精品解析：2026年江苏南通市海门区东洲中学中考模拟考试 数学·试题卷

绝密★启用前 南通市海门区东洲中学2026年中考模拟考试 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 若a为正数，b为负数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的加法和乘法法则对各选项进行判断． 【详解】解：∵a为正数，b为负数， ∴ ∵a为正数，b为负数，当>，则； 当<，则； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则，有理数的乘法法则．熟记有理数的加法、乘法法则是解决此题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如图： 共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种， ∴张老师与王同学走相同通道的概率为：， 故选：B 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解本题的关键在正确画出树状图．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比． 4. 下列事件是必然事件的是（    ） A. 今年8月3日一定会下雨 B. 如果a，b都是实数，那么 C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面向上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据必然事件和随机事件的概念，判断各事件发生的可能性，选出正确选项；必然事件是指一定条件下一定发生的事件，随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： A、今年8月3日下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； B、对任意实数，都满足加法交换律，该事件一定发生，是必然事件，符合要求； C、打开电视正在播放动画片可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面向上可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求出，再利用平行线分线段成比例可得出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于，设正六边形边长为，在正六边形中求得则，易得，，，设，则，分别求得计算即可． 【详解】解：连接，交于， 设正六边形边长为， 在正六边形中求得， 则，， ，易得四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，角所对的直角边等于斜边的一般以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质． 7. 已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含二次根式的一元方程整数根的求解及非负整数参数的确定，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再结合整数根的特征列举可能的整数解，代入方程求解参数并验证其非负整数属性． 由二次根式有意义得，即，列举的整数；将每个整数代入方程解出；判断是否为非负整数，统计符合条件的的个数，进而确定选项． 【详解】解：∵有意义， ∴，即；又方程至少有一个整数根，故为的整数，代入方程求： 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，非整数，不符合； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，代入方程得为负数或非整数，均不符合． 综上，符合条件的的值有、、，共个． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质即可判定①；②如图：连接，然后说明，即可判定②；③先证明四边形是矩形，然后求得为定值，即可判定③；④设，则，，则，再运用二次函数的性质求得x的取值范围即可判定④． 【详解】解：①如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且相似比为，即①正确； ②如图：连接， ∵，点H是线段的中点， ∴， ∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确； ③由②可得：， ∴点H在的垂直平分线上， 如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误； ④由①可知，且相似比为， 设，则，， ∴， 当面积大于9，即， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，解得：或， ∴的x的取值范围为：， ∴，即④正确； 综上，正确的有①②④共3个． 故选B． 9. 如图，在矩形ABCD中，，，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，则面积的最大值为（ ） A. 16 B. 17 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，解题的关键是判断出处于什么位置时面积最大． 当点移动到过点的直线平行于且与相切时，的面积最大，由于为切点，得出垂直于切线，进而得出，根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据，求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，的面积最大，如图， 过的直线是的切线， 垂直于切线， 延长交于，则， 在矩形中，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 的最大面积， 故选：B． 10. 已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①求出抛物线与坐标轴的交点A，C的坐标，利用两点间距离求出AC；②根据抛物线对称轴的求法即可求出对称轴；③延长AC，与直线交于点P，求出AC的表达式，可得点P坐标；④结合图像画出符合条件的平行四边形，从而判断点P的个数． 【详解】解：在中， 令x=0，则y=2， 令y=0，则， 解得x=或2， ∴A（，0），C（0，2）， ∴AC=，①正确； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，②正确； 延长AC，与对称轴交于点P，此时的值最大， ∵A（，0），C（0，2），设直线AC的表达式为：y=mx+n， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为y=4x+2， 令，则y=5， ∴当点P的坐标为（，5）时，的值最大，③错误； 如图，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 当AC为边时，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3个平行四边形， 当AC为对角线时，有AMCN1，共1个平行四边形， ∴符合条件的点M有4个，④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，最短路径问题，知识点较多，综合性较强，解题的关键是从图像出发，利用数形结合的思想解决问题． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 2021年12月28日，连淮扬镇高铁正式运营，在比例尺为的工程示意图上，高邮站到扬州东站全长约为，它的实际长度约为________． 【答案】65 【解析】 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，按题目要求解答即可． 本题考查了比例的性质，关键是理解比例尺的概念，掌握计算方法，解题时要注意单位的转换． 【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离，得： 它的实际长度为． 故答案为：65． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 13. 八年级（1）、（2）两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：则成绩较为稳定的班级是___． 【答案】甲班 【解析】 【分析】根据平均数相同，方差反应一组数据与平均数的离散程度越小说明比较稳定即可得出结论． 【详解】解：∵两班的平均成绩相同，，根据方差反应一组数据与平均数的离散程度越小说明比较稳定， ∴成绩较为稳定的班级是甲班， 故答案为甲班． 【点睛】本题考查平均数与方差，掌握平均数的求法与方差的求法，熟练方差反应一组数据与平均数的离散程度，方差越大离散的程度越大，方差越小离散程度越小，越稳定，与整齐等是解题关键． 14. 如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠OBP=90°，从而得到∠BOA=60°，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OB， ∵PB是圆O的切线， ∴∠OBP=90°， ∵∠P=30°， ∴∠BOA=60°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15. 在矩形中，，，对角线、交于点，点是边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为，与交于点，若为直角三角形，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，直角三角形的性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的折叠，相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的折叠的性质，直角三角形的性质，分类讨论，当时，可得，可得，可得的值；当时，根据相似三角形的判定和性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线交于点， ∴，， ∴，， 第一种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作于点， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， 第二种情况，如图所示，，是直角三角形， 根据折叠可得，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 16. 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现，为正整数， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为偶数，故①不符合题意； ∵ ∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小， ∴的最小值是；故③符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意； 故正确的有③④． 17. 如图，点是双曲线上的一个动点，连接并延长交双曲线于点将线段绕点逆时针旋转得到线段若点在双曲线上运动，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连结AC、OC，易证AO⊥OC，；由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，可证△ADO∽△OEC．从而得到，；设点A坐标为，则，设点C坐标为，从而有，即． 【详解】解：∵双曲线的图象关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称，则OA=OB， 如图，连结AC、OC， ∵将线段AB绕B逆时针旋转60°得到线段BC， ∴△ABC是等边三角形，， ∴OC⊥AB，△AOC为直角三角形， ∴， ∴ 过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E， ∵， ∴， 则， ∴， ∴△ADO∽△OEC， ∴， ∵， ∴，， 设点A坐标为， ∵点A在第一象限， ∴， ∴，， 又∵点在双曲线上， ∴， 设点C坐标为， ∵点C在第四象限， ∴，， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，有一定的难度．由联想到构造K型相似是解答本题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，在下列结论中：①无论m取何值，直线l一定经过某个定点；②过点O作，垂足为H，则OH的最大值是；③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，为等腰三角形，则；④对于一次函数，无论x取何值，始终有，则或．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】①当时，无论取何值，； ②结合①中结论以及垂线段最短进行判断； ③先求解A点及B点坐标，再用含有m的代数式表示OA与OB的长，最后令OA=OB，解得相应m的值，进行检验后，得出结论； ④由无论x取何值，始终有，推导出由无论x取何值，始终有，即对任意x均成立，由此推导得出，解得相应不等式即可得出m的取值范围，作出判断． 【详解】解：①当时，，一次函数恒过定点，故结论说法正确，符合题意； ②∵一次函数恒过定点，设，则，当且仅当点M与点H重合时，OH有最大值，此时，故结论说法正确，符合题意； ③令，解得，即，令，解得，即，则，，∵为等腰三角形，，∴，则，即或，化简得，或，解得，或或，经检验，．故结论说法错误，不符合题意； ④，∵无论x取何值，始终有，即无论x取何值，始终有 ，故，，解得，，故结论说法错误，不符合题意； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了含参一次函数的综合问题，包括恒成立问题、几何最值问题，充分理解一次函数的图象性质，恒成立的意义是解题的关键． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 按要求解答下列问题 （1）计算：； （2）化简：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 20. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】任务1：，统计图见解析；任务2：，；任务3：达到“效果显著” 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，频数直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键； 任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组，进而求得第，个数据分别为，，即可求得中位数，根据组的人数为人，用其占比乘以，进而求得组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和比较，即可求解． 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 补全频数分布直方图如图， 故答案为：． 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是 故答案为：，． 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 21. 某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； （2）已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【答案】（1）驾驶员能顺畅地从车中出来，理由见解析 （2）汽车不会占用到人行道，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用． 【小问1详解】 解：如图，过前车门顶点向车身作垂线，垂足为点． 根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为，， ∵车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离， ∴此时另一侧车身与墙之间的距离为， 则车身与墙之间的距离为 假设前车门与车身的夹角， 在中，， ∴． ∵， ∴驾驶员能顺畅地从车中出来； 【小问2详解】 解：考虑极限状态，如图，前车门顶点在墙上，过点作，过点作，与交于点，容易得到 当前车门完全打开时与车身夹角为，即， 在中，，， ∴，． 由（1），，∴ 在中，，， ∴， ∴， ∵与人行道的距离为厘米，， ∴汽车不会占用到人行道． 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关键． 22. 如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数． （1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由，是的直径，可得，根据锐角三角函数可求，的长度，由，可得，在中，根据锐角三角函数，即可求解， 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 故答案为：． 23. 感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） （1）如图①，已知在中，，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分,垂足为点F，交于点E；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （2）如图②，在中，，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯E亮的区域图形． 【答案】（1）该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 （2）在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数： （1）先求出，的值，再求出的面积，进而即可求出的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）作的垂直平分线，围成区域即为所求． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，即：，解得， ∴的面积为：， ∴感应灯B亮的区域面积为 ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； 【小问2详解】 ∵在中，，，为边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在中，， ∴， ∴ ∴， 作的垂直平分线，交于点E， 交于点F 则上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形， 在中，， ∴， ∴， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． 【小问3详解】 如图：作的垂直平分线，围成的图形（实线所围区域）即为所求． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为：，定值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用； （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点，， ，点到的距离为， ， 的面积为； 【小问3详解】 设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为 当点在点和点之间时，点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：. 25. 已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N． （1）求证：△ADM≌△FNM； （2）判断△DEM的形状，并加以证明； （3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△DEM是等腰直角三角形，见解析；（3）仍然成立，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可； （3）在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形， ∴CE＝FE，AD＝DC，∠CEF＝90°，AD∥EF． ∴∠1＝∠2． 在△AMD和△FMN中， ∵ ∴△AMD≌△FMN（ASA） （2）答：△DEM是等腰直角三角形． 由（1）得△AMD≌△FMN， ∴MD＝MN，AD＝FN． 在正方形ABCD中， ∵AD＝DC， ∴DC＝NF， 又∵EC＝EF， ∴EC﹣DC＝EF﹣NF，即ED＝EN． 又∵∠DEN＝90°， ∴△DEN是等腰直角三角形． ∴EM⊥MD，ME＝MD． ∴△DEM是等腰直角三角形； （3）答：仍然成立． 如图，在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H． 在△AMD和△FMP中， ∵ ∴△AMD≌△FMP（SAS）． ∴∠3＝∠4，AD＝PF， 又∵四边形ABCD、四边形CGFE均为正方形， ∴CE＝FE，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∠CEF＝∠ADC＝∠EFG＝∠ECG＝90°． ∴DC＝PF． ∵∠3＝∠4， ∴AD∥FH． ∴∠H＝∠ADC＝90°． ∵∠G＝90°，∠5＝∠6， ∠GCH＝180°﹣∠H﹣∠5， ∠GFH＝180°﹣∠G﹣∠6， ∴∠GCH＝∠GFH． ∵∠GCH+∠DCE＝∠GFH+∠PFE＝90°， ∴∠DCE＝∠PFE， 在△DCE和△PFE中， ∵ ∴△DCE≌△PFE（SAS）． ∴ED＝EP，∠DEC＝∠PEF， ∵∠CEF＝90°， ∴∠DEP＝90°． ∴△DEP是等腰直角三角形． ∴EM⊥MD，ME＝MD， ∴△DEM是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 26. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 【答案】（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断； （2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围； （3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3； （2）中，随的增大而减小， 当时，，故． 当时，， 根据题意可得：， ； （3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故． 当时，，即过， 当时，，即过， 将，都向下平移个单位，得到，， 根据题意可得：或， 或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南通市海门区东洲中学2026年中考模拟考试 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 若a为正数，b为负数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（    ） A. 今年8月3日一定会下雨 B. 如果a，b都是实数，那么 C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面向上 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，在矩形ABCD中，，，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，则面积的最大值为（ ） A. 16 B. 17 C. D. 10. 已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 2021年12月28日，连淮扬镇高铁正式运营，在比例尺为的工程示意图上，高邮站到扬州东站全长约为，它的实际长度约为________． 12. 因式分解：______． 13. 八年级（1）、（2）两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：则成绩较为稳定的班级是___． 14. 如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______． 15. 在矩形中，，，对角线、交于点，点是边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为，与交于点，若为直角三角形，则的长为____________． 16. 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 17. 如图，点是双曲线上的一个动点，连接并延长交双曲线于点将线段绕点逆时针旋转得到线段若点在双曲线上运动，则_____． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，在下列结论中：①无论m取何值，直线l一定经过某个定点；②过点O作，垂足为H，则OH的最大值是；③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，为等腰三角形，则；④对于一次函数，无论x取何值，始终有，则或．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 按要求解答下列问题 （1）计算：； （2）化简：； （3）解不等式组：． 20. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 21. 某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； （2）已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 22. 如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） （1）如图①，已知在中，，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分,垂足为点F，交于点E；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （2）如图②，在中，，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯E亮的区域图形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 25. 已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N． （1）求证：△ADM≌△FNM； （2）判断△DEM的形状，并加以证明； （3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． 26. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $