第二十讲 导数综合问题（三角、数列、概率、对称奇偶性）专项训练——2026届高三数学二轮复习

第20讲 导数综合 三角函数、数列、概率、函数对称奇偶性 导数与对称性、奇偶性 1．【多选】（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 3．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 4. （2026山东威海一模）已知函数的图象关于点中心对称． （1）求的值； （2）设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； 5. （2026安徽淮北一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 6. （2026广东湛江一模-多选）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 导数与概率 7. （2026广东湛江一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 8．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 导数与三角 9. （2025湖北武汉五调）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 10．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 12．（23-24高三上·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 13．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 14. （2026安徽淮南一模）已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合． 15. （2026山东济南一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. （1）若，比较与的大小； （2）从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） （3）若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 导数与数列 16. （2026湖北荆州一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 17. （2026广东湛江一模）已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值；（2）证明：；（3）证明：． 18.（2026安徽合肥一模） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 19. （2025湖北武汉五调）已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 20．（23-24高三上·安徽·月考）设函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）. 21．（2025·广西南宁·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足，函数． (1)求函数的单调区间； (2)探究数列的单调性并说明理由； (3)证明；． 22．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知一系列函数. (1)讨论在上的单调性； (2)证明：； (3)记为的最小值，，证明：. 23. （2026湖北荆州一模）设函数. （1）若对，成立，求实数a的取值范围； （2）（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 24．（2025·广西·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 25. （2026湖南岳阳一模）已知实数，函数． （1）当时，试比较和的大小，并说明理由： （2）若时，，求的取值范围； （3）设数列的前项和为，若，且，求证：． 26. （2026福建泉州一模）已知函数． （1）讨论的极值； （2）证明：当时，； （3）证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 导数综合 综合三角函数、数列、概率、函数对称奇偶性 导数与对称性、奇偶性 1．【多选】（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【详解】（1）时，，其中，则， 因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.， （2）的定义域为，设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而，， 所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即， 先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设，则， 当，，故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立.当时，， 故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时.而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，. 3．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【详解】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或,从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 4. （2026山东威海一模）已知函数的图象关于点中心对称． （1）求的值； （2）设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； 【小问1详解】因为函数的图象关于点中心对称， 所以， 可得，即， 整理得，所以，解得． 【小问2详解】设切线与曲线的切点为，因为， 所以切线的方程为， 令，可得， 令，可得， 因为， 所以与直线围成的三角形的面积与切点无关． 5. （2026安徽淮北一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，两边求导得，则， 由为偶函数，得，则， 由，， 得，则， 所以，则的周期为12， 由，令，得，即， 由，令，得， 由，令，得，即， 则， 所以，故D正确； 对于ABC，设，则， 而，则， 所以函数和均为偶函数，满足题意， 而，则的图象不关于直线对称，故A错误， 而，则的图象不关于直线对称，故B错误， 而的最小正周期为，故C错误.故选：D 6. （2026广东湛江一模-多选）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【详解】为奇函数，为偶函数，，， 令，则，解得，是偶函数，，选项A正确； ，且，，故的周期， ，但的值不确定，故选项B不一定正确； 是偶函数，，，即， 为奇函数，故，故选项C正确； 令，则， ，为奇函数，满足题设条件； ，，故D不一定正确；故选：AC． 导数与概率 7. （2026广东湛江一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【小问1详解】记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．由题意得， 因为，所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． 【小问2详解】解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数，． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得，则有， 从而可得．令，设函数， ．当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 8．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【详解】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 导数与三角 9. （2025湖北武汉五调）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，故选：C. 10．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得，所以； 构建，则， 构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得， 所以；综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令因为， 且，所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且，所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 12．（23-24高三上·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【详解】（1）当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增．又因为，所以在上的零点个数为． 13．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【详解】（1）由，得.要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 14. （2026安徽淮南一模）已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合． 【小问1详解】函数 ， 因为的最大值为1，所以，解得，所以． 令，解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； 【小问2详解】因为，即，可得：． 所以．解得： 综上：成立的的取值集合是． 15. （2026山东济南一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. （1）若，比较与的大小； （2）从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） （3）若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 【小问1详解】令，得，因为为的变号零点，所以. 当时，，且. ， .故. 【小问2详解】选择①，令， 则，当时，即时，，， 故，由（1）知，. 故单调递减，从而有， 即， 即，从而数列为递减数列. 选择②，令，则， 当时，即时，， ， 故，由（1）知，， 故单调递增，从而有， 即，即，从而数列为递增数列. 【小问3详解】由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为.对任意，都有成立， 当且仅当. 因为为正整数，所以当时，令，则， 注意到，且，从而有， 故单调递增.故，即，故. 从而的最小值为1. 导数与数列 16. （2026湖北荆州一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 【详解】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即，所以的最小值为， 17. （2026广东湛江一模）已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值；（2）证明：；（3）证明：． 【小问1详解】由，函数的定义域为R，，所以，. 在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值. 故的最大值为． 【小问2详解】设，则. 又因为，所以在上单调递减．且，所以. 设，则，设，则， 在上单调递增，故，在上单调递增，故， ，即，所以，即. 所以，且上单调递减，所以. 综上所述，故． 【小问3详解】由（2）知，所以，故．在处的切线方程为，即． 令， 则， 由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得在上单调递增， ，即，． 由，得， 解得，故不等式成立． 18.（2026安徽合肥一模） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 【小问1详解】当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． 【小问3详解】由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，，即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 19. （2025湖北武汉五调）已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 【小问1详解】令，可得，设， 因为，所以当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增； 即，又因为，，， 所以当时，无零点；当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； 【小问2详解】（i）由（1）知，当时，仅有一个零点； 由的唯一零点为，则，两边取自然对数得：， 即，两式相减得：， 可得， 设，则，因为，所以， 即是在上单调递增，所以有，即数列是递增数列； （ii）先证明：时，，构造，求导得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即，所以，即， 又因为，结合上面不等式有， 所以，又因为， 所以有， 即 再由可得：，当且仅当时取等号； 再由，得， 结合上式可得：，整理得：， 当且仅当时取等号， 当时，， 再由，得：， 所以有， 则， 当且仅当时等号成立. 20．（23-24高三上·安徽·月考）设函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）. 【详解】（1）函数的定义域是，先证明，设， 则，在上，单调递增， 在上，单调递减，，所以. 可得，得到，等号当且仅当时成立， 所以，注意，所以恒成立. 因此在区间，上都是单调递增. （2）由题设，，，， 只需证明，因为在上单调递增，显然成立. 下面证明，等价于证明， 也即证明，由（1）过程可知，当且仅当时等号成立， ，所以，故原不等式得证. 【点睛】利用导数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 21．（2025·广西南宁·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足，函数． (1)求函数的单调区间； (2)探究数列的单调性并说明理由； (3)证明；． 【详解】（1）因为，所以， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增． （2）数列为递减数列，理由如下： 由题意可得，则， 令函数，则， 得到在上单调递减，则， 令，则， 故，即数列为递减数列； （3）由题意得， 令函数， 令函数，则， 当时，，当时，， 得到在上单调递减，在上单调递增， 故，则，即， 则，故在定义域上单调递增，且， 令，则，得到， 且，故，又因为，所以， 得到，故， 当时，得到．即， 当时，．故． 综上，原命题得证. 22．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知一系列函数. (1)讨论在上的单调性； (2)证明：； (3)记为的最小值，，证明：. 【详解】（1）由 ， 当时，，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，满足； 当时，令，则， 所以， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 所以. 综上所述，. （3）由（2）知，，则，则，即， 当为偶数时，设，，由于， 而， 则，当且仅当时等号成立， 所以； 当为奇数时，设，， 由于， 而， 则，当且仅当时等号成立， 所以 ，当且仅当时等号成立.综上所述，. 23. （2026湖北荆州一模）设函数. （1）若对，成立，求实数a的取值范围； （2）（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 【小问1详解】因为，则， 若对，成立，注意到，则，解得， 若，则， 可知在内单调递减，则，即符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 【小问2详解】（ⅰ）设，，则， 令，，则， 可知在区间上单调递减，则，即，可知在区间上单调递减， 则，所以当时，； （ⅱ）由（1）可知：当时，，等价于， 当，时，可得， 又因为当时，，可得， 则， 即， 则， 所以当，时，. 24．（2025·广西·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 25. （2026湖南岳阳一模）已知实数，函数． （1）当时，试比较和的大小，并说明理由： （2）若时，，求的取值范围； （3）设数列的前项和为，若，且，求证：． 【小问1详解】当时，，则， 所以， 所以，所以． 【小问2详解】由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． 【小问3详解】因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 26. （2026福建泉州一模）已知函数． （1）讨论的极值； （2）证明：当时，； （3）证明：． 【小问1详解】，当时，在上单调递增，函数无极值；当时，令得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增.所以当时，取得极小值，无极大值. 【小问2详解】令，由（1）知，取时，， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以时，； 又因为，所以时，， 综上当时，，即，当且仅当时等号成立. 【小问3详解】令，则, 则由（2）中结论可得即， 因此，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $