2.3 一元二次不等式（教案）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

语文版《数学基础模块 上册》 第二单元 不等式 2.3 一元二次不等式 一、教材 语文出版社《数学》（基础模块 上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是语文版数学基础模块上册第二单元不等式的核心内容，核心知识点包括一元二次不等式的定义、因式分解法与图像法两种求解方法，为后续学习函数定义域、不等式实际应用、集合运算等内容奠定了重要的方法与逻辑基础。教材以二次函数图像、一元二次方程为逻辑主线，既衔接了学生对一元一次不等式、二次函数、一元二次方程的已有认知，又深化了函数、方程与不等式联动的数形结合数学思维，提升学生运用转化思想、数形结合思想求解不等式的能力。 五、学情分析 多数学生已具备一元一次不等式、一元二次方程、二次函数的认知基础，并且对生活中取值范围、大小比较的相关场景有明确认知，这为他们学习一元二次不等式打下了基础。但如果只采用纯步骤讲解的方式可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对二次函数图像与不等式解集的对应关系理解不透彻，混淆因式分解法与图像法的适用场景，在求解时忽略二次项系数符号、漏解错解。因此可以通过与生活关联的实例、函数图像帮助学生掌握一元二次不等式的求解方法，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握一元二次不等式的定义； 2.掌握用因式分解法和图像法求解一元二次不等式的步骤与方法； 3.通过一元二次不等式的学习与应用，提升运用数形结合思想分析问题、求解不等式的能力，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养。 七、教学重点 1.一元二次不等式的定义； 2.因式分解法和图像法求解一元二次不等式的步骤与方法。 八、教学难点 合理选择因式分解法和图像法求解一元二次不等式。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解一元二次不等式相关知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对一元二次不等式相关知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究一元二次不等式念相关知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 甲、乙两辆汽车相向而行，在限速以内的弯道上相遇，由于突发情况，两车相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12，乙车的刹车距离刚刚超过了10。 又知这两辆汽车的刹车距与车速之间分别有以下关系： ，， 如果谁的车速超过了，谁就违章了。试问：哪一辆车超速行驶？ 分析： 由题意，只需分别解出不等式和，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶了。 那如何解决以上不等式呢？接下来，让我们进入一元二次不等式的知识点学习。 通过生活实例引出新知识点：一元二次不等式的定义以及因式分解法。 新知讲授 一元二次不等式 形如或 的不等式（其中），叫做一元二次不等式。 1.分解因式法 我们学习过用因式分解法解一元二次方程，同样的方法也可以用来解一元二次不等式。 在一元二次不等式（或）中，如果左边的二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，那么根据乘法的符号法则（两数相乘，同号得正，异号得负），就可以将一元二次不等式转化成两个一元一次不等式组求解. 这种解法叫做一元二次不等式的分解因式解法. 总结一元二次不等式的定义以及因式分解法。 新知引入 议一议： 观察二次函数的图像并回答下列问题： （1）的取值范围是什么情形时，？ （2）的取值范围是什么情形时，？ 分析： 对于问题（1），就是求一元二次方程的解，它们分别是，，即当或时，。 二次函数的图像与轴的交点坐标是与。 对于问题（2），不难看出，当时，二次函数的图像在轴的下方满足。也就是说，满足一元二次不等式的的取值范围是。 通过实例引出新知识点：一元二次不等式的图像法。 新知讲授 2.图像法 如果我们求一元二次不等式（或）的解集，可以先作出二次函数的图像，然后找到图像在轴上方的点（或下方的点），进而找到上方的点（或下方的点）对应的的范围，就是一元二次不等式（或）的解集，这种方法叫做图像法。 上述方法可以用于求一元二次不等式或（）的解集。 我们知道，对于一元二次方程（），设，它的解按照，，可分为三种情况。 相应地，二次函数（）的图像与轴的位置关系也分为三种情况。因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式（或）的解集。 根据上述方法，我们得到： 总结一元二次不等式的图像法 案例分析 【例题】下列不等式的解集： （1）；（2）；（3）. 【解析】（1）， 从而得. 原不等式可以化成下面两个不等式组： ①或②. ①的解集是；②的解集是. 原不等式的解集是①，②解集的并集，即. （2）原不等式经过整理，得. ，从而得. 原不等式可以化成下面两个不等式组： ①或②. ①的解集是空集；②的解集是. 原不等式的解集是①，②解集的并集，即. （3）用平方差公式，得， 原不等式可以化成下面两个不等式组： ①或② ①的解集是；②的解集是. 原不等式的解集是①，②解集的并集，即. 【例题】不等式的解集。 【解析】方程的两个解分别是 ，。 函数的图像是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，即和，如图所示。观察图像可得，不等式的解集为。 通过案例来帮助学生更好地理解一元二次不等式的定义、因式分解法和图像法。 学以致用 【练习】求下列不等式的解集： （1）；（2）. 【解析】（1）利用求根公式解得的两个根为 ，. ∴可分解为，从而得 . ∴ 原不等式可以化成下面两个不等式组： ①或② ①的解集是；②的解集是. ∴原不等式的解集是①，②解集的并集，即. 不等式的解集还可以用区间表示为，用数轴表示，如图所示. （2）原不等式经过整理，得， 利用求根公式解得的两个根为 ，. ∴可分解为，从而得 . ∴ 原不等式可以化成下面两个不等式组： ①或② ①的解集是；②的解集是空集. ∴原不等式的解集是①，②的解集的并集，即. 不等式的解集还可以用区间表示为，用数轴表示，如图所示. 【练习】用图像法解不等式. 【解析】不等式对应的一元二次方程为， 解得， 故函数图像为， 即得到时，. 同学们，我们已经了解并掌握了一元二次不等式的定义以及两种求解方法，现在请同学们想一想在日常生活中的哪些地方我们用到了一元二次不等式的求解？稍后请同学们进行分享交流。 答案举例： (1)面积范围问题(矩形、正方形、花坛、围栏等面积要大于或小于某个值，需要用一元二次不等式确定边长的合理范围)；(2)销售利润问题(商品涨价或降价时，要让利润不低于某个值、不亏本，就要解二次不等式来确定价格区间)。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对一元二次不等式的定义、因式分解法和图像法的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【解析】不等式可化为，解得或， 故不等式的解集是或. 故选：A. 【练习2】已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】由图像可知，函数的图像与 轴交于两点， 则当时，的取值即是不等式的解集， 由图可知，时，图像位于轴下方，即， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【练习3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为不等式可化为，即. 所以或. 所以原不等式的解集为. 故选：A 【练习4】已知函数的图像如下图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】由题知， 函数在x轴上方的图像对应的x的范围就是不等式的解集， 即或. 故选：C 【练习5】若函数的图像上所有点都在x轴的上方，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为函数图像所有点都在x轴的上方，即函数图像和x轴没有交点， 则方程没有实数根，所以，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D. 【练习6】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】不等式， 解得或， 所以解集为， 故选：. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 一元二次不等式 形如或 的不等式（其中），叫做一元二次不等式。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 一元二次不等式 形如或 的不等式（其中），叫做一元二次不等式。 1.分解因式法 在一元二次不等式（或）中，如果左边的二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，那么根据乘法的符号法则（两数相乘，同号得正，异号得负），就可以将一元二次不等式转化成两个一元一次不等式组求解. 2.图像法 如果我们求一元二次不等式（或）的解集，可以先作出二次函数的图像，然后找到图像在轴上方的点（或下方的点），进而找到上方的点（或下方的点）对应的的范围，就是一元二次不等式（或）的解集。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例引入一元二次不等式，结合二次函数图像推导求解方法，多数学生能初步理解一元二次不等式的定义，掌握因式分解法和图像法的基本求解步骤。但在课堂检测中也发现：个别学生在求解时出现忽略二次项系数符号、解集书写不规范的问题，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $