专题02 函数及其图象（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 函数及其图象 变量与函数 · 变量与常量： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 · 函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： · 分母不为 0（如 ，自变量 ）； · 被开方数非负（如 ，自变量 ）； · 结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 平面直角坐标系 · 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 · 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 · 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 函数的图象 · 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 · 画函数图象的步骤（华东师大版重点操作）： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 · 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 一次函数 · 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 · 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 · 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 一次函数的图象 · 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 · 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 · 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 一次函数的性质 · 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 · 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 · 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 求一次函数的表达式 · 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 · 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 反比例函数 · 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 · 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 · 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 反比例函数的图象与性质 · 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 · 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 · 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 · 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 实践与探索 · 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 · 解题步骤（华东师大版重点）： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 · 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 确定函数自变量的取值范围 【例1】函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式为分式时，需满足分式的分母不为0，据此计算求解． 【详解】解：由分式有意义的条件可得． ． 解得． 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得． 【变式2】函数的自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零即可得到答案． 【详解】解：由题意得：． 【变式3】函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 根据题意得，变形可得到，再根据分子分母同号或分子为零，且分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：由得：， 移项得， 通分得，即 ， 或， 或． 故答案为：或． 判断是否为一次/反比例函数 【例1】判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【答案】①是一次函数；②不是（是反比例函数）；③ 不是（是常数函数） 【分析】根据一次函数的定义，一次函数是函数的一种，一般形如． 【详解】解：①，是一次函数； ② ，不是（是反比例函数） ③，不是，（是常数函数） 【变式1】下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； B．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； C．该函数是关于的反比例函数，此时，故此选项符合题意； D．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意． 【变式2】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 【变式3】下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 用待定系数法求一次函数解析式 【例1】已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为 ， 将点和点代入， 可得， 解得：， ∴函数解析式为：． 【变式1】点是关于轴的对称点，且一次函数过和，求此一次函数的表达式，并画出此一次函数的图像． 【答案】 ，图像见解析 【分析】首先根据题意求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解，再根据一次函数的图像为过点和的直线，画出图像即可． 【详解】解：根据题意得：的坐标为， 设一次函数的解析式为，然后将点A和点的坐标代入可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 一次函数的图像如下： ． 【变式2】已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为，令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入，可得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为， 当时，可得， 解得， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为． 【变式3】已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设，将x、y的值代入，解出的值，即可求解； （2）把的值代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解： 与成正比例函数关系， 设， 把，代入得，， 解得， ，即， 则与之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得， 则的值为． 求反比例函数解析式 【例1】若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴将，代入函数解析式，得， ， 解得． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合； （1）把点代入即可求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，再将把和点的坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，分类讨论：①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；分别建立方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入得，解得 一次函数的解析式为． 综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， ， 当点在第四象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 【变式3】如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 根据函数性质比较函数值的大小 【例1】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号连接） 【答案】 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上． ，，． ， ． 【变式1】若点，在一次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ，   ， 随 的增大而减小， ， . 【变式2】已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 【答案】 【分析】一次函数，当时，随的增大而增大，反之，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：， 随的增大而减小， ，是一次函数的图象上的两个点，， ． 【变式3】已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数解析式表示出两点的纵坐标，再根据列出不等式，化简后求解的范围即可，用到分式不等式的化简规则． 【详解】∵在反比例函数上 ∴， 要求，代入得： ∵， ∴不等式变形为： 移项得 ∵分子， ∴分母 解得． 判断函数图象所在象限 【例1】一次函数，若，则它的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意把等式变形，然后代入一次函数解析式，得到，当时，得出，即可得解； 【详解】， ，代入整理得：， ， 当时，即，得出， 一次函数的图象必经过点． 【变式1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式2】反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 【变式3】设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B的位置关系，进而确定点B所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限， 故答案为：四． 利用反比例函数K的几何意义求面积/参数 【例1】如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 【变式1】若点，点均在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据已知点横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】解： 点，都在反比例函数的图象上，且，. 当时，随的增大而减小. . 解得. 故答案为 【变式2】反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴，解得． 【变式3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． (1)求的值以及反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)的值为，反比例函数的表达式为 (2)的面积为 (3)或 【分析】（1）将点、点代入，即可求出、的值，得出结果； （2）过点作轴，过点作轴，延长、交于点，通过即可得出结果； （3）根据函数图象可得出结果． 【详解】（1）解：∵点、点在函数的图象上， ∴，解得， 故的值为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵， ∴，， ∴、点， 过点作轴，过点作轴，延长、交于点,如下图所示： ∵点、点， ∴，，，， 且， ∴． （3）解：观察图象，在的范围内， 若， 即反比例函数的图像应在一次函数图象上方， 故或． 一次函数与方程/不等式的综合应用 【例1】如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 【变式1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 【变式2】如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． (1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； (2)连接OA，OB，求△AOB的面积； (3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 【答案】(1)y=x+，y=； (2)△AOB的面积为； (3)1<x<3 【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解； （3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2， ∴双曲线的表达式为： y=， 把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得： y=，解得：， ∴直线的表达式为：y=x+； （2）解：联立 ， 解得，或， ∵点A 的坐标为（1，2）， ∴点B的坐标为（3，）， ∵ =， ∴△AOB的面积为； （3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积． 【变式3】如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可； （2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可； （3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 一次函数与几何图形的面积综合 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可； （2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立两直线解析式得， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与y轴交于点B， 当时，， ∴点B的坐标为， ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 【变式2】已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．（1）用待定系数法即可求出一次函数即可； （2）求出一次函数的图象与轴交于，与轴交于，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）在中，令得，令得， 如图： 一次函数的图象与轴交于，与轴交于， ， 一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为3． 【变式3】如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)的函数解析式为；的函数解析式为 (3)6 【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴点P的坐标为 （2）解：设的函数解析式为，代入点P， 解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为，代入点P，点A得； ，解得 ∴的函数解析式为； （3）解：过点P作，交于N，    ∵P， ∴， 点Q为与轴的交点， ∴Q， ∴， ． 一次函数与反比例函数的交点问题 【例1】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作 轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作 轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 【变式1】如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 【变式2】如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 【详解】（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 函数的实际应用 【例1】已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 【变式1】我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1)y与x之间的关系式为； (2)该车的剩余电量占“满电量”的． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 【变式2】【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 【变式3】领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】(1)8，20 (2)； (3)2秒或10秒或16秒． 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； （2）解：由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其图象 变量与函数 · 变量与常量： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做_________（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做_________（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 · 函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有_________确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数自变量的取值范围 使函数_________的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： · 分母不为 0（如 ，自变量 ）； · 被开方数非负（如 ，自变量 ）； · 结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 平面直角坐标系 · 定义：在平面内，两条___________________________的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 · 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：__________________上的点不属于任何一个象限。 · 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为_________（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为_________（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 函数的图象 · 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在__________________中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 · 画函数图象的步骤（华东师大版重点操作）： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 · 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足__________________；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 一次函数 · 定义：一般地，形如___________________________的函数，叫做一次函数。 · 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 · 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 一次函数的图象 · 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 · 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 · 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 一次函数的性质 · 当 _________时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 · 当 _________时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 · 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 求一次函数的表达式 · 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 __________________；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 · 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 反比例函数 · 定义：一般地，形如__________________的函数，叫做反比例函数。 · 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 · 自变量取值范围：___________________________ 反比例函数的图象与性质 · 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 · 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴_________（因为 、）。 · 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 _________时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 · 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的_________而_________（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的_________而_________（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 实践与探索 · 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 · 解题步骤（华东师大版重点）： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 · 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 确定函数自变量的取值范围 【例1】函数中自变量的取值范围是_____． 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是_____． 【变式2】函数的自变量的取值范围是________． 【变式3】函数，当时，的取值范围是___________． 判断是否为一次/反比例函数 【例1】判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【变式1】下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 用待定系数法求一次函数解析式 【例1】已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【变式1】点是关于轴的对称点，且一次函数过和，求此一次函数的表达式，并画出此一次函数的图像． 【变式2】已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 【变式3】已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)求当时，的值． 求反比例函数解析式 【例1】若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 【变式2】如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【变式3】如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 根据函数性质比较函数值的大小 【例1】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号连接） 【变式1】若点，在一次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”） 【变式2】已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 【变式3】已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 判断函数图象所在象限 【例1】一次函数，若，则它的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【变式3】设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 利用反比例函数K的几何意义求面积/参数 【例1】如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【变式1】若点，点均在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是________． 【变式2】反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【变式3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． (1)求的值以及反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)直接写出关于的不等式的解集． 一次函数与方程/不等式的综合应用 【例1】如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【变式2】如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． (1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； (2)连接OA，OB，求△AOB的面积； (3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 【变式3】如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 一次函数与几何图形的面积综合 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【变式1】如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【变式2】已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【变式3】如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 一次函数与反比例函数的交点问题 【例1】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【变式1】如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【变式2】如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 函数的实际应用 【例1】已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1】我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【变式2】【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【变式3】领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $