专题04 因式分解（期中复习知识清单，12题型）八年级数学下学期新教材苏科版

专题04 因式分解 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解的方法 ①提取公因式法：ma＋mb=m(a＋b) ②公式法：a2－b2=(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2=(a±b)2 十字相乘法 x2＋(a＋b)x＋ab (x＋a)(x＋b)． 判断是否为因式分解 【例1】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【变式1】下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 【变式2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念：因式分解要求等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 【变式3】下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（将多项式化为几个整式乘积的形式），结合因式分解的常用方法逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解， ∴A错误； B、∵，与不相等， ∴B错误； C、∵等式右侧不是整式，不符合因式分解要求， ∴C错误； D、∵， ∴， ∴D正确． 已知因式分解的结果求参数 【例1】若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 【变式1】若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【变式2】如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 【变式3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 利用提公因式法进行因式分解 【例1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】已知实数m满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值． 【详解】， ． 【变式3】已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 判断是否能用公式法进行因式分解 【例1】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 【变式1】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【变式2】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 【变式3】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 利用平方差公式进行因式分解 【例1】对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 【变式1】因式分解：________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 【变式2】已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 【详解】解：， ∴ . 【变式3】若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 利用完全平方公式进行因式分解 【例1】将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式3】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∴， ∴为等腰三角形． 综合应用提公因式法和公式法进行因式分解 【例1】分解因式：_____． 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 【变式1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）先利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开并化简，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （2）先变形，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 【答案】 【分析】先对待求式提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，最后代入已知数值计算结果． 【详解】解：． 将，代入， 原式． 因式分解法在简便运算中的应用 【例1】计算的结果是______． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式1】若，则_________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，化简后对比等式两边，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【变式2】简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 因式分解的应用 【例1】已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 【变式1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 【变式2】若，则代数式的值（   ） A．只与的取值有关 B．只与的取值有关 C．只与的取值有关 D．与的取值都有关 【答案】A 【分析】先对所求代数式展开化简，再结合已知条件替换整理，即可判断结果与哪个变量有关． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ∴原式的值只与的取值有关． 【变式3】阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 配方法的应用 【例1】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【答案】 3 3 【分析】本题利用配方法将二次多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据平方的非负性求解代数式的最小值及对应的值． 【详解】解：对代数式进行配方，得． ， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 【变式1】已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 【变式2】求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 【变式3】问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 【答案】(1)平方差公式 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据平方差公式解答即可； （2）仿照题干所给例子，计算即可得出结果； （3）①利用完全平方公式计算即可得出结果；②利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； （2）解： ； （3）解：①      ； ②      ． 十字相乘法的应用 【例1】因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 【变式1】分解因式______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 【变式2】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方差公式法进行因式分解即可； （2）十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式还原原式，确定的值，然后再因式分解． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 分组分解法的应用 【例1】分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 【变式2】请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式3】若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)28 【分析】（1）设，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （2）设，，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （3）根据阴影部分的面积，设，，得，，把化为，代入有关的值计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 试卷第26页，共27页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的 的形式 因式分解的方法 ①提取公因式法：ma＋mb= ②公式法：a2－b2= a2±2ab＋b2= 十字相乘法 x2＋(a＋b)x＋ab ． 判断是否为因式分解 【例1】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 已知因式分解的结果求参数 【例1】若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【变式2】如果因式分解的结果为，那么_________． 【变式3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 利用提公因式法进行因式分解 【例1】因式分解： (1)； (2)． 【变式1】因式分解：_________． 【变式2】已知实数m满足，则的值是_____． 【变式3】已知，，则的值为______． 判断是否能用公式法进行因式分解 【例1】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 利用平方差公式进行因式分解 【例1】对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【变式1】因式分解：________． 【变式2】已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式3】若，，则__________． 利用完全平方公式进行因式分解 【例1】将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【变式3】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 综合应用提公因式法和公式法进行因式分解 【例1】分解因式：_____． 【变式1】因式分解： (1)； (2)． 【变式2】因式分解： (1)； (2)； 【变式3】先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 因式分解法在简便运算中的应用 【例1】计算的结果是______． 【变式1】若，则_________． 【变式2】简便运算： (1) (2) 【变式3】综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 因式分解的应用 【例1】已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【变式2】若，则代数式的值（   ） A．只与的取值有关 B．只与的取值有关 C．只与的取值有关 D．与的取值都有关 【变式3】阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 配方法的应用 【例1】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【变式1】已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【变式3】问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 十字相乘法的应用 【例1】因式分解：______． 【变式1】分解因式______． 【变式2】因式分解： (1) (2) 【变式3】因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 分组分解法的应用 【例1】分解因式：______． 【变式1】要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【变式2】请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【变式3】若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 试卷第26页，共27页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $