专题03 函数图象与性质、最值结合（选择压轴题）（压轴题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 函数图象与性质、最值结合（选择压轴题） 命题预测 函数图象与性质、最值结合是最常考的压轴题，通常为选择题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，掌握题型规律与答题模板，对提分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开，含参二次函数代数推理是浙江卷最核心的拉分点，侧重逻辑判断而非单纯计算。 2025年浙江中考第10题以“导航系统”为背景，将“距离的平方”抽象为二次函数，结合勾股定理求最值，本质是二次函数顶点坐标的代数推导。熟练三种函数图象、性质、解析式，重点突破区间最值、分类讨论、动态图象三类易错点。 高频考法 1.反比例函数k的几何意义与性质 2.二次函数的图象与性质 3.一次函数的图象与性质 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数k的几何意义与性质 1．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 2．（2026•西湖区校级模拟）已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，若对于x1＝2a，2≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0或2＜a＜3 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3或a＜0 题型02 二次函数的图象与性质 1．（2026•宁波模拟）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO＝37°，tan37°≈0.75】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　） A．着陆坡的水平宽度OB＝18.75米 B．点A的坐标为（0，12） C． D．当CD的最大值为10米时， 2．（2026•莱芜区模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点（1，1），（1，﹣1），，…，都是“大美点”．若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是（2，2），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的最小值为﹣2，最大值为，则m的取值范围为（　　） A．3≤m≤6 B．3＜m＜6 C．0≤m≤3 D．0＜m＜3 题型03 一次函数的图象与性质 1．（2026•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 2．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 1．（2025•杭州校级模拟）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　） A．18 B．50 C．12 D． 2．（2025•绍兴三模）已知点A（3﹣t，y1）和点B（t+2，y2）都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（　　） A．当﹣1＜t＜3时，y1＞y2 B．当3＜t＜5时，y1＜y2 C．当﹣2＜t＜1时，y1＞y2 D．当﹣5＜t＜﹣2时，y1＜y2 3．（2025•丽水一模）已知二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），若该函数过点（m，s）和点（m+4，t），则实数k，s，t的大小关系可能是（　　） A．a＞0时s＜k＜t，a＜0时s＞k＞t B．a＞0时t＜k＜s，a＜0时t＞k＞s C．a＞0时k＜s＜t，a＜0时k＞s＞t D．a＞0时s＜t＜k，a＜0时s＞t＞k 4．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（　　） A． B．7 C． D．9 5．（2025•萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 6．（2025•西湖区校级三模）已知y1和y2是关于x的函数，当x＝a时，函数值分别是R1和R2，若存在实数a，使得R1＝R2+2，则称函数y1和y2是“奇妙函数”．以下函数y1和y2不是“奇妙函数”的是（　　） A．y1＝x2+2和y2＝2x B．y1＝x和y2＝x2+2x﹣1 C．y1和y2＝x+2 D．y1和y2＝x﹣5 7．（2025•西湖区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1．下列四个结论中正确的结论有（　　） ①b＞0； ②若时，则6a+5c＝0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上x1＜x2，且x1+x2＜﹣1，则y1＞y2； ④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 8．（2026•海门区校级模拟）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 9．（2026•锡山区一模）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 10．（2026•邗江区校级一模）如图，直线y＝mx+n交反比例函数y（x＞0）的图象于点A和点B，交x轴于点C，，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD并延长，交y轴于点P，连接PC．若△PCD的面积为4，则k的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 11．（2026•沭阳县校级一模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，（5，2），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣6＜n≤﹣2或2＜n B．﹣6＜n＜﹣2或2＜n C．n≤﹣2或2≤n D．﹣6＜n＜﹣2或n≥2 12．（2025•临平区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点．记m＝y2﹣y1，n＝y3﹣y2，下列命题正确的是（　　） A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1 C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2 13．（2025•上城区校级三模）已知反比例函数图象过点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3），则下列结论正确的是（　　） A．y1y2y3＜0 B．y3＜y2＜y1 C．y2﹣y1＝y3﹣y2 D． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数图象与性质、最值结合（选择压轴题） 命题预测 函数图象与性质、最值结合是最常考的压轴题，通常为选择题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，掌握题型规律与答题模板，对提分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开，含参二次函数代数推理是浙江卷最核心的拉分点，侧重逻辑判断而非单纯计算。 2025年浙江中考第10题以“导航系统”为背景，将“距离的平方”抽象为二次函数，结合勾股定理求最值，本质是二次函数顶点坐标的代数推导。熟练三种函数图象、性质、解析式，重点突破区间最值、分类讨论、动态图象三类易错点。 高频考法 1.反比例函数k的几何意义与性质 2.二次函数的图象与性质 3.一次函数的图象与性质 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数k的几何意义与性质 1．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】设，根据已知条件表示出点E，点F坐标，易得，AB＝2m，由△AEF的面积为2，得△ACF的面积为4，所以，即可求出k的值． 【解答】解：设，则E点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得x＝2m， ∴， ∴B点横坐标为3m， ∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式， 得， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为2， ∴△ACF的面积为4， ∵AB＝3m﹣m＝2m， ∴， 解得k＝6． 故选：D． 2．（2026•西湖区校级模拟）已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，若对于x1＝2a，2≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0或2＜a＜3 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3或a＜0 【答案】A 【分析】根据系数3﹣a的正负分情况讨论，结合对任意2≤x2≤4都有y1＜y2的条件，列不等式求解a的取值范围即可． 【解答】解：设k＝3﹣a，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：k＞0，即3﹣a＞0，得a＜3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而减小． 由条件可知y1小于y2的最小值，y2的最小值为， 又∵，可得， ∵3﹣a＞0， ∴． 当a＜0时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当a＞0时，两边同乘4a，得2＜a， 又∵a＜3， ∴2＜a＜3； 情况2：k＜0，即3﹣a＜0，得a＞3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而增大， 由条件可知y1小于y2的最小值，代入，得， ∵3﹣a＜0， ∴， ∵a＞3＞0，两边同乘2a，得a＜1，与a＞3矛盾， ∴此情况无解． 综上，a的取值范围是a＜0或2＜a＜3． 故选：A． 题型02 二次函数的图象与性质 1．（2026•宁波模拟）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO＝37°，tan37°≈0.75】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　） A．着陆坡的水平宽度OB＝18.75米 B．点A的坐标为（0，12） C． D．当CD的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】根据题意求出sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，解三角函数得到OB＝AB•cos37°以及AO＝AB•sin37°求出OB＝20，OA＝15，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将A（0，15），B（20，0）代入，化简得到400a+20b+15＝0，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为y＝kx+m，求出一次函数解析式，得到，化简得CD＝ax2﹣20ax，对于二次函数y＝ax2﹣20ax，其对称轴为，当x＝10时，CD有最大值，将x＝10代入CD＝ax2﹣20ax，即CDmax＝﹣100a，根据CD的最大值为10米，得到﹣100a＝10，即可得到选项D错误． 【解答】解：由条件可得， ∵sin2α+cos2α＝1， 故（0.75cos37°）2+cos237°＝1， 解得sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， 在Rt△ABO中，AB＝25， ∴， ∴OB＝AB•cos37°， ∴OB≈25×0.8＝20米，故A错误，不符合题意； 在Rt△ABO中，AB＝25， ∴， ∴AO＝AB•sin37°≈25×0.6＝15米，故A（0，15），故B错误，不符合题意； ∵抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，则： ， 化简得400a+20b+15＝0， ∴，故C正确，符合题意； 设C（x，ax2+bx+15）， 设着陆坡所在直线的表达式为y＝kx+m，则： ， 解得，， ∴， ∴， ∵， 则， ∴CD＝ax2﹣20ax， 对于二次函数y＝ax2﹣20ax，其对称轴为， 当x＝10时，CD有最大值，将x＝10代入CD＝ax2﹣20ax， 即， ∵CD的最大值为10米， 即﹣100a＝10， 解得，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2026•莱芜区模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点（1，1），（1，﹣1），，…，都是“大美点”．若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是（2，2），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的最小值为﹣2，最大值为，则m的取值范围为（　　） A．3≤m≤6 B．3＜m＜6 C．0≤m≤3 D．0＜m＜3 【答案】A 【分析】将（2，2）代入y＝ax2+3x+c可得c＝﹣4a﹣4，再由y＝ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“大美点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得a、c，进而可求m的取值范围． 【解答】解：∵一个“大美点”是（2，2）， ∴4a+6+c＝2， ∴c＝﹣4a﹣4， ∵二次函数的图象上只有三个“大美点”， ∴对应的x＝﹣y或x＝y这两个一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当x＝﹣y时，有ax2+4x+c＝0， ∴Δ＝42﹣4a（﹣4a﹣4）＝0， 化简得：a2+a+1＝0， ∴，此方程无解， 当x＝y时，有ax2+2x+c＝0， ∴Δ＝22﹣4a（﹣4a﹣4）＝0， 化简得：4a2+4a+1＝0， ∴（2a+1）2＝0， ∴， ∴， ∴原二次函数为， ∴， ∵， ∴当x＝3时，二次函数有最大值为， ∵当x＝0时，y＝﹣2， ∴（0，﹣2）关于抛物线的对称轴直线x＝3的对称点为（6，﹣2）， ∵当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣2，最大值为， ∴m的取值范围为：3≤m≤6． 故选：A． 题型03 一次函数的图象与性质 1．（2026•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 【答案】C 【分析】由点A（2，2），点P（m，n）在一次函数y＝kx+b图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可． 【解答】解：由条件可知， 解得：， A、当m＞n时，则n﹣m＜0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； B、当m＜n时，则n﹣m＞0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； C、当m+n＝2时，则m＝2﹣n， ∵点P（m，n）在第一象限内， ∴0＜m＜2，0＜n＜2， ∴，故该选项判断正确，符合题意； D、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 故选：C． 2．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 【答案】D 【分析】根据所给定义，对选项依次进行判断即可． 【解答】解：由y1＝x+1得， 点（a，a+1）在此函数的图象上． 将x＝a+1代入y2＝x﹣1得， y2＝a+1﹣1＝a， 所以点（a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故A选项不符合题意． 由y1＝﹣2x+1得， 点（a，﹣2a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣2a+1代入得， ， 所以点（﹣2a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故B选项不符合题意． 由y1＝2x﹣2得， 点（a，2a﹣2）在此函数图象上． 将x＝2a﹣2代入得， ， 所以点（2a﹣2，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故C选项不符合题意． 由y1＝﹣x+1得， 点（a，﹣a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣a+1代入y2＝﹣x﹣1得， y2＝﹣（﹣a+1）﹣1＝a﹣2≠a， 所以点（﹣a+1，a）不在函数y2的图象上， 则函数y1和y2不具有性质P． 故D选项符合题意． 故选：D． 1．（2025•杭州校级模拟）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　） A．18 B．50 C．12 D． 【答案】A 【分析】延长DA，交x轴于E，通过证得三角形相似求得△AOE的面积＝9，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值． 【解答】解：延长DA、交x轴于E， ∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴， ∴∠CAB＝∠AOE， ∴DE⊥x轴，CB⊥x轴， ∴∠AEO＝∠ABC ∴△AOE∽△CAB， ∴（）2， ∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3， ∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3， ∴（）2， ∴S△AOE＝9， ∵双曲线y经过点A， ∴S△AOE|k|＝9， ∵k＞0， ∴k＝18， 故选：A． 2．（2025•绍兴三模）已知点A（3﹣t，y1）和点B（t+2，y2）都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（　　） A．当﹣1＜t＜3时，y1＞y2 B．当3＜t＜5时，y1＜y2 C．当﹣2＜t＜1时，y1＞y2 D．当﹣5＜t＜﹣2时，y1＜y2 【答案】B 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而减小，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小， 当﹣1＜t＜3时，0＜3﹣t＜4，1＜t+2＜5，此时3﹣t与2+t不能判断大小，也就不能判断y1＞y2，故A不正确，不符合题意； 当3＜t＜5时，﹣2＜3﹣t＜0，5＜t+2＜7，此时点A在第三象限，点B在第一象限，y1＜y2，故B正确，符合题意； 当﹣2＜t＜1时，2＜3﹣t＜5，0＜t+2＜3，此时3﹣t与2+t不能判断大小，也就不能判断y1＞y2，故C不正确，不符合题意； 当﹣5＜t＜﹣2时，5＜3﹣t＜8，﹣3＜t+2＜0，此时点A在第一象限，点B在第三象限，y1＞y2，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2025•丽水一模）已知二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），若该函数过点（m，s）和点（m+4，t），则实数k，s，t的大小关系可能是（　　） A．a＞0时s＜k＜t，a＜0时s＞k＞t B．a＞0时t＜k＜s，a＜0时t＞k＞s C．a＞0时k＜s＜t，a＜0时k＞s＞t D．a＞0时s＜t＜k，a＜0时s＞t＞k 【答案】A 【分析】通过变量代换简化函数表达式，代入给定点坐标得到s和t关于k和a的表达式，进而比较大小关系． 【解答】解：二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），点（m，s）和点（m+4，t）， 设u＝x﹣m，则函数化为y＝a（u+1）（u﹣3）+k． ∵点（m，s）对应u＝0， ∴s＝a（0+1）（0﹣3）+k＝﹣3a+k． ∵点（m+4，t）对应u＝4， ∴t＝a（4+1）（4﹣3）+k＝5a+k． ∴s＝k﹣3a，t＝k+5a． 当a＞0时，∵﹣3a＜0，∴s＜k； ∵5a＞0，∴t＞k； 故s＜k＜t． 当a＜0时，∵﹣3a＞0，∴s＞k； ∵5a＜0，∴t＜k； 又t﹣s＝8a＜0，∴t＜s， 故s＞k＞t． 选项A符合上述关系， 故选：A． 4．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（　　） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【分析】根据题意可求出原函数的对称轴为直线，当，即m≤4时，则原函数在x＝3时取到最大值，当，即m≥4时，则原函数在x＝1时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可． 【解答】解：y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4 ＝x2﹣mxm2m2+m2+2m﹣4 ＝（xm）2m2+2m﹣4， ∴原函数对称轴为直线xm， ①若，即m≤4，则原函数在x＝3时取到最大值， ∴y的最大值＝9﹣3m+m2+2m﹣4＝m2﹣m+5＝（m）2， ②若，即m≥4，则原函数在x＝1时取到最大值， ∴y的最大值＝1﹣m+m2+2m﹣4＝m2+m﹣3＝（m）217， 综上，可知当时，． 故选：C． 5．（2025•萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质及其图象上点的坐标比较．关键在于利用二次函数的解析式，代入点坐标后，通过代数运算比较m和n的大小关系． 需要结合开口方向a的正负以及参数t的大小，分析不同条件下m与n的大小关系． 【解答】解：将x ＝ 0代入函数得：m＝a（0+1）（0﹣t）＝﹣at； 将x ＝ 2代入函数得：n＝a（2+1）（2﹣t）＝3a（2﹣t）． 计算m﹣n：m﹣n＝﹣at﹣3a（2﹣t）＝﹣at﹣6a+3at＝ 2at﹣6a＝2a（t﹣3）． 因此，m﹣n＝2a（t﹣3），其符号由a和t共同决定． 当a＜0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＜3：（t﹣3）＜0，则m﹣n＞0，即m＞n（选项A正确） 若t＞3：（t﹣3）＞0，则m﹣n＜0，．即m＜n（选项B正确） 若t＝3：m＝n，此时选项A、B均不成立． 结论：t＜4时，t可能位于3的左侧或右侧，因此选项A和B均不必然成立， 当a＞0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＞4：（t﹣3）＞0，则m﹣n＞0，即m＞n． 结论：选项C（m＞n）成立，选项D（m＜n）不成立． 故选：C． 6．（2025•西湖区校级三模）已知y1和y2是关于x的函数，当x＝a时，函数值分别是R1和R2，若存在实数a，使得R1＝R2+2，则称函数y1和y2是“奇妙函数”．以下函数y1和y2不是“奇妙函数”的是（　　） A．y1＝x2+2和y2＝2x B．y1＝x和y2＝x2+2x﹣1 C．y1和y2＝x+2 D．y1和y2＝x﹣5 【答案】B 【分析】根据题干信息，直接令y1﹣y2＝2，若方程有实数根，则是“奇妙函数”；若方程没有实数根，则不是“奇妙函数”． 【解答】解：A、当y1﹣y2＝2时， 有x2+2﹣2x＝2， 即x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； B、当y1﹣y2＝2时， 有x﹣x2﹣2x+1＝2， 即x2+x+1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴此方程无实数根， ∴函数y1和y2不是“奇妙函数”，故符合题意； C、当y1﹣y2＝2时， 有x﹣2＝2， 即x2+4x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； D、当y1﹣y2＝2时， 有x+5＝2， 即x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； 故选：B． 7．（2025•西湖区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1．下列四个结论中正确的结论有（　　） ①b＞0； ②若时，则6a+5c＝0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上x1＜x2，且x1+x2＜﹣1，则y1＞y2； ④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得ba，由a+b+c＝0，进一步得到5a+6c＝0，即可判断②；由点M（x1，y1），N（x2，y2）到对称轴的距离，即可判断③；证明根的判别式Δ＞0即可判断④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1， ∴a＞0，对称轴为直线x0， ∴0， ∴b＞0， 故①正确； 当时，对称轴为直线x， ∴ba， 当x＝1时，a+b+c＝0， ∴a+c＝0， ∴4a+3c＝0，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，﹣0.5＜h＜0， ∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＜﹣1， ∴点M到对称轴的距离＞点N到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣m）， 方程a（x﹣1）（x﹣m）＝﹣1， 整理得，ax2﹣a（1+m）x+am+1＝0， Δ＝[﹣a（1+m）]2﹣4a（am+1） ＝a2（m﹣1）2﹣4a， ＝a[a（m﹣1）2﹣4]， ∵﹣2＜m＜﹣1，a≥1， ∴a（m﹣1）2＞4， ∴a（m﹣1）2﹣4＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根．故④正确， 故选：C． 8．（2026•海门区校级模拟）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 【答案】B 【分析】求出反比例函数y，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解析式为yx，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BCa，代入面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， ∵OB经过原点O， ∴设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（3，2）， 则2＝3m， ∴m， ∴OB的解析式为yx， ∵反比例函数y经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为yx， ∴B（，）， ∴BCa， ∴S△OBC（a）， ∴2（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 解法2：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， 同上得：B（，）， ∴BCa， ∵平行四边形OABC的面积是， ∴（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 9．（2026•锡山区一模）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】首先由抛物线开口向上得到a＞0，然后由对称轴得到b＞0，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到c＜0，即可判断①；②由对称轴为直线x＝﹣2，根据A（2，0）在抛物线上，得出c＝﹣12a，根据﹣3＜c＜﹣2，即可得出，根据△ACD是直角三角形时，∠ADC＝90°，DE＝AE＝4，结合②的结论得出，进而可得△ACD是钝角三角形，即可判断③，根据，分别将和，解方程得出方程的解，进而判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①不正确； ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴b＝4a， ∵A（2，0）在抛物线上， ∴4a+2b+c＝0， ∴4a+8a+c＝0， ∴c＝﹣12a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣12a＜﹣2， ∴，故②正确； 如图，设直线x＝﹣2与x轴交于点E， 依题意，AE＝EC， 当△ACD是直角三角形时，∠ADC＝90°， ∴DE＝AE＝4， ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴点D的纵坐标为：4a﹣2b+c＝4a﹣2×4a+c＝c﹣4a＝﹣12a﹣4a＝﹣16a， ∵， ∴﹣4＜﹣16a， 即， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵， ∴时，，c＝﹣12a＝﹣2， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0为， 解得：， 当时，b＝4a＝1，c＝﹣12a＝﹣3， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0为， 解得：x＝﹣2或6， ∴若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则，，故④正确； 综上所述：②③④正确， 故选：D． 10．（2026•邗江区校级一模）如图，直线y＝mx+n交反比例函数y（x＞0）的图象于点A和点B，交x轴于点C，，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD并延长，交y轴于点P，连接PC．若△PCD的面积为4，则k的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】证明△CNB∽△CDA，得到，即，求出点，A（a，b）则点D（a，0），由S△PCDCD•OP即可求解． 【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N， 设点B（a，b），k＝ab， 则BN∥AD，则△CNB∽△CDA， 则，即， ∴ADb， 则k＝abb•xA，则xAa， 则点A（a，b），则点D（a，0）， 由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：yxb， 则点P（0，b）； 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yb， 则点C（，0）则CD＝a， ∵S△PCDCD•OPa•b＝4， 则ab＝12＝k， 故选：B． 11．（2026•沭阳县校级一模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，（5，2），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣6＜n≤﹣2或2＜n B．﹣6＜n＜﹣2或2＜n C．n≤﹣2或2≤n D．﹣6＜n＜﹣2或n≥2 【答案】A 【分析】先求出二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数为y，当﹣2≤n≤2时，由图象可知二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象与线段MN有三个交点，不合题意；当n＞2时，满足当x时，y＝2x2﹣8x﹣n的值大于等于2；当x＝5时，y＝﹣2x2+8x+n的值小于等于2，线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点；当n＜﹣2时，满足y＝﹣2x2+8x+n的顶点坐标在y＝2上方时，二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点．分别根据以上两种情况列出不等式求解即可． 【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数为y， ∵点M，N的坐标分别为，（5，2）， ∴当﹣2≤n≤2时，由图象可知二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象与线段MN有三个交点， 当n＞2时， 满足当x时，y＝2x2﹣8x﹣n的值大于等于2；当x＝5时，y＝﹣2x2+8x+n的值小于等于2， 线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点， 如图1所示， 即，解得，故， 故； 当n≤﹣2时， 满足y＝﹣2x2+8x+n的顶点坐标在y＝2上方时，如图2所示， 线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点， 即8+n＞2，即n＞﹣6， 故﹣6＜n≤﹣2， 综上，n的取值范围为﹣6＜n≤﹣2或． 故选：A． 12．（2025•临平区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点．记m＝y2﹣y1，n＝y3﹣y2，下列命题正确的是（　　） A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1 C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2 【答案】C 【分析】由二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点，可得m＝y2﹣y1＝（x1+t）2+b（x1+t）+c﹣（bx1+c）＝t2+（2x1+b）t，n＝y3﹣y2＝（x1+2t）2+b（x1+2t）+c﹣[（x1+t）2+b（x1+t）+c]＝3t2+（2x1+b）t，即得n﹣m＝3t2+（2x1+b）t﹣[t2+（2x1+b）t]＝2t2，再逐项判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点， ∴y1bx1+c，y2＝（x1+t）2+b（x1+t）+c，y3＝（x1+2t）2+b（x1+2t）+c， ∴m＝y2﹣y1＝（x1+t）2+b（x1+t）+c﹣（bx1+c）＝t2+（2x1+b）t， n＝y3﹣y2＝（x1+2t）2+b（x1+2t）+c﹣[（x1+t）2+b（x1+t）+c]＝3t2+（2x1+b）t， ∴n﹣m＝3t2+（2x1+b）t﹣[t2+（2x1+b）t]＝2t2， 若n﹣m＞2，则2t2＞2， ∴t＞1或t＜﹣1， 故A错误，不符合题意； 若n﹣m＜2，则2t2＜2， ∴﹣1＜t＜1， 故B错误，不符合题意； 若t＞1，则2t2＞2， ∴n﹣m＞2，故C正确，符合题意； 若﹣1＜t＜1，则2t2＜2，即n﹣m＜2， 故D错误，不符合题意； 故选：C． 13．（2025•上城区校级三模）已知反比例函数图象过点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3），则下列结论正确的是（　　） A．y1y2y3＜0 B．y3＜y2＜y1 C．y2﹣y1＝y3﹣y2 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：分别将点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3）代入反比例函数得： y1，y2，y3， A、∵k＞0， ∴当a＞0时，y10，y20，y30， ∴y1y2y3＞0，故错误； B、∵k＞0， ∴当a＜0时，，即y1＜y2＜y3，故错误； C、∵y2﹣y1，y3﹣y2 ∴y2﹣y1≠y3﹣y2，故错误； D、∵y1y3•，（）2， ∴y1y3．故正确． 故选：D． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $