=1,AA=2, 所以A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0),D(0,2,0,C(1,1,2, 因为点E为校cG的中点，所以号小 设平面ABC的一个法向量为n=(x,,3), 又AB=（2,0,0),AC=(1,1,2, 丽=0，即2x=0 则 nAC=0 x+y+2z=0' J 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 令21=-1，则x1=0乃=2，则n=(0,2,-1, 设平面BDE的一个法向量为n2=（x2,y2,z2), 又m-220压-（ 则 n BD=0 -2x2+2y2=0 ,BE=0' 即{13 25+2+=0 令x2=1→y2=1,22=-1,则n2=(1,1,-1), 记平面ABC与平面BDE的夹角的大小为O,则： leos() 0×1+2×1+(-1)×(-1 3 5 V02+22+(-1)2×2+12+(-12 由图可知平面ABC,与平面BDE的夹角为锐角， 故sin0=V-cos'0= 5 变式1.(2026·重庆·一模)如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，ABC为等边三角形，四边形BCC,B,是边长为2的正 方形，D为AB中点，且AD=√5. (1)求证：CD⊥平面ABBA; (2)已知P为线段B,C中点，求直线AP与平面A,CD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 ②25 5 【详解】(1)在三棱柱ABC-AB,C中，AA=BB,=2,AD=AB=1,4D=5 AD2+AA2=5=A,D2,则AA⊥AD. 又四边形BCCB1是正方形，则BBBC,BB/1A,A,所以A,A⊥BC. 又AD∩BC=B,AD,BCc平面ABC,因此A,A⊥平面ABC 6 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 又CDc平面ABC,所以CD⊥AA, 在等边ABC中，D为AB中点，则CD⊥AB, 又AB∩AA=A,AB,AAc平面ABB,A,所以CD⊥平面ABB,A. (2) D B B 取BC中点为0，BC中点为Q,则OA⊥BC,OQ⊥BC. 由(1)知，AA⊥平面ABC,OAc平面ABC,则OA⊥AA.又B,B/1AA,故OA⊥BB, 又BB,∩BC=B,BB,BCC平面BCC,B,则OA⊥平面BCC,B, 即OA,OB,OQ两两垂直 以0为坐标原点，OB,00,OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则oao,4ea.42间，c-a,传9 B,(1,2,0), 因为P为线段B,C中点，所以P(0,l,0) CD= CA=1,2,5,AP=(01,-V3) 2 设平面A,CD的法向量为n=（x,y,z), iCD=0 +5 则 即2 =0, 故可取元=1,1，-V) .C4=0 x+2y+V3z=0 设直线AP与平面A,CD所成角为O, 0x1+1x1+(-5)×(-⑤ 则sina-cos(4,i 425 02++(52+P+- 2×V55 所以直线4P与平面ACD所成角的正弦值为2 5 > 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 变式2.(2026河北衡水·模拟预测)如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C中，AB⊥AC,AB=AC,点A在底面ABC上 的投影为BC的中点O,点M满足CM=1CB(0≤2≤1). A B )当元=)时，证明：平面4MC1平面4BC (2)已知A4=2AB=4,若平面4BC与平面4MC夹角的余弦值为V5 2,求2的值 79 【答案】(1)证明见解析； o号 【详解】(I)当元-方时，CM=CB,则点M是BG的中点 又因为AB⊥AC,AB=AC,且O为BC的中点，所以OA⊥BC 因为点A在底面ABC上的投影为BC的中点O,所以A,O⊥平面ABC, 又因为A0c平面ABC,所以AO⊥OA: 由A0⊥OA,OA⊥BC,BCOA,=O,BC,OA,c平面ABC,所以A0⊥平面ABC 又因为O为BC的中点，点M是B,C,的中点，连接AO,OM,所以OM IICC,∥AA,且OM=AA,, B 所以四边形AOMA是平行四边形，所以AO∥A,M,且AO⊥平面ABC, 所以AM⊥平面ABC,且AMc平面A,MC,所以平面A,MC⊥平面ABC (2)由(1)解析知0A⊥OB,OA⊥OA,OB⊥O4, 故以OA,OB,OA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 A B B 因为A4=2AB=4,得BC=22,A0=V2,0A=VA4-A02=14, 所以AV2,0,0,4,(0,0,14,B0,2,0,C(0,-V2,0, 因为平面ABC在坐标平面oz内，所以平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0】 设平面AMC的法向量为元=(x,y,z),CA=(0,V2,V4), AM=AC+CM=Ac+1CB=(-V2,-V2,0+2(0,2V2,0=(-V2,222-2,0 [元.C4=0 √2y+V14z=0 由 元.AM=0 得 -2x+(22-2)y=0’ 令z=1,则可得元=(1-227，-7， 1-22)V万+0+0 所以cosi,m= 1-27=5 V71-22)2+7+1V71-2)2+8 79 化简得1-2小79=V7(1-222+8,即791-2元2-7(1-222+8， 1 解得入=。或入= 均符合图意。 故元的值为或 3 变式3.(2026辽宁大连一模)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面A,ACC⊥平面ABC,AA=AC=2, ∠AAC=60°，∠ABC=90°，D为AB的中点 B Ci A A (1)求证：A,D⊥AB; (②)若二面角A-AB-C的正切值为√6，求直线CC,与平面A,DC所成角的正弦值 9 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 【答案】(1)证明见解析 293 31 【详解】(1)取AC中点E,连接A,E,DE 因为AA=AC=2,∠4AC=60°， 所以△AAC为等边三角形，所以AE⊥AC 因为平面AACC,⊥平面ABC,平面A,ACC,∩平面ABC=AC, AEc平面A,ACC, 所以AE⊥平面ABC 因为ABc平面ABC,所以A,E⊥AB 因为D,E分别为AB,AC的中点，所以DE∥BC, 因为AB⊥BC,所以AB⊥DE 因为A,EnDE=E,AE,DEc平面A,DE, 所以AB⊥平面A,DE 因为ADC平面A,DE,所以A,D⊥AB (2)由(1)得∠ADE为二面角4-AB-C的平面角， 因为AE=√3， 所以a4DE=5=6,所以DE-2, DE 2 所以BC=√2 RtAABC中，AB=√AC2-BC2=V2, 所以△ABC是等腰直角三角形 连接BE,以E为原点，EC,EB,EA,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 10空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量法求空间角度问题与空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． (1)证明：平面． (2)求五面体的体积． (3)求平面与平面ABC所成角的大小． 例2．（25-26高三下·贵州铜仁·月考）已知四棱锥，四边形为梯形，．点Q、M、N分别在线段DA、BQ、PA上，且满足，，． (1)求证：平面； (2)平面，点Q在线段PB的中垂线上，，求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值． 例3．（2026·浙江台州·二模）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 变式1．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.    (1)当时，证明：平面平面. (2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 变式3．（2026·辽宁大连·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点. (1)求证：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 考点二 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高三下·北京海淀·月考）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 例2．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 例3．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 变式1．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 变式2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式3．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $