第十六讲 导数：解零点、隐零点 讲义-2026届高三数学二轮复习

第16讲导数：零点个数、隐零点 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①xeD,8a≤f(x),则只需要g(a≤f(x)mn=m;xeD,ga)≥f(x,则只需要g(a≥f(x)max=M ②r∈D,ga)≤f(x),则只需要g(a≤f(x)ms=M;r∈D,g(a)≥f(x),则只需要ga)≥f(x)mm=m 【二】求导公式 若f(x)=c,则f'(x)=0: 若f(x)=x,则f'(x)=ara- 若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx; 若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx 若f(x)=a*,则f'(x)=ana; 若f(x)=e,则f'(x)=e 若f(x)=log。x,则f'(x)= 若)=lnx,则r-片 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； /D]=f'x)8)-fxg'(田 g(x) g'(x) 复合函数y=f几g(x]的导数和函数y=fw),u=g()的导数间关系为y:=y.4x 【三】零点：使fx)=0的实数x叫做函数y=fx)的零点 ●几个等价关系：方程fx)=0有实数根台函数y=fx)的图象与x轴有交点台函数y=fx)有零点。 ●函数零点存在定理： 如果函数y=fx)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有fa小fb)<0,那么函数 y=fx)在区间a,b)内至少有一个零点，即存在ce(a,b),使得fc)=0 真题 1.【多选】(2024新课标IⅡ卷高考真题)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则() A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f()的对称中心 2.(2023·全国乙卷高考真题)函数f(x=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是() A.（-0,-2)B.-0,-3 C.（-4,-1 D.（-3,0j 3.(2024全国甲卷.高考真题)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)+a在(0，+0）上有两个不同的交点，则a的取值范围 为一 导数：2年模拟 1.(2025·安徽黄山一模)（多选)设函数f(x)=x3-3ax+3,则（) A.存在a∈R,函数f(x)仅有一个极值点 B.曲线fx关于点(0,3)对称 C.当a=1时，9x-y-13=0是曲线f(x)的切线方程 D.当a>1时，函数f(x)有唯一零点 2.(2025安微合肥一模)己知P为圆O:x2+y2=1上的动点（不在坐标轴上），过P作P2⊥x轴，垂足为Q,将 △OPQ绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为() 1 A.3 B.3 c.6 D.22 3 3 3 3.(23-24高三上·河南期末)己知函数fx)=aln(x+1)-xsinx. (若a=0,求曲线=y在点（) 处的切线方程； (2)若a=1,研究函数f(x)在x∈（-1,0上的单调性和零点个数. 2 4.(2025·广东广州三模)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx,a∈R. (1)当a=2时，求与f(x)相切，且垂直于直线x+3y=0的直线方程； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 5.(2025·甘肃甘南·模拟预测)已知函数fx)=ln(1+x)-mx (1)m=1时，求fx在x=0处的切线. (2)求函数∫x)的极值； (3)若函数f(x)在区间[0，e2-1上恰有两个零点，求m的取值范围. 6.已知函数f到=心-式+3aeR)的导函数为f川). (1)当a=1时，求f(x的图象在(0，f(0)处的切线方程； (2)若∫'(x有三个不同的零点，求实数a的取值范围 7.(2025安徽合肥一拨)已知函数f八y=lnr-ax-), 其中a>0 (I)讨论∫(x)的单调性； ②若函数倒有两个极能点，<，证阴：f八)+f)+八+>n2-星 8.(2025·安徽一模)已知函数f(x=1-asinx-cos2x,aeR (1)若a=2,求f(x)在(0，π上的极大值； ②若函数(=-f行+小，讨论函数g到在0，到上零点的个数 9.(225安额黄山一侯)已知丙敢-片-anx 0当=1时，求函数f八在[3上的绿值： (2)若∫(x)有极值且极小值大于0，求a的取值范围. 10.(2025安徽除州一模)已知函数fx)=号r+ar2-x-2alnc 0)若不等式f()≥兮+r产-x恒成立，求实数a的取值范围 (2)若a<0,求证：f(x有且只有1个零点 11.(2025·安微马鞍山一模)已知函数f(x)=lnx+（2-k)x. (1)若k=3,求函数f(x)的最大值： (2)若函数f(x)有两个不同的零点m,nm<n). (i)求实数k的取值范围： (ii)若不等式a+1<lnm+alnn恒成立，求实数a的取值范围. 12.(2025吉林长春模拟预测)已知函数f(x=e“+1-hr2-2为偶函数 ex (1)求实数a的值； (2)若∫(x)≥0恒成立，求实数b的取值范围. 13.(2025新疆喀什模拟预测)已知函数fx=x+asinx-xcOSx. (I)当a=1时，求f(x在点π，（π月处的切线方程； 2考y在区间Q习上有零点，求实数a的取值范国。 14.(2025北京海淀三模)已知函数f(x)=adnv-sinx,曲线y=fx在点 2)处的切线斜率为只 (1)求a的值. (2)求f(x)在(0,2π上的零点个数. ()证明：川到在0到上存在两个零点，，且-小> 15.(2026安微宿州-模)已知函数f(x)=nx+sinx,g(x)=sinx (1)证明函数∫(x)存在唯一零点； (2)f(x)的零点为x,证明gx)<ee 16.(2026安微黄山一模)已知函数f(x)=d+ae2,a∈R, (1)若a≤0，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有三个零点x,x2,x3,且X<x2<X· (I)求实数a取值范围； (Ⅱ)若三个零点成等差数列，求这三个零点. 17.(2026山东枣庄一模)已知函数fx)=xlnx. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)设gx=f(x+l-tsinx,t∈R. (1)讨论g(x)在(0，π内的零点个数： 2.13.1 -sin-<I(n+l). 《)证明：)sin叫+3sim24sin3++n+"n 18.(2026江西萍乡一模)己知函数f(x=e--alnx-1,aeR (1)若a≤0，求不等式f(x)>0的解集； (2)若函数f(x)有1个极值点x,且x,>1,证明：f(x)有两个零点； (3)在(2)的条件下，设fx)的两个零点分别为X,七2（x<x2),证明：2x>x2· 8 第16讲 导数：零点个数、隐零点 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①，则只需要； ，则只需要 ②，则只需要； ，则只需要 【二】求导公式 若，则 0； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 ； ； 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 【三】零点：使的实数叫做函数的零点 ●几个等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 ●函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得 真题 1．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D正确.选AD 2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，， 当，，故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【详解】令，即，令 则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 导数：2年模拟 1．（2025·安徽黄山·一模）（多选）设函数，则（   ） A．存在，函数仅有一个极值点 B．曲线关于点对称 C．当时，是曲线的切线方程 D．当时，函数有唯一零点 【详解】对于A，由题意可得，当时，恒成立， 函数在上单调递减，无极值点，当时，令， 即，解得，此时函数有两个极值点， 所以不存在，使函数仅有一个极值点，故A错误； 对于B，设是图像上任意一点，则， 点关于点对称的点为， 将代入函数可得，而， 所以曲线关于点对称，故B正确； 对于C，当时，，，若是切线方程，则其斜率为9， 令，解得，当时，，切线方程为， 化简可得；当时，，切线方程为， 化简可得；所以是曲线的切线方程，故C正确； 对于D，由，当时，令，可得， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ， ， 当时，，当时，， 所以函数在上各有一个零点， 即函数有三个零点，故D错误；故选：BC 2．（2025·安徽合肥·一模）已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（    ） A． B． C． D． 则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周， 所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，，由，可得， 由，可得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值，即时，取得最大值，此时， 所以线段的长度为故选：C 3．（23-24高三上·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【详解】（1）当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增．又因为，所以在上的零点个数为． 4．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，求导可得， 因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，令，解得，此时切点为， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， ①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；   ②当时，令，解得，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.   因为当时，；时， 所以要函数有两个零点，当且仅当.     设，知函数在单调递增. 因为，则的解集为. 综上所述，的取值范围是. 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数. (1)时，求在处的切线． (2)求函数的极值； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【详解】（1）由题设，则， 所以，，则，可得； （2）的定义域为，则， 当时，恒成立，此时在上单调递增，无极大值和极小值， 当时，，由得：，由得：， 此时在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）由（2）可知，当时，在单调递增， 所以在单调递增，不可能有两个零点，当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点， 若函数在区间上恰有两个零点，则，即，可得：，所以的取值范围为． 6．已知函数的导函数为. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）由题知，，因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根，化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点，， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增，所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为，当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为. 7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增，在和上单调递减；当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，所以， ，令，，则， 当时，，则在区间上单调递减，从而， 故 8．（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求在上的极大值； (2)若函数，讨论函数在上零点的个数. 【详解】（1）当时，， 则，令，得或或， 因此，当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 + 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值，极大值为. （2） ， 当时，由，得或， 其中，，则， 当或时，方程无解，此时函数只有一个零点， 当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点， 当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点， 当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点. 综上，当或时，函数只有一个零点， 当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点. 9．（2025·安徽黄山·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得，所以在上单调递减，在上单调递增， ，，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. （2），， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得，令，， 则，所以函数在上单调递减，又，由，得，则.综上，的取值范围为. 10．（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【详解】（1）由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即，所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 故实数a的取值范围为； （2）， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时，， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. 11．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数． (1)若，求函数的最大值； (2)若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1），, 由得，由得, 所以在上单调递增，在上单调递减，则． （2）（ⅰ）令，则． 当时，，单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，则， 易知当且趋向于0时，；当时，，因为有两个不同的零点， 所以，解得．所以的取值范围是. （ii），， 由得， 即， 令，则只需，即，． 令，则，令，则． 因为， 当时，，则单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求；    当时，在单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求． 当时，，则单调递增，， 从而单调递减，故，符合要求． 综上所述． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，即，亦即恒成立， 所以，所以，所以； （2）由题设恒成立，而时恒成立，此时， 由对称性只需在上恒成立， 令且，则， 令，则， 当时，，此时，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增，则，满足； 当时，由，则在上恒成立， 即在上单调递增，故在上单调递增， 而，时，，使， 故有，，此时，即在上单调递减，则有， 所以在上单调递减，故存在，不满足；综上，. 13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以切线的斜率为．又，所以切线方程为，即． （2），则， ①当时，， 所以在区间上恒成立，在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又，所以存在，使得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 即当时，取得最小值，因为，所以． 因为，所以当时，， 此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存在，使得，所以实数的取值范围是． 14．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点．不妨设．则当时，；当时，． 而，．所以．故． 15.（2026安徽宿州一模） 已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 【小问1详解】函数的定义域为，当时，，（这是因为）故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. 【小问2详解】注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 16. （2026安徽黄山一模）已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 【小问1详解】由， ①当时，，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，若，则，即在上单调递增； 若，则， 令， 若，即时， 当时，；当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，当时，； 当时，，由的连续性知在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，上单调递增． 【小问2详解】（Ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符； ②当时，由得，则在上只有一个零点，与题不符； ③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且, 则函数无零点，与题不符； ④当，在上单调递增且， 所以在上恰有一个零点， 又时，，若使有个零点，则， 即，即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （Ⅱ）令，即， 因为为函数的三个零点，且由（2）知， 所以有：，由于同号，两式相除得， 令等差数列的公差为，所以，得， 同理，由异号，所以，所以，得， 所以，得，解得． 代入，得，所以． 17. （2026山东枣庄一模）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 【小问1详解】因为，所以，因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】（ⅰ）因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．，此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以．因为，所以在区间内有1个零点，所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以，即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 18. （2026江西萍乡一模）已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【小问1详解】由题知的定义域为，且， 若，则,又,故恒成立，在上单调递增， 又，故不等式的解集为. 【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时，，故存在唯一的，使得，所以有两个零点. 【小问3详解】由（2）知，，，， 当时，，时，， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 1 学科网（北京）股份有限公司 $