精品解析：北京市延庆区第五中学2025-2026学年第二学期高考统考适应性练习指导卷（四）高三数学

2025—2026第二学期高考统考适应性练习指导卷（四） 高 三 数 学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【详解】由题意得，，所以， 在复平面内对应的点为，故该点在第三象限． 故选：C 2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 则， 所以渐近线方程为， 故选： 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数，由函数图象的平移得到答案. 【详解】， ∴将函数的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到函数的图象， 故选：A 5. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：B. 6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为， 可得，即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，然后利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故选：A. 8. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 与内所有的直线都垂直 B. ，， C. 与内无数条直线垂直 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】A项由线面垂直定义可知；BC项在长方体中举反例可知；D项由推证可得充分性，必要性显然不成立. 【详解】A项，由直线与平面垂直的定义可知与内所有的直线都垂直是的充要条件，选项A错； B项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件， 如图长方体中， 设平面为平面，设平面为平面，直线为， 则，满足，，， 但，不与平面垂直，故不能推出， 故条件“，，”也不是的充分不必要条件，选项B错； C项，如图长方体中， 设平面为平面，直线为， 则直线与平面内无数条与垂直的直线都垂直，但，不与平面垂直， 故由与内无数条直线垂直不能推出，所以不是的充分不必要条件，选项C错； D项，由，，得，又因为，所以； 反之，由推不出，，， 所以，，是的一个充分不必要条件，选项D正确. 故选：D. 9. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，利用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得直线MN的方程为，进而求出PF的中点，即可得. 【详解】不妨设，，， 由可得，则， 于是在点处的切线方程为， 又，化简方程得， 同理得C在点N处的切线方程为， 又两切线交于点，故得， 即点，都在直线上，也即直线MN的方程为， 因为点在直线MN上，代入得，得，故线段PF的中点为， 故选项中可以为线段PF中点是. 故选：A 10. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及交集的定义即可求解． 【详解】因为指数函数在上为增函数，所以，又， 所以． 12. 在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由各项系数和建立方程求得参数，根据二项式定理写出通项，可得答案. 【详解】由题意可知，解得， 由的二项展开式的通项为， 则含有项的系数为. 故答案为：. 13. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可先分析出区域和全等，再将区域还原到如图所示圆柱中，由扇形的弧长公式先求出弧长，再根据圆柱的侧面积公式求出，即可得解. 【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中， 可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故答案为： 14. 设数列的前项积为，满足，其中常数．若，则______；若数列为等差数列（非常数列），则______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用给定递推关系结合赋值求解，再结合等差数列的定义求出，再合理取舍即可. 【详解】因为为数列的前项积，，所以当时，， 当时，，即，若，则； 当时，， 则，若数列为等差数列， 则，故， 整理得，解得或． 当时，，此时令，得到， 而，解得， 则当时，，则，即， 故为以2为首项，1为公差的等差数列，则， 得到，此时； 当时，，则当时，， 则，即，又，则， 得到，故为常数列，即，不合题意． 故答案为：1； 15. 已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界．若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．对于下列4个结论中正确的序号是______． ①若函数有下界，则函数有最小值； ②若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①当时，，则恒成立，则函数有下界，但函数没有最小值，故①错误； ②若定义在上的奇函数有上界，不妨设当时，成立，则当时，，则， 即，则，该的下界是，则函数是有界函数，故②正确； ③对于函数，若函数有最大值，设，则，该函数是有界函数，故③正确； ④函数，则函数的定义域为闭区间， 则函数的值域为，则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数．故④错误； 故答案为：②③． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，（为的面积）. （1）求； （2）从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角的值. （2）选条件①②：先求出，然后求出，然后利用正弦定理求出，即可求出三角形的周长；选条件①③：先求出，然后利用正弦定理和余弦定理求出，即可求出三角形的周长. 选条件②③：不存在. 【小问1详解】 由余弦定理，，又， 所以，得 【小问2详解】 选条件①②： ， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为. 选条件①③： ， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理， 由得，解得，所以的周长为. （注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.） 17. 如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且 为的中点，与平面 交于点， （1） 求证: 为的中点； （2） 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行可得，根据中位线的性质可得； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 【小问2详解】 取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】（1）（i）（ii）分布列见解析，数学期望为； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用条件概率公式求解；（ii）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 （i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问2详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团助力的概率的最小值为. 19. 椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． （1）求椭圆C的方程； （2）已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【小问1详解】 由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 20. 已知函数 ． （1）当时，求在上零点的个数； （2）若在处取得极大值，且存在两个不同的极值点，求的取值范围； （3）设为的三个零点，且成等差数列，求证：. 【答案】（1）1个 （2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! （3）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【解析】 【小问1详解】 当时，，则，， 当时有，所以在上单调递减， 又且当时，因此存在唯一的满足， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又且当时（考虑和的增长速度），所以只在上有1个零点， 即在上零点的个数为1个. 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ: 3931980300 【小问3详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ: 3931980300 21. 设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． （1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值； （3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【答案】（1）具有性质，； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算，即可判断具有性质；在分别计算出，即可求得； （2）方法1：由已知得出，结合，得出，进而得出，并取验证的最大值可以取到；方法2：用反证法假设，由已知得出与题设矛盾，即可说明； （3）由性质可得，①，且②，①中不妨设，②中不妨设，由对称性可以设，得出，进而得出，再验证可以取到最大值即可． 【小问1详解】 因为，所以具有性质； 因为， 所以． 【小问2详解】 方法：1： 由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2： 先用反证法证明， 假设， 由，则， 所以，同理， 所以， 由， 所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以， 当时，， 此时， 所以的最大值为1． 【小问3详解】 由性质可得， 所以①，且②， 在①中不妨设， 在②中不妨设， 由对称性可以设， 所以， 所以 ，即， 因为存在，（其中有个个）， （其中有个，个）具有性质， 并且， ， ， 所以， 综上最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第二学期高考统考适应性练习指导卷（四） 高 三 数 学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 5. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 与内所有的直线都垂直 B. ，， C. 与内无数条直线垂直 D. ，， 9. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（ ） A. B. C. D. 10. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知集合，则________． 12. 在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为_____ 13. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积是_________ 14. 设数列的前项积为，满足，其中常数．若，则______；若数列为等差数列（非常数列），则______． 15. 已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界．若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．对于下列4个结论中正确的序号是______． ①若函数有下界，则函数有最小值； ②若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，（为的面积）. （1）求； （2）从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且 为的中点，与平面 交于点， （1） 求证: 为的中点； （2） 若平面平面，求二面角 的余弦值. 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 19. 椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． （1）求椭圆C的方程； （2）已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 20. 已知函数 ． （1）当时，求在上零点的个数； （2）若在处取得极大值，且存在两个不同的极值点，求的取值范围； （3）设为的三个零点，且成等差数列，求证：. 21. 设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． （1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值； （3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $