精品解析：2026年江苏南通市海门区实验初级中学中考模拟考试 数学·试题卷

绝密★启用前 南通市海门区实验初中2026年中考模拟考试 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若， 面积比为， 则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 16 B. 12 C. 6 D. 4 4. 据统计，2023年贵州省共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当落在边上时， C. 当落在边上时，的面积为 D. 的最小值为 6. 如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5；④，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中,若在直线上存在点满足,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数：______． 12. 一元二次方程的两个实数根分别为，则____________． 13. 计算：___________． 14. 如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______． 15. 如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为______． 16. 如图1，在中，，，，分别是边，的中点，在边上取点，点在边上，且满足，连接，作于点，于点，线段，，将分割成I、II、III、IV四个部分，将这四个部分重新拼接可以得到如图2所示的矩形，若，则图1中的长为_______． 17. 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上．点在直线上且．若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为__________． 18. 中，，，，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作，连接ED交于F，连接FM，MN，则的最小值为______． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1）计算：； （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． 20. 中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即、、、、五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题． （1）本次模拟考试该班学生有______人； （2）补全条形统计图； （3）本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级______； （4）该校共有名学生，根据统计图估计该校等级的学生人数． 21. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程） 证明：四边形为平行四边形， ， ___________． 平分， ， ___________． ， 又， ___________． 又， 四边形为平行四边形， 又___________． 四边形是菱形． 22. 著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶的仰角为；再从点沿方向走了米到达处即米，在处竖立标杆，发现水平地面上的点、标杆的顶端与塔顶恰好在一条直线上，已知米，测得米，点、、、在同一条直线上，，，，根据测量示意图求该塔的高度．参考数据：，， 23. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题． （1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米） （2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析； 设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 （3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 时，最大； （4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则 时，最大． 推理证明 （5）对（4）中的猜想进行证明． 问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线； 问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______ 问题3．证明上述中的猜想： 问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值． 24. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足．小明打算找出到的最短距离．他的操作如下： 在上取一点，使得，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，此时到的距离最短． 问：以上操作是否合理？若合理，请求出到的最短距离．若不合理，请说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形形状，其中米，米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分．设计思路如下：在矩形内部找一点，连接，，，使得，且．其中是老师课堂展示部分，是小组合作交流部分，剩下的四边形是学生创造性设计部分．请计算课堂展示部分的面积． 25. 已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 26. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”． （1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”； （2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为_____； （3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是_____；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南通市海门区实验初中2026年中考模拟考试 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；对于图A，分析可知，其绕着图形的圆心旋转后与原来的图形不能重合，故不是中心对称图形，同理再分析其他选项即可． 【详解】解：选项A、B、C都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 2. 若， 面积比为， 则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】， 面积比为， ∴与的相似比是， ∵相似三角形的周长之比等于相似比， ∴与的周长比为． 故选：B． 3. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 16 B. 12 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵a个球中红球有4个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 经检验，是分式方程的根且符合题意， 故选：A． 4. 据统计，2023年贵州省共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把万表示为：的形式，其中，为整数，即可． 【详解】∵万， ∴万． 故选：D． 5. 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当落在边上时， C. 当落在边上时，的面积为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出，，的度数，利用折叠的性质得到，； 对于A：计算，的长，确定的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定的运动轨迹，推导出的形状求面积； 对于D：确定的轨迹是以B为圆心的圆，转化为求点D到圆上一点的最小距离问题，即． 【详解】解：A项：如图，当时，为B到的距离， 在平行四边形中，，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即平行四边形中，以为底边的高为1， ∵沿折叠得， ∴， ∴，， 即点落在边上， ∴，A项错误； B项：由A项可知，当落在边上时，， ∴，B项错误； C项：∵沿折叠得，点E在上运动， ∴点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作以点B为圆心，为半径的圆，与交点，连接，过点E作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 由A项可知，平行四边形中，以为底边的高为1， ∴， ∴，C项错误； D项：∵点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当D，，B三点共线时，有最小值， 过点D作， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即的最小值为，D项正确． 6. 如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．根据勾股定理求出，再分别求出和时的D，的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可． 【详解】解∵，，， ∴， 当时，点P在边上，如图所示， 此时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴ 当时，， ∴， ②当时，点D在边上，如图所示， 此时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，推出OP⊥PD，然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE，进而确定点P的坐标，然后代入直线y=kx－3k（k＞0）即可求出k的值． 【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E， ∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆． ∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3,0)， ∴OP⊥PD， ∴∠OPD=90°， 在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3， 由勾股定理得：PD== 由等积法，可得：OD•PE=OP•PD， 即：3×PE=2×， 解得：PE= 在Rt△OPE中，OE== ∴点P的坐标为(，) 把点P的坐标代入y=kx－3k，得:， 解得:k=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法．熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键． 8. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5；④，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质，得，，根据二次函数的对称性，得、点关于对称轴的对称点为：；根据二次函数的图象和x轴的交点，得，通过计算即可得到答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴为直线 ∴，即 ∴ ∵二次函数的图象和y轴的交点，在y轴的正半轴 ∴ ∴，即①不正确； ∵二次函数的对称轴为直线 ∴和对应的函数值相同，即 ∴，即②不正确； 点关于对称轴的对称点为： ∵抛物线经过点， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为，5，即③正确； ∵二次函数的图象和x轴的交点为：，且 ∴当时， ∵ ∴，即④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 9. 对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出到的值，找出值为的规律，即可判断①，计算，即可判断②，找出的的值，根据规律计算的个数，即可判断③， 本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，， ，， ，， ，，…； ∴、、、、…多项式为， 即：，，2，3，…， 当时，，故①正确； ，故②错误； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，5，8，…，即：，，2，3，…，时，， 当时，，，不符合题意， 当时，， ∴当时，有， 即共有个值，满足； ∵在序列中，当时，共有个的差， ∴在序列中，有（个）值使得， 故③不正确， 综上所述①正确，个数为1， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中,若在直线上存在点满足,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以知道当时，此时以所对的圆心角等于，而且圆心在AB的垂直平分线上，只有直线与圆相切的时候，此时取最值，所以根据如图所示可以求出结果. 【详解】解：如图所示： 当时，此时以所对的圆心角等于， 即, 只有直线与圆相切的时候，此时取最值, 此时, 设 根据勾股定理可以求出,, 与y轴夹角为， 为等腰直角三角形， , , , 的最大值为， 同理在y轴负半轴和其对称最小值为， ， 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，以及临界情况是相切的时候m取得最值点，本题难度较高，应该认真分析题意. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一 【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数” 故答案为： 12. 一元二次方程的两个实数根分别为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再把通分变形，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴； 故答案是：． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，单项式除以单项式的法则．单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 根据单项式除以单项式的法则计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 14. 如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．连接，，，根据正六边形的性质得到，，得到，同理，推出四边形是菱形，过作于，得到，根据勾股定理得到，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，，， 正多边形是正六边形， ，， ， 是等边三角形， ， 同理， ， 四边形是菱形， 过作于， ， ， “三叶草”的面积（扇形的面积-菱形的面积）， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据，得到点E，F的横纵坐标的关系，设出未知数，然后根据相似得到D点的横纵坐标的关系，最后列出进行解方程，即可得到的值． 【详解】连接，过作于，过作于， 连接交于，过作于， ∵在矩形中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点， ∴设， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∴ 将代入 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，那么两点重合， ∵ ∴ 解得 ∴ 【点睛】此题考查反比例函数的几何意义，解题关键是通过相似求出各个点横纵坐标之间的数量关系，设出未知数，然后将坐标转化为三角形的边长，将已知三角形的面积用未知数表示出来，进而转化出的值． 16. 如图1，在中，，，，分别是边，的中点，在边上取点，点在边上，且满足，连接，作于点，于点，线段，，将分割成I、II、III、IV四个部分，将这四个部分重新拼接可以得到如图2所示的矩形，若，则图1中的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可用图一图二等面积性，求解部分边长，利用等腰三角形三线合一以及中位线性质创造三角形全等的条件，通过假设未知数利用三角函数表示未知边长，继而用勾股定理列方程求解本题． 【详解】连接DE，DF，作FM⊥AB，AO⊥BC，如下图所示： ∵AB=AC=10，点D，E分别为AB，AC中点，FG=BC，DP⊥EF，GQ⊥EF，BC=12， ∴DE∥BC，DE=BC=FG，∠DPE=∠GQF=90°，AO=8，，，DB=5． ∴∠DEP=∠GFQ，， 故有△DPE△GQF（AAS）， ∴DP=GQ，FQ=PE． ∵FQ-PQ=PE-PQ， ∴FP=QE． 设HI=4x，IJ=5x， 因为矩形HIJK，故， ∴ 且由图形拼接可得：，． 在△FQG中，， ， ∴在△DPF中，． 设BF=y，有 ，则． ∴． ∵ , ∴． 在△DMF中，， ∴， 解方程求得． 故本题答案． 【点睛】本题考查等腰三角形，中位线，全等三角形的证明以及三角函数的综合应用，题干当中中点较多时，需考虑中位线定理，全等证明的目的是进行边的替换，三角函数的应用必须以直角三角形为前提，几何图形求解具体边长时勾股定理为常用工具． 17. 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上．点在直线上且．若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点，，，的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴ ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故答案为：． 18. 中，，，，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作，连接ED交于F，连接FM，MN，则的最小值为______． 【答案】4.5#### 【解析】 【分析】连接CF，由CD是☉O的直径可知∠CFD=90°，从而得出△CEF是直角三角形，再取CE的中点G，可知，故F点在以G为圆心的单位圆上，作出这个单位圆．将△ABC沿AB向下翻折得到，并取N点对称点N'，连接MN'，显然MN= MN'，要求FM+MN的最小值就是求FM+MN'的最小值．过点G作G N'⊥BC'于N'，交☉G于F，交AB于M，根据垂线段最短可知此时FM+MN取最小值，延长线段N'G，BA交于点P，利用含30°角的直角三角形的性质可以求出FM+MN取最小值． 【详解】如图，连接CF，取CE的中点G，连接FG，将将△ABC沿AB向下翻折得到，并取N点对称点N'，连接MN'，则MN= MN'，∠CBC'=2∠ABC=60°． ∵CD是☉O的直径， ∴∠CFD=90°， ∴∠CFE=90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴． 又∵AC=4，E是AC的中点， ∴， ∴， ∴F点在以G为圆心的单位圆上． 如下图，以G为圆心画出这个单位圆． ∵GF为定值，要求FM+MN的最小值可先求GF+FM+MN的最小值，即GF+FM+MN'的最小值． 根据垂线段最短可知，GF+FM+MN'的最小值是G到BC的距离． 如下图，过点G作G N'⊥BC'于N'，交☉G于F，交AB于M，延长线段N'G，BA交于点P．（将原图剩余线段与圆补齐） ∵∠CBC'=60°， ∴∠P=30°． 又∵CG=， ∴PG=2，PC=， 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4， ∴BC=， ∴PB= BC + PC=． 在△PBN'中，∠PN'B =90°，∠PBN'=∠CBC'=60°，PB=， ∴P N'=， ∴GF+FM+MN'的最小值也就是G到BC的距离GN'= =， ∴FM+MN'的最小值= =， 即FM+MN的最小值是． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短．能推出F在以G为圆心的单位圆上和灵活运用垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1）计算：； （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂、特殊角的三角函数值、求一个数的算术平方根，然后计算加减法即可； （2）根据分式的四则混合运算法则计算即可； （3）先根据分式的四则混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ∵ ∴原式． 20. 中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即、、、、五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题． （1）本次模拟考试该班学生有______人； （2）补全条形统计图； （3）本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级______； （4）该校共有名学生，根据统计图估计该校等级的学生人数． 【答案】（1） （2） 补全统计图如下： （3）D （4）人 【解析】 【分析】（1）根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）先求出等级的人数，再补全统计图即可； （3）算出第、个数的平均数即可； （4）用该校的总人数乘以等级的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次模拟考试该班学生有：（人）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：C等级的人数有：（人）； 【小问3详解】 解：第、个数的在等级； 中位数是第、个数的平均数， 学生考试成绩等级的中位数在等级， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计该校等级的学生人数为人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程） 证明：四边形为平行四边形， ， ___________． 平分， ， ___________． ， 又， ___________． 又， 四边形为平行四边形， 又___________． 四边形是菱形． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：四边形为平行四边形， ， ． 平分， ， ． ， 又， ． 又， 四边形为平行四边形， 又． 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形， 本题考查了作图，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶的仰角为；再从点沿方向走了米到达处即米，在处竖立标杆，发现水平地面上的点、标杆的顶端与塔顶恰好在一条直线上，已知米，测得米，点、、、在同一条直线上，，，，根据测量示意图求该塔的高度．参考数据：，， 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形与解直角三角形的应用；证明．得出，在中，得出米，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则，米，米，米，， ，， ， ． ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 米， 米， 答：该塔的高度为米． 23. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题． （1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米） （2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析； 设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 （3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 时，最大； （4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则 时，最大． 推理证明 （5）对（4）中的猜想进行证明． 问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线； 问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______ 问题3．证明上述中的猜想： 问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值． 【答案】 问题1：如图 问题2：2，； 问题3：法一：（判别式法） 证明：设 在中， 关于的元二次方程有实根， 当取最大值时， 当时，有最大值． 法二：（基本不等式） 设 在中， ． 当时，等式成立 ． ， 当时，有最大值． 问题4：当时，感光区域长度之和最大为 【解析】 【分析】问题1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可； 问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当2时，最大；设，则，可得，有，可得出； 问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设，则，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），设，得，可得，根据当时，等式成立有，可得出 ； 问题4：方法一：延长交于点，过点作于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，交于点，由题可知：在中，，得，根据，有，得，易证四边形为矩形，四边形为矩形，根据可得，由问题3可知，当时，最大，则有时，最大为；方法二： 延长相交于点同法一求得：，根据四边形为矩形，有，，得到，由问题3可知，当时，最大 则可得时最大为． 【详解】问题1：略 问题2：； 问题3：略 问题4： 法一：延长交于点 过点作于点垂足为 过点作交于点垂足为 交于点 由题可知：在中， 即 又 ， 在中， ， 即 四边形为矩形 ， 四边形为矩形， 在中，． 由问题3可知，当时，最大 时，最大为 即当时，感光区域长度之和最大为 法二： 延长相交于点 同法一求得： 设 四边形为矩形， ． 由问题3可知，当时，最大 时最大为 即当时，感光区域长度之和最大为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 24. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足．小明打算找出到的最短距离．他的操作如下： 在上取一点，使得，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，此时到的距离最短． 问：以上操作是否合理？若合理，请求出到的最短距离．若不合理，请说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形形状，其中米，米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分．设计思路如下：在矩形内部找一点，连接，，，使得，且．其中是老师课堂展示部分，是小组合作交流部分，剩下的四边形是学生创造性设计部分．请计算课堂展示部分的面积． 【答案】（1）；（2）合理，；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和锐角三角函数即可解答； （2）合理．利用勾股定理求出，可得，再利用梯形中位线求出，即可解答； （3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据圆周角定理可得，利用勾股定理和锐角三角函数可得，，得出，再根据，可推出，由角平分线的判定得出平分，继而证明四边形为正方形，求出，然后在在中，利用解三角形得出，，建立关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）合理． 在上取一点，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点， ∴，， ∵是点到的最短距离，而是的半径，是定值， ∴此时是点到的距离最短， 在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴以上操作合理； ∴， ∴， ∵， ∴和的长度不相等， 又∵，， ∴四边形是直角梯形， ∵， ∴， ∵圆心为，为直径， ∴点是的中点， ∴点是的中点， ∴是直角梯形的中位线， ∴， ∴， ∴到的最短距离为． （3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 又∵，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 在中，，，，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，解三角形，矩形的性质，正方形的判定和性质，梯形的判定，梯形的中位互，角平分线的判定等知识点．通过构造圆来解决问题是解题的关键． 25. 已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角函数的计算，解方程组，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键． （1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）先证明，过点O作于点E，交的延长线于点G，确定点G的坐标，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，求得x的值即可． （3）以点E为中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H，证明,，作交于点I，证明,得到，利用三角形不等式计算即可． 【小问1详解】 ∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， 把，点分别代入解析式， 得， 解得，故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点O作于点E，交的延长线于点G， ∵ ∴， ∴， 过点E作于点F， 则 ，， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点M的横坐标为． 【小问3详解】 以点E为旋转中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H， ∵，点，点P为中点， ∴，, ∵，且点E的横坐标为,, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴,， ∵， ∴轴, ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 作交于点I， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，最小， ∵点A关于x轴的对称点F，且， ∴ ∵， ∴， 的最小值， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”． （1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”； （2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为_____； （3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是_____；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母． 【答案】（1）平行，P2 （2）（1，3） （3），示意图如下： 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，可以得到，由图可以得到的长度等于线段到的“优距离”； （2）根据定义和（1）提示，可以知道，平移，使对应点落在圆上，即在圆上满足，，这样的只有两条，分别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图1的位置，线段是线段到的优距离，利用和坐标，求出直线解析式，从而得到直线的比例系数，同时可以得到为等腰直角三角形，因为，过作，利用垂径定理和勾股定理，求出，利用，得到为等腰直角三角形，过作轴于点，从而可以求得，得到直线解析式为，设，过作轴于，在中，利用勾股定理，列出方程即可求解； （3）由（2）可知，经过平移，对应点落在圆上，，，符合条件的只有两条，并且位于点两侧，如图2，根据垂线段最短，当时，最小，过作，分别交于，交于，用（2）中方法求解和，得到的长度，即可解决． 【小问1详解】 解：平移得到， ， 同理，， ， 由图可得，连接点与点的线段长度等于线段到的“优距离”， 故答案为：平行，； 【小问2详解】 解：如图1，过作轴于，则， ，， ， 设直线为，代入点，得， 直线为， 设直线交轴于， 轴， 轴， ， 由（1）可得，平移，使对应点落在上，此时，且， 这样的对应线段有两条，分别位于圆心点两侧， 所以当在如图位置时，线段的长度是到的“优距离”， 过作，分别交于，交于， ， ， ， 连接， ， ， 在中，， 过作x轴于， ， ， ， ， 设直线为，代入点，得， 直线为， 设，过作轴于， 在中，， ， 或， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可知，经过平移，对应点落在圆上， ，， 符合条件的只有两条，并且位于点两侧， 如图2，根据垂线段最短， 当时，最小， ，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， ， 令，则， ， 同理，， ， 为等腰直角三角形， 过作，分别交于，交于，连接， ， 在中，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查特殊三角形和勾股定理，垂径定理，能根据特殊三角形和勾股定理，垂径定理求解相关的线段和角度，是解决此类问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $