专题04 复数（期中复习讲义，8考点6题型+分层验收）高一数学下学期湘教

专题04 复数 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数的概念与分类 题型02 复数的几何意义 题型03 复数的四则运算 题型04 复数的模与共轭复数 题型05 复数方程与综合应用 题型06 复数与实数、虚数的综合判断 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念与分类（实部、虚部、纯虚数） 掌握复数的定义、实部虚部辨析，能准确分类 基础必考点，选择题、填空题前两题，侧重概念辨析 复数的几何意义（复平面、对应关系） 理解复平面概念，掌握复数与点、向量的对应关系 高频基础考点，小题为主，偶尔结合向量考查 复数的四则运算（加、减、乘、除） 熟练掌握四则运算法则，能准确计算，化简复数 必考考点，选择、填空、解答题均会涉及，侧重计算能力 复数的模与共轭复数 掌握模与共轭复数的定义、性质，能灵活运用 中档考点，常与运算结合考查，易因性质混淆出错 复数方程与综合应用 能解简单复数方程，结合实数条件求参数 解答题常考，侧重综合分析能力，属于中档拉分题 复数与实数、虚数的综合判断 能根据条件判断复数的类型，求参数取值范围 易错考点，小题为主，易忽略虚部不为0等条件 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 知识点04 复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 知识点05 复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 知识点06 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点07 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点08 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义：实部是 ，虚部是 ，区分“虚部”与“”； 2. 分类判断：实数需 ，纯虚数需 且 ，缺一不可； 3. 求参数：根据复数类型列方程（或不等式），求解参数取值范围。 【典例1】已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D. 【典例2】(24-25高一下·广西桂平浔州高级中学·期中)已知，复数为纯虚数，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】因为为纯虚数，易得：，所以，则． 故选：C 【变式1】(24-25高一下·湖南娄底·期中)若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，则的虚部为.故选：A. 【变式2】(20-21高三上·湖南长沙长郡中学·)已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则 故复数的虚部为.故选：A. 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 1. 三大对应：复数→点→向量，熟练转化，数形结合； 2. 求复数对应点的坐标：直接提取实部（x轴）、虚部（y轴）； 3. 求向量：复数对应向量的坐标与点的坐标一致，模等于复数的模。 【典例1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 【典例2】(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【详解】由复数，则，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：A. 【变式1】在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知对应的点为，对应的点为，．故选：C. 【变式3】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【详解】复数与分别表示向量与，，所以表示向量的复数为.故答案为：. 【变式4】((24-25高一下·湖南部分学校·期中)在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【答案】 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为.故答案为：. 【变式5】(24-25高三上·黑龙江哈尔滨第三中学·期中)已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______. 【答案】/ 【详解】设复数，则，即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆，，其表示点到点的距离，其最大值为到圆心的距离加上半径，即，故答案为：. 题型三 复数的四则运算 解｜题｜技｜巧 1. 加减运算：实部、虚部分别加减，注意符号； 2. 乘法运算：类比多项式乘法，牢记 ，合并同类项； 3. 除法运算：分母实数化是核心，乘以分母的共轭复数，再化简； 4. 简化运算：灵活运用 的幂次循环和常见化简式（如 ）。 【典例1】(24-25高一下·湖南·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即，故选：B． 【典例2】(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则__________. 【答案】 【详解】由复数，则，所以.故答案为：. 【变式1】(24-25高三下·北京西城区·)设为虚数单位，则________． 【答案】 【详解】.故答案为：. 【变式2】在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：.故选：D. 【变式3】(24-25高三上·北京海淀区·期末)若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，.故选：A 题型四 复数的模与共轭复数 解｜题｜技｜巧 1. 求模：直接代入公式 ，或利用模的性质简化计算； 2. 求共轭复数：实部不变，虚部变号，注意纯虚数的共轭复数是其本身的相反数； 3. 综合运用：利用 化简求值，避免复杂运算。 【典例1】(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 【典例2】设复数，则z的共轭复数为（   ）． A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，则复数的共轭复数.故选：B. 【变式1】已知（i为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】依题意，，所以.故选：A 【变式2】(24-25高一下·湖南长沙湘军高级中学·期中)已知复数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以其共轭复数故选：C. 【变式3】已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设，则，A选项，，所以A选项正确.B选项，，所以B选项正确.C选项，，，所以C选项正确.D选项，设，则，则，所以D选项错误.故选：ABC 题型五 复数方程与综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 复数方程求解：设 （），代入方程，利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）列方程组，求解 ； 2. 结合实数条件：若复数满足“实数”“纯虚数”等条件，先列不等式确定参数范围，再求解方程； 3. 综合求值：结合四则运算、模、共轭复数的性质，整体代入化简，避免分步计算出错。 【典例1】(23-24高一下·重庆第一中学校·月考)已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 【答案】 【详解】因为方程，有两个虚数根，所以，则，又由，得，即，所以，即，所以的两个虚数根分别为，它们在复平面上对应的点分别为， 所以它们之间的距离为，解得，满足，所以.故答案为：. 【典例2】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以； （2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或， 当时，，当时，， 所以方程的两个根为和， 所以，； （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为， ，且， 所以，解得或， 所以，或，， 所以，. 【变式1】已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由，得，所以，.故选：C 【变式2】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B 【变式3】(24-25高一下·安徽皖南八校·期中)已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【详解】（1）设，则， 所以，解得，故. （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得，. 题型六 复数与实数、虚数的综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 明确判断条件：实数（）、虚数（）、纯虚数（ 且 ）； 2. 求参数范围：根据复数类型，列不等式（组），注意参数的附加条件（如分母不为0、根号下非负）； 3. 综合判断：结合复数运算，先化简复数，再判断类型，避免直接判断出错。 【典例1】(24-25高一下·新疆喀什巴楚县第一中学·月考)已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【详解】∵复数是纯虚数，∴且，∴.故答案为：. 【典例2】(24-25高一下·河北沧州四县学校联考·期中)已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【详解】（1）解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． （2）解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 【变式1】(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【详解】（1）由题意得得或5 （2）由题意得得且 （3）由题意得得故，所以,所以． 【变式2】已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【详解】（1）由已知可得， 因为为纯虚数，所以； （2）由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则.故选：. 2.已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由，得．所以的虚部为，故选：D． 3．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知复数，以下说法不正确的是（ ） A．的实部是5 B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D． 【答案】B 【详解】由复数的定义和性质可知，的实部是5，故A正确；在复平面内对应的点为，为第四象限的点，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：B 4．(23-24高一下·安徽金榜教育·)已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．复数z对应复平面内的向量是单位向量 B．复数z的虚部等于i C． D．z与平面向量对应 【答案】ACD 【详解】由题意，复数，对于A项，复数对应复平面内的向量是，是单位向量，故A正确；对于B项，复数，所以复数z的虚部等于1，故B错误： 对于C项，，故C正确；对于D项，z与平面向量对应，故D正确.故选：ACD. 5．(24-25高二上·云南西双版纳傣族第一中学等四校·期末)已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.故选：ABC 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高三上·江西上进联考·)已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【详解】A选项，，故，A正确；B选项，的虚部为-2，B错误；C选项，，故，C正确；D选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，D错误.故选：AC 2．(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，，显然，A不正确；对于B，设，，则，，，所以，B正确；对于C，设，，，， ，所以，C正确；对于D，， ，D正确；故选：BCD 3．(23-24高一下·广东茂名高新中学·期中)已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，所以，所以的实部是，虚部为，，，故A、B、C正确；，故D错误. 故选：ABC 4．(22-23高一下·江苏连云港·期中)下列结论中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为3 D．若（，），则 【答案】BC 【详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；对于B：令，所以，所以，且，所以，故B选项符合题意；对于C：令，若复数满足，则有（其中）， 所以，所以，所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意；对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意.故选：BC． 5．已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【详解】（1）由已知可得， 因为为纯虚数，所以； （2）由（1）可得，即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(24-25高三下·河北沧州运东七县·模拟)已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若复数满足，则的最大值为6 B． C．若复数，，满足，则 D．若，则的充要条件是， 【答案】ABD 【详解】对于选项A，令，因为，则，所以复数对应点在以原点为圆心，为半径的圆上，又，其几可意义表示点到距离，又到原点的距离为，所以的最大值为，故选项A正确，对于选项B，因为，所以选项B正确，对于选项C，取，显然有，但不一定相等，所以选项C错误，对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：ABD. 2．(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【详解】因为，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；若，，则满足，而，D错误.故选：ABC. 3．(24-25高三上·重庆第八中学校·月考)已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误；若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得，即，故B正确；若，则，得，故C正确；若，则，得，故D错误.故选：BC. 4．(24-25高一下·湖南·期中)已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【详解】（1）设复数， 由是实数知，即，所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数，即且， 所以，所以． （2）由（1）知，则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 5．(22-23高一下·上海闵行中学·期末)已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. (1)求的取值范围； (2)当三点共线时，求三角形的面积. 【详解】（1）解：因为， 所以，当且仅当时取得等号， 所以； （2）因为，且三点共线时，有， 即，解得 此时，， 所以， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数的概念与分类 题型02 复数的几何意义 题型03 复数的四则运算 题型04 复数的模与共轭复数 题型05 复数方程与综合应用 题型06 复数与实数、虚数的综合判断 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念与分类（实部、虚部、纯虚数） 掌握复数的定义、实部虚部辨析，能准确分类 基础必考点，选择题、填空题前两题，侧重概念辨析 复数的几何意义（复平面、对应关系） 理解复平面概念，掌握复数与点、向量的对应关系 高频基础考点，小题为主，偶尔结合向量考查 复数的四则运算（加、减、乘、除） 熟练掌握四则运算法则，能准确计算，化简复数 必考考点，选择、填空、解答题均会涉及，侧重计算能力 复数的模与共轭复数 掌握模与共轭复数的定义、性质，能灵活运用 中档考点，常与运算结合考查，易因性质混淆出错 复数方程与综合应用 能解简单复数方程，结合实数条件求参数 解答题常考，侧重综合分析能力，属于中档拉分题 复数与实数、虚数的综合判断 能根据条件判断复数的类型，求参数取值范围 易错考点，小题为主，易忽略虚部不为0等条件 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 知识点04 复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 知识点05 复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 知识点06 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点07 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点08 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义：实部是 ，虚部是 ，区分“虚部”与“”； 2. 分类判断：实数需 ，纯虚数需 且 ，缺一不可； 3. 求参数：根据复数类型列方程（或不等式），求解参数取值范围。 【典例1】已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25高一下·广西桂平浔州高级中学·期中)已知，复数为纯虚数，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式1】(24-25高一下·湖南娄底·期中)若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】(20-21高三上·湖南长沙长郡中学·)已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 1. 三大对应：复数→点→向量，熟练转化，数形结合； 2. 求复数对应点的坐标：直接提取实部（x轴）、虚部（y轴）； 3. 求向量：复数对应向量的坐标与点的坐标一致，模等于复数的模。 【典例1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式1】在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【变式4】((24-25高一下·湖南部分学校·期中)在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【变式5】(24-25高三上·黑龙江哈尔滨第三中学·期中)已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______. 题型三 复数的四则运算 解｜题｜技｜巧 1. 加减运算：实部、虚部分别加减，注意符号； 2. 乘法运算：类比多项式乘法，牢记 ，合并同类项； 3. 除法运算：分母实数化是核心，乘以分母的共轭复数，再化简； 4. 简化运算：灵活运用 的幂次循环和常见化简式（如 ）。 【典例1】(24-25高一下·湖南·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则__________. 【变式1】(24-25高三下·北京西城区·)设为虚数单位，则________． 【变式2】在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高三上·北京海淀区·期末)若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型四 复数的模与共轭复数 解｜题｜技｜巧 1. 求模：直接代入公式 ，或利用模的性质简化计算； 2. 求共轭复数：实部不变，虚部变号，注意纯虚数的共轭复数是其本身的相反数； 3. 综合运用：利用 化简求值，避免复杂运算。 【典例1】(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【典例2】设复数，则z的共轭复数为（   ）． A． B． C．1 D． 【变式1】已知（i为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2】(24-25高一下·湖南长沙湘军高级中学·期中)已知复数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 题型五 复数方程与综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 复数方程求解：设 （），代入方程，利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）列方程组，求解 ； 2. 结合实数条件：若复数满足“实数”“纯虚数”等条件，先列不等式确定参数范围，再求解方程； 3. 综合求值：结合四则运算、模、共轭复数的性质，整体代入化简，避免分步计算出错。 【典例1】(23-24高一下·重庆第一中学校·月考)已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 【典例2】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【变式1】已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·安徽皖南八校·期中)已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 题型六 复数与实数、虚数的综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 明确判断条件：实数（）、虚数（）、纯虚数（ 且 ）； 2. 求参数范围：根据复数类型，列不等式（组），注意参数的附加条件（如分母不为0、根号下非负）； 3. 综合判断：结合复数运算，先化简复数，再判断类型，避免直接判断出错。 【典例1】(24-25高一下·新疆喀什巴楚县第一中学·月考)已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数__________. 【典例2】(24-25高一下·河北沧州四县学校联考·期中)已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【变式1】(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【变式2】已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 2.已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 3．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知复数，以下说法不正确的是（ ） A．的实部是5 B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D． 4．(23-24高一下·安徽金榜教育·)已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．复数z对应复平面内的向量是单位向量 B．复数z的虚部等于i C． D．z与平面向量对应 5．(24-25高二上·云南西双版纳傣族第一中学等四校·期末)已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高三上·江西上进联考·)已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 2．(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·广东茂名高新中学·期中)已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B． C． D． 4．(22-23高一下·江苏连云港·期中)下列结论中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为3 D．若（，），则 5．已知复数，，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(24-25高三下·河北沧州运东七县·模拟)已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若复数满足，则的最大值为6 B． C．若复数，，满足，则 D．若，则的充要条件是， 2．(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 3．(24-25高三上·重庆第八中学校·月考)已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25高一下·湖南·期中)已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 5．(22-23高一下·上海闵行中学·期末)已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. (1)求的取值范围； (2)当三点共线时，求三角形的面积. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $