专题01 分式（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 分式 分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 分式有意义、分式值为0的条件 分式有意义的条件： （1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 分式的加减法 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式的定义 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，理解分式的分母中必须含有字母（变量）是解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：分式是分母中含有字母的代数式， A． 可视为分母为1，无字母，不是分式，不符合题意； B．分母为3，无字母，不是分式，不符合题意； C．分母为，有字母x，是分式，符合题意； D． 分母为2，无字母，不是分式，不符合题意． 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 分式有无意义的条件 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴不符合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取_____值时，分式没有意义 【答案】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可． 【详解】解：当分母时，分式没有意义， 即， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件得出，求解即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 所以， 故选：D． 分式值为0的条件 【例1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）若分式的值为0，则x的值是_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零，需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】（24-25八年级下·海南海口·期中）分式的值等于0的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据分式值为0要求分子为0，求出x的可能值，再排除使得分母为0的值，得到最终结果． 【详解】∵分式的值为0， ∴． 解得． 又∵，即． ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 分式基本性质 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广西·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将x和y同时扩大为原来的3倍后代入分式，化简后与原分式比较． 【详解】解∶∵原分式为， 将x和y分别替换为和， ∴新分式为==， 而原分式为， ∴新分式是原分式的3倍， ∴分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）把分数的分子扩大为原来的5倍，分母缩小为原来的，所得的分数的值比原来（    ） A．扩大到原来9倍 B．缩小到原来20倍 C．不变 D．扩大到原来20倍 【答案】D 【分析】本题主要考查了分数的基本性质，通过计算新分数与原分数的比值，确定分数值的变化即可． 【详解】解：设原分数为， ∵分子扩大为原来的5倍，新分子为， 分母缩小为原来的，新分母为， ∴新分数为， ∴新分数扩大到原来的20倍． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍， ∴新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选C． 分式的约分 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除法，分式的基本性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用分式的乘除法则及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、是最简分式，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简的基本方法，涉及约分和指数运算的应用，掌握运算法则是解题的关键． 找出分子分母的公因式直接进行约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简，将分子和分母分别因式分解，约去公因式即可化简． 【详解】解：， 故选：B． 最简分式 【例1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的概念和因式分解，分析分子和分母是否有公因式是解题关键． 根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式是最简分式，分别检查各选项是否能约分． 【详解】解：对于选项，分子为，分母为，在实数范围内不可分解，且与无公因式，不能约分，是最简分式； 对于选项，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子，分母，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子和分母都有公因式，，可以约分，不是最简分式． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）下列分式中，是最简分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 分式的通分 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【变式1】（22-23八年级上·全国·期中）分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 【变式3】（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键． （1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可； （2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可． 【详解】（1）解：，，的最简公倍数为， ； ； ； （2）解：，，的最简公倍数为， ； ； ． 分式的乘除 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·月考）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 【变式2】（21-22九年级下·重庆江北·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别由完全平方公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可； （2）先计算括号里的，再由平方差公式因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的乘除混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算乘方，再约分即可． （2）先将除法变成乘法，约分即可． （3）先将分子分母因式分解，最后约分即可． （4）先将除法变成乘法，再将分子分母因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 分式的乘方 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·月考）已知，则___________． 【答案】23 【分析】本题考查了等式的性质及分式性质，完全平方公式的运用，求得是解题的关键．由，将等式两边都除以,再用完全平方公式计算代入即可求解 【详解】，将等式两边都除以，得： ∴ 故答案为：23 【变式3】（21-22八年级上·贵州铜仁·月考）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解． 【详解】、，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 分式的加减 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 【变式3】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 分式的混合运算 【例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）化简：． 【答案】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】（18-19八年级上·四川绵阳·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小颖的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 分式化简求值 【例1】（22-23八年级上·山东泰安·期中）若，则______． 【答案】4 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 【变式1】（21-22八年级下·四川遂宁·期中）化简，然后在，，，中选一个你认为合适的值，代入求值． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和除数不为，可知的值只能选，根据分式的运算法则把分式化简，再把代入化简后的分式中计算求值． 【详解】解：有意义， ， 整理得：， 、、， ， ， 当时， 可得：原式． 【变式2】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式的加法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，分子分母能因式分解的因式分解并进行约分，最后算减法，然后根据分式有意义的条件求出可取的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 要使分式有意义，即且， 不能为，，， 取， 当时，原式． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题的关键．先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行通分合并，得到最简分式后，代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 解分式方程 【例1】（25-26九年级下·北京·期中）方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程变形，化为同分母分式，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验得到原方程的解． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同时乘以得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入得：， 因此，是原分式方程的解． 【变式1】（21-22八年级下·四川遂宁·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先去分母，把分式方程转化成一元一次方程，解一元一次方程求出，再把代入最简公分母检验； （2）首先去分母，把分式方程转化成一元一次方程，解一元一次方程求出，再把代入最简公分母检验． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入，可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 把代入，可得：， 是原分式方程的解． 【变式2】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 【变式3】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得到，， 解得， 经检验，是分式方程的解； （2）解： ， 解得， 经检验，是增根， ∴原分式方程无解 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程的解是，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值．将代入方程，得，再解出的值，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴将代入得， 即． 两边乘以4，得， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ）． A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了含参分式方程的解法．熟练掌握分式的解法，增根的概念，是解题的关键． 先解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零，得到且． 【详解】解： ，且 ， ， 两边同乘 ，得：， 化简得：， ， ， 方程的解是正数， ，即 ， ， 又 ， ， ， 且． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．解分式方程，得到解，根据解是非负数且分母不为零的条件，得关于n的不等式，解不等式即可确定 n 的取值范围． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·山东威海·期中）如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：方程去分母得， 解得． ∵方程的解为非负数， ∴， 解得． 又，即， ∴， 解得． ∴的取值范围为且， 故答案为：且． 分式方程增根与无解 【例1】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程无解的情况，准确的计算是解决本题的关键． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，进而即可求解． 【详解】解： 解得， 由题意得，当方程无解时，解为增根， 即，代入得， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 分式方程的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用问题，根据速度、路程和时间之间的关系，分别表示出快马与慢马的速度，再结合快马速度是慢马的倍，即可列出对应方程． 【详解】解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达， ∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为， ∵快马比预定时间早小时到达， ∴快马行驶时间为小时，快马速度为， 又∵快马速度是慢马的倍， ∴可得方程． 【变式1】（25-26九年级上·福建南平·期中）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，且甲、乙每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件．利用时间相等关系列方程． 【详解】解：∵ 甲做360个零件的时间为 ， 乙做480个零件的时间为 ， ∵时间相等， ∴ ， 即选项B正确． 故选：B 【变式2】（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 【答案】 A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据“数量相同”这一等量关系列出分式方程． 设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元；根据“用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同”列出方程；解此方程并检验，得到两款机器人的单价． 【详解】解：设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元． 根据题意得， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【答案】B种机器人每小时还书本 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解． 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本，列出分式方程求解即可． 【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本． 根据题意，得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B种机器人每小时还书本． 【变式4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)元；元； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； (3)超过． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 燃油车每千米行驶的费用为元，新能源车每千米行驶的费用为元； 故答案为：元；元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：，解得， 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 【题型一】分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 方法点拨：记住口诀：分式值为0，定要看两层，分子等于零 ，分母不为零。 【例1】若分式的值为0，则_____ ． 【答案】 【分析】根据分式的值为零，分子为零，而分母不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 【变式1-1】当______时，分式值为零． 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 【变式1-2】若分式的值等于0，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为的条件，分式值为需要分子为且分母不为，据此列条件求解即可得到的值,． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴ ∴解得且， 因此． 【变式1-3】下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0， A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0； D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0． 【题型二】解分式方程去分母时漏乘不含分母的项 【例2】解分式方程： 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 解得：， 当时，， 所以是原分式方程的解． 【变式2-1】解方程：． 【答案】 【分析】在方程两边同乘以，把原方程化为一元一次方程，求解后检验即可得出答案． 【详解】解：在方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 【变式2-2】解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，将原式化为整式方程求解，再代入原方程检验． 【详解】解：， ， ， 解得， 检验：当，，分式有意义． 故是原方程的解． 【变式2-3】解分式方程： 【答案】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 【题型三】混淆增根和无解 方法点拨：无解情况下不要忽略整式方程无意义的情况。 【例3】关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分类讨论，分别得出答案即可． 【详解】解： ， 两边同时乘以得，， ． 当时，即，整式方程无解，故原分式方程也无解； 当时，， 故方程的解为增根时，原分式方程无解， 即或， 或， 若，此方程无解； 若，解得，， 综上，或． 【变式3-1】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【变式3-2】若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 【变式3-3】若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程的分母为零，即产生增根，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：原分式方程为 ， 方程变形为 ， 方程两边同乘最简公分母，得： 整理得整式方程：， 分两种情况讨论： ①当整式方程无解 对于一元一次方程，当时方程无解， 因此令，解得， 此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． ②整式方程有解，但解为原分式方程的增根 原分式方程的增根满足分母，因此增根为， 将代入整式方程，得： ，解得， 此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意． 综上，的值为或． 【题型四】根据方程解的情况，求参数值或范围时忽视产生增根的情况 【例4】若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的代数式表示出，根据解为非正数建立不等式，再结合分式方程分母不为零排除使分式无意义的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母（），得， 移项整理得， ∵方程的解为非正数， ∴，即， 解得，， 又∵分式方程中分母不能为0，分式才有意义， ∴，即， 解得，， 综上，的取值范围是且． 【变式4-1】若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 【变式4-2】已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先求出方程的解，再根据分式方程的解是负数求出范围，最后通过进行求解即可． 【详解】解： 解得， ∴ 解得：， 又∵，即， ∴， ∴． ∴的取值范围是且． 【变式4-3】解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得： ， 将增根代入整式方程，得： ， 整理得， 解得． 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 2．18．已知，则的值为___________． 【答案】13 【分析】先对已知等式移项得到，再利用完全平方公式变形，整体代入计算所求代数式的值即可．本题主要考查完全平方公式和整体代入法求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 代入得：， 整理得 ， 因此 ． 故答案为：13． 3．先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代入一个使分式有意义的值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 由于， ， 当时，原式． 4．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】将分式通分相减，再约分化简，最后将已知等式代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， 原式． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．若关于x的分式方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘，得，， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 将代入，得， 故的值是3． 2．若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 3．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为非负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，即， 又∵分母不为零，即， ∴， ∴， ∴且． 4．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到，再根据“解为正数”得到，同时排除增根，综合得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式方程的解为正数，则，解得， 由，则，，解得， 综上，的取值范围是且． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式 分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如_____的形式；②A、B都是_____；③分母中必须含有_____，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 分式有意义、分式值为0的条件 分式有意义的条件： （1）分式有意义的条件是 （2）分式无意义的条件是 （3）分式的值为正数的条件是 。 （4）分式的值为负数的条件是 。 分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子 且分母 分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母__________一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何__________，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把 的积作积的分子， 的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 分式的加减法 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有 的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合 方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式的定义 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 分式有无意义的条件 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取_____值时，分式没有意义 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 分式值为0的条件 【例1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）若分式的值为0，则x的值是_____ ． 【变式1】（24-25八年级下·海南海口·期中）分式的值等于0的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为_______． 【变式3】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知分式的值为，则的值为___________． 分式基本性质 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式1】（25-26八年级上·广西·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）把分数的分子扩大为原来的5倍，分母缩小为原来的，所得的分数的值比原来（    ） A．扩大到原来9倍 B．缩小到原来20倍 C．不变 D．扩大到原来20倍 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 分式的约分 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）化简______． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 最简分式 【例1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）下列分式中，是最简分式的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 分式的通分 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·全国·期中）分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 【变式3】（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 分式的乘除 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·月考）计算：________． 【变式2】（21-22九年级下·重庆江北·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 分式的乘方 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·月考）已知，则___________． 【变式3】（21-22八年级上·贵州铜仁·月考）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 分式的加减 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）化简：______ 【变式1】（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 分式的混合运算 【例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）化简：． 【变式1】（18-19八年级上·四川绵阳·期末）计算： 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 分式化简求值 【例1】（22-23八年级上·山东泰安·期中）若，则______． 【变式1】（21-22八年级下·四川遂宁·期中）化简，然后在，，，中选一个你认为合适的值，代入求值． 【变式2】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 解分式方程 【例1】（25-26九年级下·北京·期中）方程的解为________． 【变式1】（21-22八年级下·四川遂宁·期中）解方程 (1) (2) 【变式2】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【变式3】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程的解是，则__________． 【变式1】（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ）． A．且 B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式3】（25-26九年级上·山东威海·期中）如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为______． 分式方程增根与无解 【例1】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 分式方程的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建南平·期中）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【变式4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【题型一】分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 方法点拨：记住口诀：分式值为0，定要看两层，分子等于零 ，分母不为零。 【例1】若分式的值为0，则_____ ． 【变式1-1】当______时，分式值为零． 【变式1-2】若分式的值等于0，则的值为________． 【变式1-3】下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】解分式方程去分母时漏乘不含分母的项 【例2】解分式方程： 【变式2-1】解方程：． 【变式2-2】解方程：． 【变式2-3】解分式方程： 【题型三】混淆增根和无解 方法点拨：无解情况下不要忽略整式方程无意义的情况。 【例3】关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【变式3-1】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【变式3-2】若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式3-3】若关于的分式方程无解，则的值是________． 【题型四】根据方程解的情况，求参数值或范围时忽视产生增根的情况 【例4】若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______． 【变式4-1】若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【变式4-2】已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 【变式4-3】解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．先化简，再求值：，其中． 2．18．已知，则的值为___________． 3．先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 4．已知，求代数式的值． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．若关于x的分式方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 3．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $