专题02 图形与坐标（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材湘教版

专题02 图形与坐标 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 三角形的中位线定理 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25七年级下·天津·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（23-24八年级上·山西大同·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆，当他站在距标杆2m的D处时，眼睛F、标杆的顶端E与塔尖A恰好在一条直线上，已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是． (1)小亮以点D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，为1个单位长度，建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ，点E的坐标为 ； (2)求电视塔的高度． 求点到坐标轴的距离 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且点在第二象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）点在第二象限，则点P到x轴的距离是（  ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）点到轴的距离为__________． 【变式3】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知点，解答下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A的纵坐标比横坐标大5，求点A的坐标； (3)若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 判断点所在的象限 【例1】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）点在（   ） A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知点所在的象限求参数 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与x轴平行，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求值： (1)当点P在y轴上时，求点P坐标； (2)当时，求m的值． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 点坐标规律探索 【例1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点则 的坐标为（    ） A． B． C． D． 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是__________． 【变式2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【变式3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 已知图形的平移，求点的坐标 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）将点向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则___________，___________． 【变式3】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． (1)画出，并求出，，三点的坐标； (2)求的面积． 平移综合题 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， (1)在平面直角坐标系中，画出四边形； (2)点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 【变式3】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 坐标与图形的变化--轴对称 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知点和点关于x轴对称，则的值是_________． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 【变式2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 【变式3】（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标． 坐标系中的动点问题 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（   ） A．30 B． C．60 D．120 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 坐标与旋转规律问题 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形，第2次将正方形绕点 O 逆时针旋转 后，得到正方形，……，依此规律，绕点 O 旋转得到正方形，则点的坐标为_________________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形与坐标 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 三角形的中位线定理 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题利用平行于轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，结合线段的长度，分B点在A点左侧和右侧两种情况，即可求出点B的坐标． 【详解】解：∵轴，点， ∴ A，两点纵坐标都为， ∵， ∴当点在点右侧时，横坐标为，得， 当点在点左侧时，横坐标为，得， ∴ 点的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·天津·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：∵从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，点M的位置用表示， ∴表示的位置是先向东走1步，再向北走2步，即为B点， 【变式2】（23-24八年级上·山西大同·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ， ， ， ∴点的坐标为． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆，当他站在距标杆2m的D处时，眼睛F、标杆的顶端E与塔尖A恰好在一条直线上，已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是． (1)小亮以点D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，为1个单位长度，建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ，点E的坐标为 ； (2)求电视塔的高度． 【答案】(1)， (2)电视塔的高度为 【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，直接写出点的坐标即可； （2）根据点E和点F的坐标得出直线的解析式，根据解析式求出A点的坐标即可得出电视塔的高度． 【详解】（1）解：根据题意建立直角坐标系： ∴，； （2）设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线EF的解析式为， ∵A点的横坐标为， ∴A点的纵坐标为， 即电视塔的高度为． 求点到坐标轴的距离 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且点在第二象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限内点的坐标符号特征推导即可． 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， 又∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）点在第二象限，则点P到x轴的距离是（  ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据点到x轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值算即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到轴的距离为纵坐标的绝对值， 又∵点坐标为，纵坐标， ∴点到轴的距离为． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）点到轴的距离为__________． 【答案】 【分析】理解点的坐标中各个数字的意义并解题即可． 【详解】解：根据点的坐标的几何意义,点到轴的距离为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知点，解答下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A的纵坐标比横坐标大5，求点A的坐标； (3)若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 【答案】(1)A（0，5.5） (2) (3) 【分析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标为0求出a的值，再求出点A的纵坐标即可． （2）根据点A的纵坐标比横坐标大5，列出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可求出点A的坐标． （3）根据点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半列出关于a的绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解∶∵点A的纵坐标比横坐标大5， 则， 解得：， ∴，， ∴． （3）解：∵点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半， ∴， ∴， 当或， 解得：无解或， 综上，或． 判断点所在的象限 【例1】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点所在象限的判断，解题关键是掌握各象限内点的坐标符号特征，以及平方数的非负性，先判断横纵坐标的符号，再根据象限特征判断即可． 【详解】解：∵任何实数的平方都为非负数，即， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标为， 根据象限坐标特征，第二象限内点的横纵坐标符号为（负，正）， ∴点在第二象限． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）点在（   ） A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上 【答案】B 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点的纵坐标为，横坐标， ∴点在x轴的负半轴上． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限内点坐标特征解答即可，第四象限． 【详解】解：，， 点所在象限为第四象限． 已知点所在的象限求参数 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限的点的纵坐标为正数列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与x轴平行，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等的性质，构建方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行 ∴点与点的纵坐标相等，即， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求值： (1)当点P在y轴上时，求点P坐标； (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）利用平方根解方程即可. 【详解】（1）解：由题意，，解得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或. 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 【答案】 【分析】在y轴左侧的点的横坐标为负，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此列式求解即可． 【详解】解：∵点在y轴左侧， ∴， ∵点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∴． 点坐标规律探索 【例1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知点A的坐标每4次变换为一个循环周期，然后根据轴对称的性质，分别写出前4次变换后的坐标，结合的余数确定最终坐标即可． 【详解】解：根据题意， 第1次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第2次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 第3次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第4次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 点的坐标每4次变换循环一次， ， 经过2025次变换后所得的点的坐标与第1次变换后的坐标相同，即为 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照的顺序，每个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加．利用规律求解即可． 【详解】解：根据题意及题图可知，第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点， 第8次运动到点， 易知点的运动每4次位置循环1次，每循环1次向右移动4个单位， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点． ， 点的坐标是． 故选：A. 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，解题的关键是正确找出规律． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点则 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“（n为非零自然数）”是解题的关键． 观察图形结合点的坐标，即可得出变化规律“（n为非零自然数）”，依此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：观察发现： ∴（n为非零自然数）， ∵， 解得： ∴ ， ∴， 故选：C． 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的实际应用，正确建立坐标系是解题的关键． 根据“马”和“兵”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系， ∴“帅”的坐标是． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 已知图形的平移，求点的坐标 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点的平移规律，平移规则为：向左平移横坐标减小，向上平移纵坐标增加，按照规则计算即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）将点向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则___________，___________． 【答案】 3 1 【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握点的平移的规律是解题的关键．根据题意，将的纵坐标，横坐标得到，进而得出的值，即可求解． 【详解】解：∵点向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点， ∴， 解得：． 故答案为：3；1． 【变式3】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． (1)画出，并求出，，三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，，，． (2) 【分析】本题考查图形的平移，以及直角坐标系求图形面积问题，掌握点的坐标移动规律是解题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． （2）解：如图，采用割补法计算的面积， 的面积为梯形面积减去两个直角三角形面积， 即． 平移综合题 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；理由见解析；②点D的坐标为或 【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，； （2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，，  ，，于是， 可证.   ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得． 【详解】（1）解：由可知， ，， 解得：，； （2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上， ∴，沿y轴负方向平移2个单位得到， ∴，     ①. 理由如下：由题意得，， ∵， ，，     ，    ， ，         ， 即.    ②当 时，， 可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；    当时，如图，点D在第四象限，    设，由①得， ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 当时，如图，点D在第二象限，    ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标系内图象平移与坐标变化，直角坐标系内求三角形面积，结合动点的运动情况判断图形的状态，分类讨论是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， (1)在平面直角坐标系中，画出四边形； (2)点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）直接描点连线即可． （2）由题意得，四边形向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到四边形，结合平移的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：点的对应点是，即四边形内的每个点向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到四边形，故分别找到平移后的对应点，然后顺次连接即可． 如图，四边形即为所求． 【变式3】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键． 坐标与图形的变化--轴对称 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知点和点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求出和的值，再计算的值，最后求幂即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图， 即为所求， ，，； （2）解：如图， 即为所求； （3）解：如图，点P即为所求，． 【变式2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：． 【变式3】（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图——轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识； （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接各点，即可； （2）根据点A，B，C所在坐标系中的位置写出其对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图；即为所求； （2）解：∵关于轴对称的， ∴． 坐标系中的动点问题 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（   ） A．30 B． C．60 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，二次根式的乘法，利用数形结合的是思想解决问题是关键．连接、，先根据坐标求出，由矩形的性质可知，，当移动时间为8秒时，，，进而得到点、的坐标，从而求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 以、为边作矩形， ，， 当移动时间为8秒时，，， ， ，， ， ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解，由已知坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)，；30； (2)，理由见解析 (3)存在，或24 【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）根据长方形的性质，结合点的坐标，求出的坐标，进而求出的长，利用面积公式求出长方形的面积即可； （2）作，根据平行线的性质，进行求解即可； （3）分P在线段上，P在线段上，P在线段上，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，，， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点A、C坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴长方形的面积为； （2），理由如下： 作， ， ， ， ， 即； （3）存在． ①当P在线段段时， 由题意，得：， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ； ②当P在线段段时，三角形的面积不变，不等于长方形面积的，不合题意，舍去 ③当P在线段段时， ， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ， 解得； 或24． 坐标与旋转规律问题 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，每次旋转， 则， 即每旋转八次，点B对应点的位置循环出现， 又∵， ∴点在第一象限． ∵正方形的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍， ∴正方形的边长为2；正方形的边长为； 则正方形的边长为； …， 依次类推，正方形的边长为， 当时，正方形的边长为， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型． 根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至， 而， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2023次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A的对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形，第2次将正方形绕点 O 逆时针旋转 后，得到正方形，……，依此规律，绕点 O 旋转得到正方形，则点的坐标为_________________． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， ， 发现是8次一循环，则， 点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $