数学试卷(四)-【中考123】2026年中考数学仿真大联考（吉林专用）

2026年吉林省·仿真大联考 数学试卷（四） 试题命制：《勤径中考123》工作室 h 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题。全卷满分120分。考试时间 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区 装 域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题 无效。 订 黛 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分） 1.如图，数轴上的两个点分别表示数a和-2，则a可以是 A.-3 B.-1 C.1 D.2 线 数 学 考 试 加 内 油 1题图 2题图 数 不 2.如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字对面的文字是（ A.考 B.试 C.加 D.油 3.下列运算正确的是 要 A.4a2+a2=5a4 B.(-a3)2=a C.a2.a3=a6 D.（-2x)3÷x=-6x 4.如图，蜂巢可近似成是由多个正六边形密铺而成的，则正六边形的内角和为 答 A.120° B.360° C.540° D.720° 题 C 4题图 5题图 6题图 5.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 △AB'C.若点B'恰好落在BC边上，且AB=CB',则∠C的度数为 A.18° B.20° C.24° D.28° 6.如图，点A在反比例函数y=4(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=k(x<0) 数学试卷（四）第1页（共8页） 的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为 () A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.因式分解：a2-a= 2x-1>5,的解集是 8.不等式组-x<-6 9.古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有四人共车，二车空；三人共 车，九人步.问：人与车各几何？其大意是：每车坐4人，2车空出来；每车坐3人， 多出9人无车坐.问：人数和车数各多少.设共有x辆车，则列方程为 10.如图，在△ABC中，LA=90,分别以点B和点C为圆心，大于2BC的长为半径 画弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交AB于点E.若线段AE=5,AC=12,则 BE长为 N 10题图 11题图 11.如图，在扇形A0B中，半径OA的长为2，点C在弧AB上，连接AC,BC,0C.若四 边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 (用含π的代数式表示) 三、解答题（本题共11小题，共87分） 2(6分)先化简，再求值（产+小·，其中=21 (1)甲同学解法的依据是 一，乙同学解法的依据是 ；(请填写 序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律， (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程 解：原式= x(x+1) x(x-1)1,x2-1 甲同学 L(x-1)(x+1)+(x+1)(x-1)] 解：原式=.-1+x.2-1 x-1 xx+l x 乙同学 12题图 数学试卷（四）第2页（共8页) 13.(6分)一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季 节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀.若从盒子中任意抽取2张书签 (先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1 张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由) 13题图 14.（6分)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A,B两种花草，第一次分别购进 A,B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A,B两种花草12棵 和5棵，两次共花费940元（两次购进的A,B两种花草价格均分别相同）.求A,B 两种花草每棵的价格分别是多少元？ 15.(7分)如图，在矩形ABCD中，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE交DC于 点F (1)求证：△DEF≌△CBF; (2)若AB=8,BC=3,求点A,F之间的距离 15题图 数学试卷（四）第3页（共8页） 16.（7分)如图，在4×5的方格中，△ABC的顶点都在格点处.请仅用无刻度的直尺 分别按下列要求作图， (1)在图①中，过点A作出△ABC的外接圆的一条直径； (2)在图②中，在AB的右侧且AC的左侧格点处找一点G,使∠AGB=∠C. B ! 16题图① 16题图② 17.（7分)近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积 装 极策应全民阅读、书香城市建设.开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本 校七(1)班6名学生在行动后第一周课外阅读情况，具体调查结果如图 (1)调查的这6名学生在行动后第一周课外阅读次数的中位数是 次，调 订 查的这6名学生在行动后第一周平均每次课外阅读时长的众数是 hi (2)开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达 线 到3h.请计算这6名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长，并估计七 (1)班在行动后第一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标， 平均每次阅读时长h 内 2.5 0. 不 0- 123456 行动后第一周课外阅读次数/次 ! 17题图 要 答 题 18.(8分)某“项目学习实验小组”开展项目活动，过程如下： 【项目主题】测量中国文字博物馆前字坊的高度 【问题驱动】能利用哪些方法来测量字坊的高度呢？ 【组内探究】由于字坊较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬 纸板、标杆、测角仪、镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量 示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，进而计算字坊的高度： 数学试卷（四）第4页（共8页) 【成果展示】下面是该小组两位同学进行项目式学习时的记录表的一部分 项目主题 测量字坊AB的高度 测量人员 小明，小东 测量工具 测角仪、自制的直角三角形硬纸板、皮尺等 说明：小明分别在点C,D处测得字 和 坊顶端A的仰角为&，B;小东在CD 测量 上的点E处用自制的直角三角形 示意图 硬纸板FGH测量，保持纸板斜边 GF与字坊顶端A在一条直线上， 装 thimimttrane B DE C FH与地面平行 18题图 测量数据(CE的 CM=DN=EF=1.6m,a=45°，B=58°，DE=2m,CE=■，三角形硬纸板的直角边 订 FH=30 cm,GH=40 cm 馨 长度被污染) 参考数据 sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60 线 根据记录表中的数据能否求出字坊的高？若能，请求出字坊的高；若不能，请选 取一个合适的数据作为CE的长，并求出字坊的高： 内 不 19.(8分)如图，在菱形ABCD中，AB=4cm,∠DAB=60°，点P从点A出发，以 2cm/s的速度沿A一D一C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q,在 要 点P运动过程中，设运动时间为t(s),△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为 S(cm2). (1)写出线段PD的长（用含t的式子表示）； 答 (2)当PQ平分菱形面积时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围 D D D 题 OB B 19题图 19题备用图 数学试卷（四） 第5页（共8页） 20.（10分)阅读与思考：物理现象中的一次函数 【实验结果】浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液 体所受的重力，即F浮=G排=P液gV排，8是一个常数，近似取值为10N/kg,P液表 示液体的密度，V排表示排开液体的体积.当液体的密度不变时，物体在液体中所 受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮 力就越大 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到7N的浮力，水的密度为P水= 1.0×10kg/m,若该长方体物品的底面积为70cm,则该物品浸入水中的深度 为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为xm, 由题意，得1.0×103×10× 70 10·*=7, 解得x=0.1, ∴.该物品浸入水中的深度为0.1m. 【实验探究】某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量.他们 将一个底面积为200c2的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够 深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示.该兴趣小组将装载质量m(kg) 与食品盒浸入水中的深度h(m)的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发 现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为0.01m. (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义： (2)根据以上材料，当装载质量不超过akg(a>1)时，装载质量m(kg)与食品盒 浸入水中的深度h(m)成一次函数关系，若装载质量为1kg时，食品盒浸入 水中的深度是0.06m.请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是10cm,最大装载质量为akg,请求出a的值 食品盒浸人水中的深度h/m 0 装载质量m/g 20题图① 20题图② 数学试卷（四）第6页（共8页） 21.（10分)如下是乐乐的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务 三角形的布罗卡尔，点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来又 被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的 再次发现，引起了研究“三角形几何”的热潮 如图①，若，点P为△ABC内一，点，且满足∠CAP=∠ABP= ∠BCP,则，点P为△ABC的布罗卡尔点. B 等腰三角形中的布罗卡尔，点到三角形三个顶，点的距离满足 21题图① 定的数量关系 如图②，在△ABC中，AB=AC,点P为△ABC的布罗卡尔，点， ∠CAP=∠ABP=∠BCP,则PC2=PA·PB. 证明：，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB. B .∠CAP=∠ABP=∠BCP, 21题图② ∴.∠ABC-∠ABP=∠ACB-∠BCP,即∠CBP=∠ACP, 任务：(1)请将上述材料中的证明过程补充完整； (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,点P为△ABC的布罗卡尔点，∠CAP=∠ABP =∠BCP,∠ACB=30°，且AP=2,求PB的长； (3)点P是边长为6的等边三角形ABC中的布罗卡尔点，直接写出PC的长 21题图③ 数学试卷（四）第7页（共8页） 2.(12分)如图，直线)y=7-2与y轴交于点A,与x轴交于点B.抛物线y=子+ bx+c经过点A,点B,并与x轴有另一交点C. (1)点A的坐标是 ,点B的坐标是 (2)求抛物线的函数解析式； (3)在直线AB下方的抛物线上有一点D,求四边形ADBC面积的最大值； (4)在x轴上有一个动点P(m,0),将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段 MN.请直接写出线段MN与抛物线只有一个公共点时m的取值范围. y 装 订 22题图 线 内 不 要 答 题 数学试卷（四）第8页（共8页).h=5-(-4)=9; 当m>6时，点P是最高点，抛物线L的顶点是最低点， .h=m2-6m+5+4=m2-6m+9. r9(3<m≤6)， 综上所述，h与m的函数解析式为h= lm2-6m+9(m>6). rm+n=19, (3)①联立得方程组{ ln=m2-6m+5, 之。 ∴点P的坐标为(7,12). ②设直线CP的函数解析式为y=x+5(k≠0)， ∴.7k+5=12,解得k=1,∴.直线CP的函数解析式为y=x+5, ∴封闭图形G的边界上的整点为(0,5)，(1,6)，(2,7)，(3,8)，(4,9)，(5,10)，(6,11)，(7,12)， (1,0),(2,-3),(3,-4),(4,-3),(5,0),(6,5)共有14个. 数学试卷（四） 1.A2.D3.B4.D5.C6.D 7.a(a-1)8.x>69.4(x-2)=3x+910.1311.子 12.解：(1)②③ (2)选择甲同学的解法： 原默+》兰2 x(x-1)(x+1)x 或选择乙同学的解法： 原式=-1+车.心-1=，·(x+1)(x-+x.(x+1)(x-1 x-1 xx+1 xx-1 x+1 =x+1+x-1=2x. 当x=√2-1时，原式=2（√2-1）=2√2-2. 13.解：画树状图如答图. 开始 春 夏 冬 夏秋冬春秋冬春夏冬春夏秋 13题答图 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， ,21 “抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为12=6 14.解：设A种花草每棵的价格是x元，B种花草每棵的价格是y元， 根据题意，得 30x+15y=675, 解得20， 112x+5y=940-675,y=5。 答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元 15.(1)证明：：四边形ABCD为矩形 ∴.AD∥BC,即DE∥BC,∠C=90°，AD=BC,∴.∠EDF=∠C,∠E=∠CBF DE=AD,∴DE=CB. ∠EDF=∠C, 在△DEF和△CBF中 DE=CB. L∠E=∠CBF, 参考答案第12页（共47页) .△DEF≌△CBF(ASA). (2)解：△DEF≌△CBF,DF=CF=}CD. 在矩形ABCD中，CD=AB=8,AD=BC=3,∠ADC=90°，∴.DF=4,∴.AF=√AD2+DF2=5, 即点A,F之间的距离为5. 16.解：(1)如答图①，AD即为所求. 16题答图① 16题答图② 16题答图③ (2)如答图②或答图③，点G即为所求.（画法不唯一，正确作出一种即可） 17.解：(1)4.50.5 (2)这6名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长为二×(3×1+4×0.5+4×1+5×0.5+6× 6 1.5+7×0.5)=4(h) ·学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3h, ∴.估计七(1)班在行动后第一周人均课外阅读总时长能达到学校目标. 18.解：能. 如答图，连接HN并延长交AB于点P,则N,H,F共线 由题意知四边形BDNP和四边形DEFN是矩形， .NF DE =2,PB=DN =1.6. 设PW=x, M 在R△APN中，tanB=AC B DE C PN' 18题答图 ∴.AP=PN·tanB≈l.60x. FH=0.3,CH=0.4,..tanLAFP=0.4=4 0.3=3, =10AP=1.60x=16AB=AP+PB=17.6 (m) 故字坊的高约为17.6m. 19.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=DC=4cm 当0<t≤2时，PD=(4-2t)cm; 当2<t≤4时，PD=(2t-4)cm. (2)连接BD,过点D作DM⊥AB于点M,如答图①， 则四边形DPQM为矩形，∴.DP=MQ. ,'AD=AB=4cm,∠DAB=60°，∴.AM=2cm. PQ平分菱形的面积，.PQ经过BD的中点O,∴.OB=OD. M QB ,四边形ABCD是菱形，∴.DC∥AB,∴.∠PD0=∠OBQ,∠DPO=∠BQO, 19题答图① 六△DP0≌△B00,DP=BQ=(21-4)cm,2+2-4+2-4=4,t= 21 参考答案第13页（共47页) (3)分三种情况：①当0≤t≤2时，点P在边AD上，如答图②. AP=2tcm,∠A=60°， D P emP3 cm. Saw=240:PQ=7x1xB= 1 2t, 0 19题答图② , ②当2<t≤3时，点P在边CD上，点Q在线段AB上，如答图③. D P 由(2)可知PQ=-2√5cm. .'DP=(2t-4)cm, ∴.AQ=2+2t-4=(2t-2)cm, QB S=am=740·P0=号×(2-2)x23-231-25; 19题答图③ ③当3<t≤4时，点P在边CD上，点Q在线段AB的延长线上，如答图④. D PC .AQ=(2t-2)cm,AB=4 cm,..BO=(2t-6)cm. :∠QBN=60°，.QN=3BQ=√3(2t-6)cm, ∴S=S0-Sa0w=2月1-23-7（(21-6)·5(2-6) BO 19题答图④ =-252+145t-205. 停0≤1e2. 综上所述，S与t的函数关系式为S= 125t-25(2<t≤3)， -252+145t-205(3<t≤4). 20.解：(1)未装载物品的空食品盒浸入水中的深度为0.01m (2)设这个一次函数的解析式为h=m+b(k,b为常数，且k≠0)， 将坐标(0,0.01)和(1,0.06)分别代入h=m+b, e.g0w,46-0 「k=0.05, ∴.这个一次函数的解析式为h=0.05m+0.01. (3)当装载质量最大时，这个食品盒完全浸入水中，此时h=10cm=0.1m. 将m=a,h=0.1代入h=0.05m+0.01,得0.05a+0.01=0.1, 解得a=1.8, a的值为1.8. 2L解I△GPB△AC器器Pe=PA,P阳 (2)作AD1BC于点D,如答图，CD=之BC ·cos∠BCA=cs30°=5CD_E 2 AC 2' 21题答图 “C-号由(I)易得△APG△GPB,PC=PA:PB, 参考答案第14页（共47页） 小器-2总-90-9m, 3 (停Pm-2P,得PB=6 (3)PC的长为2√3. 22.解：(1)(0-2)(4,0) (2)抛物线y=++e经过点A,点B, rc=-2, 将点A,B坐标代入，得{ 4×4+46+c=0,解得 2 c=-2, 抛物线的函数解析式为y=2- 2￥-2. (3)作DE⊥x轴于点E,交直线AB于点F,连接AC,AD,DB,如答图①. 设点D的横坐标为d,,=2d-2,n=子f-d-2 1 0f=,-o,则D=-子+d B 在抛物线上，令y=0,则x1=-2,x2=4,∴.BC=6, D ∴Sam=20A·BC=6, 22题答图① .SDFE DFE-+2d. 2 Sne(d2) .当d=2时，四边形ADBC的面积最大，为8， ∴.四边形ADBC面积的最大值为8. (4)m的取值范围为-3-√17≤m≤-4或-3+√17≤m≤2. y↑ 3 [解析]如答图②. 24 点P(m,0),将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN, ∴.M(m,-m),W(m+2,-m) -3-2入-1012345x 当点N在鹅物线上时，-m=(m+2)P-2(m+2)-2, AM·N 解得m=-3±√17； 22题答图② 当点M在抛物线上时，-m=子2-m-2, 解得m=-4或m=2. 综上所述，当-3-√17≤m≤-4或-3+√17≤m≤2时，线段MN与抛物线只有一个公共，点. 数学试卷（五） 1.A2.C3.C4.C5.A6.C 7487921yiw5-号 12.解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a+2=8a+3. 参考答案第15页（共47页)2026年吉林省·仿真大联考数学答题卡（卷四） 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、 选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 涂样 正确填涂 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、 要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 2[A][B][C][D 5[A][B][C][D 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] I11I1II11111IIl111I1111111I 二、填空题 7 8 9 10. 11 三、解答题 12. 解：原式= x(x+1) x(x-1) .-1 甲同学 (x-1)(x+1)+(x+1)(x-1)] … 解：原式= .x2-1x.x2-1 x-1 x x+1 x 乙同学 。。。00 12题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13: 13题图 14. 15. 15题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16, R 16题图① 16题图② 17. 平均每次阅读时长h 2 0.5 1234567 行动后第一周课外阅读次数/次 17题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. B DE C 18题图 19. D P OB 19题图 D B 19题备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20. 20题图① 食品盒浸入水中的深度h/m B 0 a 装载质量m/kg 20题图② 21. 21题图① B 21题图② A 21题图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. y B A 22题图 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效