专题03 三角恒等变换（期中复习讲义，10考点4大题型+分层验收）高一数学下学期湘教必修第二册

专题03 三角恒等变换 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二倍角公式 题型02 两角和与差公式 题型03 辅助角公式的应用（化一变形） 题型04 三角恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和与差的正弦.余弦.正切 熟练正用.逆用.变用公式求值.化简 必考基础，选择.填空.解答第1问均出现 二倍角公式（正弦.余弦.正切） 会用倍角公式进行升幂.降幂.求值 高频考点，常与和差公式.同角关系结合 辅助角公式 能将 化为单一函数，求周期.最值.单调性 解答题核心，与图像性质综合必考 半角公式与恒等变形 会用半角.降幂公式进行化简.证明 中档小题.证明题常考 三角恒等式证明 掌握“从繁到简.左右归一.作差为0” 解答题常考，侧重逻辑与公式选择 综合应用（与解三角形.函数结合） 能在三角形中用恒等变换求角.边长.面积 压轴小问，拉分题集中区 知识点01 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识点02 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数 知识点03 两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形：； （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用.变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识点04 理解并运用和角公式.差角公式需注意的几个问题 1.两角和与差的正弦.余弦.正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和.差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活.简便，不需要再用两角和.差公式展开． 2.重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视． 常见的角的变换有：；；；等， 常见的三角变换有：切化弦.等． 知识点05 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.和角公式.倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识点06 二倍角公式的逆用及变形 1.公式的逆用 ；． ． ． 2.公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 知识点07 两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1.对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解.配方.凑项.添项.换元等； 2.掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补.和倍关系等等）； 3.将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 知识点08 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升.降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 知识点09 辅助角公式 1.形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2.辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简.求值等． 知识点10 半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ，， 以上三个公式分别称作半角正弦.余弦.正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 题型一 二倍角公式的应用 解｜题｜技｜巧 1. 正用：已知单角的三角函数值，求二倍角的值，注意角的范围对符号的影响； 2. 逆用：将式子凑配成二倍角公式的形式（如 ），简化计算； 3. 升幂、降幂：当式子中出现平方项时，优先用降幂公式化为一次项，便于后续化简或求最值；升幂公式常用于凑配完全平方。 【典例1】（多选）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC 【典例2】(23-24高一下·湖北武汉·期中)若，则的值是______. 【答案】 【详解】， 所以.故答案为： 【变式1】在中，角的对边分别是．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由正弦定理得，故，又，，故，，所以．又，设，则，解得或（舍去）．故选：D． 【变式2】___________． 【答案】/ 【详解】原式 ．故答案为：. 【变式3】(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D 【变式4】(23-24高一下·云南楚雄彝族民族中学·月考)已知，，则_____. 【答案】 【详解】由，所以， 故答案为：. 【变式5】(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知 (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则，结合，可得， 结合（1）可得，而， 故， 由于，故. 题型二 两角和与差公式的应用 答｜题｜模｜板 1. 求值问题：先判断已知角与所求角的关系，通过角的变换（拆分、组合），将所求角转化为已知角的和或差； 2. 化简问题：优先逆用公式，结合角的变换、函数名变换，将式子化为最简形式（单一三角函数或常数）； 3. 注意事项：求值前需判断角的范围，确定三角函数值的符号，避免漏解。 【典例1】(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______． 【答案】 【详解】由得①，②， 即，，∴ ∵，∴.故答案为：. 【典例2】在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， 令，，，显然，∵， ∴，解得，∴，B＝．故选：D. 【变式1】已知，且为第三象限角，则______. 【答案】/ 【详解】，∴，又为第三象限角， 所以，由知：.故答案为：. 【变式2】(24-25高一下·北京延庆区·期中)（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 【变式3】(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【详解】，为锐角，，又，，， ．故答案为： 【变式4】(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为锐角，且，分式上下除以得，，，为锐角，， ，当且仅当，即时取等号，最大值为．故选：D． 【变式5】(24-25高一上·湖南娄底·期末)已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 【详解】（1）原式 （2）由为第一象限角，且，即，解得，； 又，且，故． . 题型三 辅助角公式的应用（化一变形） 解｜题｜技｜巧 1. 合一变形步骤：先确定 的值，计算 ，再确定辅助角（结合 a,b 符号）； 2. 应用场景：将化为单一三角函数后，求函数的周期、最值、单调区间； 3. 简化技巧：记住常见特殊形式（如 ），直接套用结果，节省时间。 【典例1】已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 【典例2】(22-23高一下·江苏徐州·期中)已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由边化角可得，.因为，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，，由可得，.因为， 又，所以，，所以，.故选：C. 【变式1】(24-25高一下·陕西商洛山阳中学·期中)计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D. 【变式2】(24-25高一下·河南信阳·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可化为，所以，由条件可得，因为函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，所以，，所以，，又，所以的最小值为，故选：A. 【变式3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， 所以.则 . 【变式4】(24-25高一下·福建泉州科技中学·期中)已知函数. (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值. (3)在中，若，求的取值范围. 【详解】（1） . （2）由（1）知，则， 由，得，则， 则 . （3）在中，，由，得， 则，解得，则， 于是， 由，得，则，即， 所以的取值范围为. 题型四 三角恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 与三角函数性质结合：先通过恒等变换将函数化为 的形式，再求周期、最值、单调区间； 2. 与解三角形结合：利用恒等变换化简已知条件，结合正弦定理、余弦定理，求角、边长、面积； 3. 综合求值：结合角的变换、公式变形，整体代入求值，避免分步计算出错； 4. 关键：明确题目所求，优先化简已知条件，再结合相关知识求解。 【典例1】(24-25高一下·湖南·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，整理得，即， 所以.故选：C 【典例2】已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 【详解】（1）∵，∴，即. 代入，得， 又，则，. 则. . (2)∵，，∴. 又，∴. ∴==. 由，得. 【变式1】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，故，因此，故选：D 【变式2】(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以，故选：C. 【变式3】(24-25高一下·甘肃定西漳县第一中学·期中)已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ， 所以 .故选：D. 【变式4】(24-25高一下·甘肃白银靖远县·期中)（多选）若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【详解】设函数，则． 由，得．由在上恰有两个不同的实数解，结合正弦函数的图象，得．故选：ABC. 【变式5】已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，即，由于，为锐角，故，设，则 ， 令， 当且仅当时取到等号.故的最大值为. 【变式6】(25-26高一下·广东江门鹤华中学·)已知. (1)求及的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）由，得， 所以. . （2）由，得， 所以. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)________． 【答案】/ 【详解】原式．故答案为：． 2．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又，则，所以，所以，， ，故选：C 3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知，则______. 【答案】/0.28 【详解】∵， ∴.故答案为：. 4．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)（多选）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：，故A正确；对于B： ，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD 5．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)（多选）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确，对于B，由两角差的正切公式得，故B正确，对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误，对于D，由诱导公式得，可得，故D正确.故选：ABD 7．已知，，且，． (1)求、的值； (2)求的值； 【详解】（1）因为，，且，， 所以，. （2）由（1）可得. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(23-24高一下·陕西咸阳民盟中学·期中)已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，，由，得，，故， 故选：C 2．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，则令①，∵②， 由①2＋②2得，又，∴．∴．故选：A. 3．(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)设则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，可得： 根据二倍角的正切公式，对于，则有： 由半角公式，对于，这里，则有： 因为正弦函数在上单调递增，且，所以，即. 故选：A. 4．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是第四象限角，又因为，则， 所以.故选：D. 5．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)求值： (1);(2)． 【详解】（1）原式． （2） ， , ． 6．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)（1）计算：； （2）设为锐角，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） . （3）根据题目条件可得，， 又均为锐角，，得 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，则有，所以，故C正确；对于D， ，故D错误.故选：C 2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)（多选）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A, ，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ，C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：BC 3．(25-26高一·江苏淮安涟水县第一中学·)（多选）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，由，得，故A正确；B选项，因为，所以，由，得， 又，其中，假若，则，因在上单调递减，故，得，这与矛盾，所以，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，由及，得，故，故D错误． 4．(25-26高一下·河北承德·月考)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）由，得，即，而， 所以， 则. （2）由，得，而， 则， 由（1）知，，， 所以 . 5．(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)已知，求：(1)的值；(2)的值. 【详解】（1）由， ，， 即，，又 即 （2）易知，，则，又 从而，，由（1）知 又，，从而, 则    从而. 6．(25-26高一·四川安岳中学·月考) 已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）； （2）因，则， 又为锐角，则，， 则， 于是. 7．(25-26高一·北京景山学校·调研)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学､物理､天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【详解】（1） . 即. （2）由（1）及已知得：解得：， 又 . 由得：， . （3）即 ， 等式两边同除得：，即， 化简得：，解得：（舍） 由题意知黄金分割值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角恒等变换 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二倍角公式 题型02 两角和与差公式 题型03 辅助角公式的应用（化一变形） 题型04 三角恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和与差的正弦.余弦.正切 熟练正用.逆用.变用公式求值.化简 必考基础，选择.填空.解答第1问均出现 二倍角公式（正弦.余弦.正切） 会用倍角公式进行升幂.降幂.求值 高频考点，常与和差公式.同角关系结合 辅助角公式 能将 化为单一函数，求周期.最值.单调性 解答题核心，与图像性质综合必考 半角公式与恒等变形 会用半角.降幂公式进行化简.证明 中档小题.证明题常考 三角恒等式证明 掌握“从繁到简.左右归一.作差为0” 解答题常考，侧重逻辑与公式选择 综合应用（与解三角形.函数结合） 能在三角形中用恒等变换求角.边长.面积 压轴小问，拉分题集中区 知识点01 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识点02 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数 知识点03 两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形：； （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用.变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识点04 理解并运用和角公式.差角公式需注意的几个问题 1.两角和与差的正弦.余弦.正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和.差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活.简便，不需要再用两角和.差公式展开． 2.重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视． 常见的角的变换有：；；；等， 常见的三角变换有：切化弦.等． 知识点05 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.和角公式.倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识点06 二倍角公式的逆用及变形 1.公式的逆用 ；． ． ． 2.公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 知识点07 两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1.对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解.配方.凑项.添项.换元等； 2.掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补.和倍关系等等）； 3.将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 知识点08 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升.降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 知识点09 辅助角公式 1.形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2.辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简.求值等． 知识点10 半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ，， 以上三个公式分别称作半角正弦.余弦.正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 题型一 二倍角公式的应用 解｜题｜技｜巧 1. 正用：已知单角的三角函数值，求二倍角的值，注意角的范围对符号的影响； 2. 逆用：将式子凑配成二倍角公式的形式（如 ），简化计算； 3. 升幂、降幂：当式子中出现平方项时，优先用降幂公式化为一次项，便于后续化简或求最值；升幂公式常用于凑配完全平方。 【典例1】（多选）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】(23-24高一下·湖北武汉·期中)若，则的值是______. 【变式1】在中，角的对边分别是．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】___________． 【变式3】(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一下·云南楚雄彝族民族中学·月考)已知，，则_____. 【变式5】(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知 (1)求的值； (2)求的值. 题型二 两角和与差公式的应用 答｜题｜模｜板 1. 求值问题：先判断已知角与所求角的关系，通过角的变换（拆分、组合），将所求角转化为已知角的和或差； 2. 化简问题：优先逆用公式，结合角的变换、函数名变换，将式子化为最简形式（单一三角函数或常数）； 3. 注意事项：求值前需判断角的范围，确定三角函数值的符号，避免漏解。 【典例1】(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______． 【典例2】在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且为第三象限角，则______. 【变式2】(24-25高一下·北京延庆区·期中)（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________． 【变式4】(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A． B． C． D． 【变式5】(24-25高一上·湖南娄底·期末)已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 题型三 辅助角公式的应用（化一变形） 解｜题｜技｜巧 1. 合一变形步骤：先确定 的值，计算 ，再确定辅助角（结合 a,b 符号）； 2. 应用场景：将化为单一三角函数后，求函数的周期、最值、单调区间； 3. 简化技巧：记住常见特殊形式（如 ），直接套用结果，节省时间。 【典例1】已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【典例2】(22-23高一下·江苏徐州·期中)已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·陕西商洛山阳中学·期中)计算：（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·河南信阳·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·福建泉州科技中学·期中)已知函数. (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值. (3)在中，若，求的取值范围. 题型四 三角恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 与三角函数性质结合：先通过恒等变换将函数化为 的形式，再求周期、最值、单调区间； 2. 与解三角形结合：利用恒等变换化简已知条件，结合正弦定理、余弦定理，求角、边长、面积； 3. 综合求值：结合角的变换、公式变形，整体代入求值，避免分步计算出错； 4. 关键：明确题目所求，优先化简已知条件，再结合相关知识求解。 【典例1】(24-25高一下·湖南·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 【变式1】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·甘肃定西漳县第一中学·期中)已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·甘肃白银靖远县·期中)（多选）若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式5】已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式6】(25-26高一下·广东江门鹤华中学·)已知. (1)求及的值； (2)若，求的值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)________． 2．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知，则______. 4．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)（多选）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)（多选）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 6．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且，． (1)求、的值； (2)求的值； 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(23-24高一下·陕西咸阳民盟中学·期中)已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)设则有（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·辽宁七校协作体·期中)已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)求值： (1);(2)． 6．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)（1）计算：； （2）设为锐角，且，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)（多选）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一·江苏淮安涟水县第一中学·)（多选）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·河北承德·月考)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 5．(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)已知，求：(1)的值；(2)的值. 6．(25-26高一·四川安岳中学·月考) 已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 7．(25-26高一·北京景山学校·调研)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学､物理､天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $