23.4 第3课时 方案选择问题(2)（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦一次函数的方案选择问题，引导学生通过复习方案选择的基本步骤，建立新旧知识联系，为解决有限条件下的最优化问题搭建学习支架，帮助学生掌握从实际问题中抽象函数模型的方法。 以租车、生产等实际情境为载体，通过合作探究引导学生分析变量关系、建立函数模型，培养数学建模思想。习题设计层次分明，强化用数学眼光观察现实、用数学思维推理、用数学语言表达的能力，提升学生解决实际问题的应用意识。

第二十三章 一次函数 23.4　实际问题与一次函数 第3课时　方案选择问题（2） 【素养目标】 1.根据实际问题背景建立分段函数模型，体会分类讨论思想在解决实际问题中的应用. 2.灵活运用变量间关系建立一次函数模型并选择最佳方案解决相关实际问题. 3.体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值. 重点：根据实际问题，建立一次函数模型，借助一次函数性质选择最优化方案. 难点：灵活运用一次函数解决实际问题. 【复习导入】 方案选择问题： 1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型 2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围 3.利用一次函数的增减性知识，选择出最佳方案 【合作探究】 探究点：有限条件下的最优化问题 问题：某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案. 分析：（1）影响租车费用的因素有哪些？ （2）汽车所租辆数又与哪些因素有关？ （3）如何由乘车人数确定租车辆数呢？ （4）在汽车总数确定后，租车费用与租车的种类有关.如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用吗？ （5）如何确定租车费用y的最小值？ 归纳总结：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. [练一练] 1. 某工程机械厂根据市场要求，计划生产 A、B 两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示： 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 (1) 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ (2) 该厂如何生产获得最大利润？ (3) 根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元( m > 0 )，该厂如何生产可以获得最大利润？(注：利润 = 售价 - 成本) 归纳总结：方案设计型问题的解题策略： 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： ①根据题意求出函数解析式； ②由图象、题设信息列不等式（组）求得自变量的取值范围； ③利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案. 2. 抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输送饮用水，其中江津每天输出 60 车饮用水，白沙每天输出 40 车饮用水，供给中山和广兴各 50 车饮用水.由于距离不同，江津到中山需 600 元／车，到广兴需 700 元／车；白沙到中山需 500 元／车，到广兴需 650 元／车．请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？ 当堂反馈 1. 某辣椒批发商销售 A，B 两种不同品种的辣椒共 80 箱，进价和售价如表所示． 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 设该辣椒批发商采购了 A 种辣椒 x 箱，销售完所有辣椒获得的总利润为 y 元． (1) 求 y 与 x 之间的函数解析式． (2) 如果该批发商最多投入的成本为 29 000 元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润. 2. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买 9 桶甲消毒液和 6 桶乙消毒液，则一共需要 615 元；若购买 8 桶甲消毒液和 12 桶乙消毒液，则一共需要 780 元. (1) 每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元? (2) 若该校计划购买甲、乙两种消毒液共 30 桶，其中购买甲消毒液 a 桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶，又不超过乙消毒液的数量的 2 倍.怎样购买，才能使总费用 W 最少?并求出最少费用. 参考答案 【合作探究】 探究点：有限条件下的最优化问题 问题：分析：（1）甲、乙两种车所租辆数. （2）与乘车人数有关. （3）234名学生和6名教师共240人，240÷45≈5.3，240÷30＝8. 因为汽车辆数为正整数，所以要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6. 同时要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6. 综合起来可知汽车总数为6辆. （4）设租车费用为y元.因为租用甲种客车x辆，所以租用乙种客车（6－x）辆. 根据表格可知，y＝400x＋280（6－x），化简得y＝120x＋1680. （5）根据题意，存在两个不等关系： ①240名师生都有车坐，则45x＋30（6－x）≥240； ②总费用在2300元的限额内，则y≤2300，即120x＋1680≤2300. 分别解不等式，或联立后解不等式组，得x的取值范围为4≤x≤. 根据实际意义，x可取4或5. 因为y是x的一次函数，且y随x的增大而增大， 所以当x＝4时，y有最小值，最小值为120×4＋1680＝2160. 由此，我们可以得出答案： （1）共需租6辆汽车. （2）最节省费用的租车方案是租用甲种客车4辆，乙种客车2辆. [练一练]1. 解：(1) 设生产 A 型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机可生产 (100 - x) 台，由题意知： 解得 37.5≤x≤40 ∵ x 取正整数， ∴ x 为 38、39、40. ∴有三种生产方案：A 型 38 台，B 型 62 台； A 型 39 台，B 型 61 台；A型 40 台， B型 60 台. (2) 设获得利润为 W (万元)，由题意知： W = 50x＋60(100－x) = －10x＋6000 ∴当 x = 38 时，W最大 = 5620 (万元). 即生产 A 型 38 台，B 型 62 台时，获得最大利润. (3) 由题意知：W = (50＋m)x＋60(100－x)= (m－10)x＋6000 ∴① 当 0＜m＜10 时，取 x = 38，W 最大 ， 即 A 型挖掘机生产 38 台，B 型挖掘机生产 62 台； ②当 m = 10 时，m - 10 = 0，三种生产获得利润相等； ③当 m＞10 时，取 x = 40，W 最大， 即 A 型挖掘机生产 40 台，B 型生产 60 台. 2. 解：设每天要从江津运 x 车到中山，总运费为 y 元. 由题意可得y = 600x + 700(60－x) + 500(50－x) + 650(x－10) y = 50x + 60500 由得 ∴ ∵ k＝50＞0 ，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝10 时，y 有最小值， y = 61000. 答:从江津调往中山 10 车，从江津调往广兴 50 车，从白沙调往中山 40 车，从白沙调往广兴 0 车，可使总费用最省，为61000元． 当堂反馈 1. 解：(1) 根据题意，得 y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)＝30x＋4 000， ∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000. (2) 根据题意，得 400x＋300(80－x)≤29 000，解得x≤50， ∵ y＝30x＋4 000，30>0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝50 时，y 有最大值， 最大值为 30×50＋4 000＝5 500. 答：购进 50 箱 A 种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5 500元． 2. 解：(1) 设每桶甲消毒液的价格为 x 元，每桶乙消毒液的价格为 y 元，由题意可得 答：每桶甲消毒液的价格为 45 元，每桶乙消毒液的价格为 35 元. (2) 由题意可得 W = 45a +35(30 - a) = 10a + 1050， ∴W 随 a 的增大而增大. ∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶， 又不超过乙消毒液的数量的 2 倍， ∵a 为整数，∴当 a = 18 时，W 取得最小值， 此时 W = 1230，30 - a = 12. 答：购买甲消毒液 18 桶，乙消毒液 12 桶，才能使.总费用 W 最少，最少费用是 1230 元. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $