27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过复习已学相似判定方法（平行线法、三边成比例），类比三角形全等SAS条件，引导学生猜想新判定方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料以探究式教学为主，学生动手画图测量验证猜想，结合严谨证明（构造全等三角形推理），培养几何直观与推理意识。例题涵盖基础判断、实际应用（如利用高的垂直关系证直角），提升应用意识，助力学生理解定理，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

七年级下册教案 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 教学内容 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 课时 1 核心素养目标 1.类比三角形全等的条件，探索三角形相似的条件，感悟特殊与一般的思想. 2.培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度。 3.应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单的实际问题，能用数学语言表达现实生活中事物的本质. 知识目标 1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示； 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题． 教学重点 理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示. 教学难点 会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、复习回顾 导入新知 复习引入 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ 师生活动：学生独立思考，积极发言，在教师的引导下完共同作答. 预设：我们已经学会“平行线法判定三角形相似”、 “三边成比例判定两个三角形相似”； 即：利用三角形的三个角和三条边进行判定，类比三角形全等的判定，接下来可以探究“两边一角”、“两角一边”的判定方法. 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 师生活动：引发学生独立思考，教师顺势提出本节课主题. 二、探究新知 知识点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 师生活动：学生独立完成作图并测量，小组讨论测量结果后共同回答问题，教师顺势引导学生证明. 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， . 求证：△ABC ∽ △A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. ∴ ∵ A′D = AB， . ∴ ∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ，∠A =∠A′， ∴ △ABC∽△A′B′C′ . 思考：对于△ABC和 △A′B′C′，如果 且∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等. 结论：相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板书，教师规范解题思路. 练习1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. 师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学生共同作答. 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE. 师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析解题思路，学生独立完成计算，教师顺势总结方法. 例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. 师生活动：教师引导学生分析解题思路——解题时要找准对应边，学生独立完成练习. 例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°． 师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板书，教师总结解题方法. 方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等. 三、当堂练习 1. 判断对错： (1) 两个等边三角形相似． ( ) (2) 两个直角三角形相似． ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似． ( ) (4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似．( ) 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC∽△DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC = AD : BD B. AC : BC = AB : AD C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC 3. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． 4. 如图，∠DAB =∠CAE， 且 AB·AD = AE·AC， 求证：△ABC ∽△AED. 设计意图：通过复习，巩固对相似三角形及其判定方法的掌握；并类比三角形全等的判定，培养学生的自主学习能力和类比推理能力. 设计意图：通过实际操作，利用直观数据得出探究结论——“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，发展学生的数据意识；培养自主学习、合作交流的能力. 设计意图：通过具体的证明过程，加深学生对“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理的理解；感受数学的严谨性，发展推理能力，培养有条理讲逻辑的思维. 设计意图：通过类比三角形全等的判定，引发学生思考，培养学生的类比推理思想，进一步理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. 设计意图：通过练习巩固学生对“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理的掌握. 设计意图：锻炼学生的计算能力和应用能力. 设计意图：锻炼学生的解题能力，进一步培养学生的应用能力. 设计意图：锻炼学生的解题能力，提高解题技巧. 设计意图：锻炼学生的解题能力，总结解题方法. 设计意图：考查学生的综合应用能力，发展学生的推理能力，形成有条理的解题思路. 设计意图：考查对“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理的掌握. 设计意图：题3、4考查学生运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理进行计算能力；发展空间观念. 板书设计 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想. 学科网（北京）股份有限公司 $