精品解析：广东深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期4月素养练习九年级数学试卷

2025-2026学年第二学期4月素养练习 九年级数学试卷 说明：答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答、填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁部分完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，； 选项C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 2. 深大城际（轨道交通33号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线14站，其中深圳段11站，惠州大亚湾段3站，小深同学随机选择其中1个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式求概率即可． 【详解】解：小深同学随机选择其中1个站点参观共有14种等可能的结果，其中该站点恰好属于深圳段的有11种结果，所以该站点恰好属于深圳段的概率为． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能直接相减，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（ ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数表示收支的规则，计算所有收支的和即可得到最终结果． 【详解】解：根据题意，收入记为正，支出记为负， 将所有收支相加得 因此最终收支结果表示为． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种出行方式已融入人们的日常生活．如图1是某单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线定理与性质、三角形内角和定理，根据平行线定理可得，由平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故故选C． 6. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍， ∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为， ∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3， ∴可得方程． 8. 如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， 圆锥底面半径为． 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 10. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，因式分解的应用，将转化为是解决问题的关键． 通过因式分解将转化为，再整体代入即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理结合垂径定理分别求出瓶内液体没升高时和升高时的长度，即可解答． 【详解】解：连接， 当瓶内液体没升高时， ∵，球的半径为， ∴，， 由题意得， ∴点为的中点， ∴， ∴此时； 当瓶内液体升高时， 则，， ∴， 同理，得， ∴此时； ∴当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步． 【答案】360 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AECD，AE=CE，则有△ABE∽△CED，根据相似三角形的性质得， 不妨设正方形的边长为2x，则AE=CE=x，求出x的值进而可确定出正方形的边长． 【详解】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AECD，AE=CE=x步， ∵AECD， ∴△ABE∽△CED， ∴， ∴，解得x=180（负值舍去）. ∴2x=360． ∴正方形的边长为360步． 故答案为：360． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，利用相似比计算对应的线段长，熟练掌相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 13. 如图，在正方形中，点是边的中点，的平分线交于点，连接，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，作于点G，由角平分线的性质可得，再证，推出，，用勾股定理解和，求出x的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点G，设正方形的边长为， 正方形中，点E是边的中点， ，， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算立方根、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，再合并计算即可得到结果； （2）先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到化简结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的化简，解题的关键是掌握实数的混合运算，特殊角的三角函数值，平方差公式，完全平方公式，即可． 15. 列方程组或不等式解决实际问题：某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元． （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元；（2）有2种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆 【解析】 【分析】（1）设每辆车型车的售价为万元，每辆车型车的售价为万元，根据“1辆型车和2辆型车，销售额为70万元；本周已售出3辆型车和1辆型车，销售额为80万元”即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据总价单价数量结合购车总费用不超过154万元，型号车不少于2辆，即可得出关于的一元一次不等式组，再解即可． 【详解】解：（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元． （2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆， 依题意，得：， 解得： m≤3.5 又∵m为整数且m≥2， ∴m=2或3， 答：有2种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16. 某校初三年级有400名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各50分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： .代数测试成绩在这一组的数据是：35，36，37，37，38，38，39，39，39，39 .几何测试成绩在的数据是40，42，47，47 .两次成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 代数成绩 35.2 39 几何成绩 32.05 35.5 37 请根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）测试成绩大于或等于30分为及格．估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格． （3）下列推断合理的是 ． ①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好． ②被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上． 【答案】（1），38 （2）300 （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据扇形图中的百分数求出，根据代数测试成绩在这一组的数据求出的值； （2）根据频数分布直方图和扇形统计图中的数据，用样本估计总体即可； （3）根据题中给出的数据判断①，求出几何测试成绩在的人数判断②． 【小问1详解】 解：， 代数成绩从小到大排列，第10和第11个数为38和38，则． 故答案为：，38； 【小问2详解】 （人）， 所以，估计该校初三年级本次代数测试约有300人及格． 故答案为：300； 【小问3详解】 代数测试成绩的平均分为35.2分，几何的平均分为32.05分， ∴代数测试成绩的平均分高于几何的平均分， ∴大多数学生代数掌握的比几何好，①推断合理； 几何测试成绩在的人数是：（人）， 因为被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、平均数、利用样本估计整体等知识，解答本题的关键是准确提取图表中的信息，熟练运用相关知识进行计算． 17. 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，于点，交半圆于点．连接． （1）求证：平分． （2）若，，求半径的长． （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，由平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而证得，从而得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，设的半径为，则、，易证明，进而得到，据此列方程求解即可； （3）利用尺规作图的方法作出即可得． 【小问1详解】 证明：连接， 切半圆于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得：， 设的半径为，则、， 由（1）知：， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的半径为； 【小问3详解】 解：直线即为所求． ． 18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米 （2）此时水桶B上升的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【小问1详解】 解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 19. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 【答案】（1）3， （2）2.25米 （3）；的取值范围为： 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，代入求出值，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由、之间的水平距离为8米得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点， 已知墙与等高， 即（米， 当时，，即顶点坐标为， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； 【小问3详解】 解：由题意知，点、纵坐标均为3，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得； 当时，即，解得（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 20. 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． （1）【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： （2）【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． （3）【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 （3）或． 【解析】 【分析】(1) ①先推导出，，得到，，则，进而证明，即可解答； ②根据相似三角形推导出，由，得到，即可解答； （2）先求出，，得到，推导出，得到，进而推导出，则是单余三角形，且是单余角； （3）过点B作于点M，先求出，，得到，，进而推导出当是单余三角形时，或，分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 证明：①如图 ∵若是单余三角形，且是单余角，， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是单余三角形，且是单余角． 【小问3详解】 解：过点B作于点M，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 由，得， ∴是单余三角形时，或， ①当时，如图 过点O作于点P，有， 由（1）同理可得， ∴， 即， 解得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ②当时，如图，过点A作的延长线于点P， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可得， ∴ ∴ 即 解得，即， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 解得． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期4月素养练习 九年级数学试卷 说明：答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答、填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 深大城际（轨道交通33号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线14站，其中深圳段11站，惠州大亚湾段3站，小深同学随机选择其中1个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（ ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A. B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种出行方式已融入人们的日常生活．如图1是某单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，要使与平行，则的度数是（ ） A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 6. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 7. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 10. 若，，则的值为______． 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步． 13. 如图，在正方形中，点是边的中点，的平分线交于点，连接，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算、化简： （1） （2） 15. 列方程组或不等式解决实际问题：某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元． （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？ 16. 某校初三年级有400名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各50分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： .代数测试成绩在这一组的数据是：35，36，37，37，38，38，39，39，39，39 .几何测试成绩在的数据是40，42，47，47 .两次成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 代数成绩 35.2 39 几何成绩 32.05 35.5 37 请根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）测试成绩大于或等于30分为及格．估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格． （3）下列推断合理的是 ． ①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好． ②被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上． 17. 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，于点，交半圆于点．连接． （1）求证：平分． （2）若，，求半径的长． （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 19. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 20. 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． （1）【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： （2）【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． （3）【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $