23.2 《一次函数的图像和性质》知识点讲解 与同步练习--2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.2 一次函数的图像和性质 1、 正比例函数的图像和性质 探究：画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x，； （2）y＝－1．5x，y＝－4x． 列表，描点，连线． 画出图象 （1） （2） 总结归纳： 4条图象都是经过原点的直线，函数y＝2x和的图象经过第一、三象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、四象限，从左向右下降． 一般地，正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 例1 已知正比例函数y＝（k＋3）x，当k取何值时，函数y随x的增大而减小，此时，函数的图象经过哪些象限？ 根据题意得：k＋3＜0，即k＜－3时，y随x的增大而减小，图象经过二、四象限． 练习1 1．对于正比例函数y＝（1－k）x，若y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）． A．－1 B．3 C．0 D．－3 2．已知正比例函数y＝kx（k≠0），当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是（ ）． 3．已知正比例函数y＝（k＋3）x． （1）k为何值时，函数的图象经过第一、第三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，函数的图象经过点（1，1）． 2、 一次函数的图像和性质 探究： 1．画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象． 列表： 描点，连线： 2．比较上面两个函数的图象，思考并填写观察结果： （1）这两个函数的图象形状都是________（直线），并且倾斜程度________（相同），它们的位置________（互相平行）. （2）函数y＝－6x的图象经过________（原点），函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________（0，5），即它可以看作由直线y＝－6x向________（上）平移________（5）个单位长度而得到． 3．比较两个函数解析式，说出两个函数的图象有上述关系的理由 它们的k值相同，都是－6．若k值相同，即直线的倾斜程度相同，所以两条直线平行． 4．联系上面的结果，思考一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y＝kx（k≠0）有什么关系？ （1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． （2）直线y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）互相平行． （3）直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）． 继续探究： 5．画出函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象． 解：列表表示当x＝0，x＝1时两个函数的对应值． 过（0，－1）点与（1，1）点画出直线y＝2x－1． 过（0，1）点与（1，0.5）点画出直线y＝－0.5x＋1． 6．思考：根据直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移个单位长度而得到，还能怎样的方式得到上述函数图象？ 可以先画直线y＝2x与y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1． 7．总结画一次函数的图象． 一次函数的图象和正比例函数一样也是直线，可用两点（0，b）和（，0）来连成，并且，如果它们的k值相等，即倾斜程度相同，这两条直线平行，所以也可用直线y＝kx通过上下平移︱b︱个单位得到直线y＝kx＋b． 8．画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象． 列表表示当x＝0，x＝1时四个函数的对应值． 描点，连线． 9．观察以上函数图象，思考下面的问题． （1）一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？对函数的变化规律有什么影响？ 当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降，y随x的增大而减小． （2）看一看你画的所有的一次函数的图象，总结b的值对图象有什么影响． （0，b）是直线与y轴的交点坐标，b＞0时，交点在x轴上方，b＜0时，交点在x轴下方． k，b的符号共同决定直线经过的象限： 当k＞0，b＞0，直线经过一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，直线经过一、四、三象限； 当k＜0，b＞0，直线经过二、一、四象限； 当k＜0，b＜0，直线经过二、三、四象限； 10．总结一次函数的图象与性质 一次函数y＝kx＋b的系数k，b的符号决定了它的图象和性质，如下表 y＝kx＋b k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 图象从左到右 上升 下降 经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 y随x的变化 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 比例系数的大小决定着直线的倾斜程度．当系数是正数时，它越大，直线就越陡，当系数是负数时，它越小，直线就越陡． 例2 1． 直线y＝2x－3与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，图象经过第 象限，y随x增大而 ． （1.5，0），（0，－3），一、三、四，增大． 2.若一次函数y＝（2m－1）x＋3－2m的图象经过第一、第二、第四象限，则m的取值范围是_________． 解析：∵y＝（2m－1）x＋3－2m的图象经过第一、第二、第四象限， ∴2m－1＜0，3－2m＞0．解不等式，得，．∴m的取值范围是. 检测1 1．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是（ ）． A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝－2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 2．无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为_______． 4．如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1______y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 作业1 1．当m满足____时，一次函数y＝－2x＋m－4的图象与y轴交于负半轴；当m满足 ____时，函数y＝x＋m－2的图象与x轴交于正半轴． 2．将正比例函数y＝－2x的图象向上平移3个单位长度后，得到的函数图象解析式为___________． 3．若一次函数y＝（2－m）x＋m的图象经过第一、第二、第四象限，则m的取值范围是________． 4．在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响． （1）y＝x－1，y＝x，y＝x＋1； （2）y＝－2x＋1，y＝－2x，y＝－2x－1． 3、 一次函数的解析式 探究： 已知一次函数图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数y＝kx＋b的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b． 因为y＝kx＋b的图象过点（3，5）与（－4，－9），所以 得 所以这个一次函数的解析式为y＝2x－1． 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法． 总结求一次函数解析式的步骤： （1）设：设函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）代：将已知的x，y的对应值（至少两对对应值）代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程； （3）解：解方程组求得系数k，b的值； （4）写：将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式． 例3 已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）在x＝1时，y＝5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，由题意知该函数图象过点（1，5）与（6，0），所以 得 ∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋6． 练习2 1、柴油机在工作时油箱中的余油量Q（千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克 （1）写出余油量Q与时间t的函数关系式； （2）画出这个函数的图象． 2、已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y＝4x－3的交点在x轴上． （1）求这个一次函数的解析式． （2）此函数的图象经过哪几个象限？ （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积． 检测2 1．已知一个一次函数，当自变量x＝－2时，函数值y＝－1，当x＝3时，y＝－3．求这个一次函数的解析式． 2．如图中的两条直线表示函数y1＝kx和y2＝mx＋n的图象，根据图象回答下列问题： （1）试确定这两个函数的表达式．（2）随着x的增大，y1_________；y2_________． （3）当x＝时，y1和y2哪个大？说明理由． 作业2 １．已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过（0，2），（1，3）两点． （1）求k、b的值； （2）若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值． 2．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示． （1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数解析式； （2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？ 答案 练习1： 1．∵y随x的增大而减小，∴1－k＜0．∴k＞1．四个选项中符合条件的数只有3．故选B． 2．将x＝－1，y＝－2代入正比例函数的解析式y＝kx（k≠0），得－2＝－k，即k＝2＞0． ∴函数图象过原点和第一、第三象限．故选C． 3．解：（1）由正比例函数的性质，得k＋3＞0．解得k＞－3． （2）由正比例函数的性质，得k＋3＜0．解得k＜－3． （3）将点（1，1）代入y＝（k＋3）x，得1＝（k＋3）·1．解得k＝－2． 检测1： 1． D． 2．C．解析：∵直线y＝－x＋4经过第一、第二、第四象限，不过第三象限，∴无论m取何值，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在第三象限． 3．k＜2．4．＞． 作业1： 1． m＜4，m＜2． 2． y＝－2x＋3． 3．m＞2． 4．解： b决定直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标（0，b）的位置． 当b＞0时，交点在原点上方；当b＝0时，交点即原点；当b＜0时，交点在原点下方． 练习2： 1、解：（1）设Ｑ＝kt＋b．把t＝0，Q＝40；t＝3.5，Q＝22.5分别代入上式，得 得 解析式为：Q＝－5t＋40，（0≤t≤8）． （2）取点Ａ（0，40），B（8，0），然后连成线段AB，即是所求的图形． 2、解析：（1）对于一次函数y＝4x－3，当y＝0时，x＝． ∴该一次函数与x轴的交点为（，0）．∴直线y＝kx＋b经过点（3，－3）和点（，0）． ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1． （2）∵k＝＜0，b＝1＞0，∴一次函数y＝x＋1的图象经过第一、第二、第四象限． （3）∵当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝． ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为S△＝｜x｜·｜y｜＝． 检测2： 1、解：设这个一次函数为y＝kx＋b（k≠0）． 由题意，得 解得 所以，一次函数解析式为． 2、 （1），． （2）增大，增大． （3）当x＝2时，＝；当x＜2时，＜， 当x＞2时，＞．而当x＝＜2时，＜． 作业2： １．解：（1）由题意，得 解得∴k，b的值分别是1，2． （2）由（1）得y＝x＋2．∴当y＝0时，x＝－2，即a＝－2． 2．解：（1）由图象可知，当0≤x≤15时，该函数是正比例函数，y与x的函数解析式为y＝x；当x≥15时，该函数是一次函数，可求得y与x的函数解析式为y＝2．5x－10．5． （2）该用户该月用水21吨，应交水费y＝2.5×21－10.5＝42（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $