《图形小题》专题复习——2026年北师大版数学中考专题复习

《图形小题》专题复习——2026年北师大版数学中考专题复习 1、 七巧板问题 2、 折叠问题 3、 正方形中的高频考题 4、 矩形中的高频考题 5、 菱形中的高频考题 6、 平行四边形中的高频考题 一、七巧板问题 1. 乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4； （1）图2中小正方形②的边长________；线段________； （2）求对角线的长. 2. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 2、 折叠问题 （1）正方形中的折叠问题 3. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．(填序号) 4. 如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 5. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． （2）菱形中的折叠问题 6. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） （3）矩形中的折叠问题 7. 如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交 于点，若，，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，若，则的周长为______ ． 9. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 10. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（　　） A. 60° B. 75° C. 80° D. 85° 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝2，沿直线EF翻折，点A的对应点恰好落在对角线AC上，点B的对应点为，分别在线段EF，上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______． 12. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. （4）三角形中的折叠问题 13. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 三、正方形中的高频考题 14. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有______．（填所有正确结论的序号） 15. 如图，在边长为正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连接，，且与交于点．则下列结论：①；②；③若点是上的一动点，连接，，则最小值是；④．其中正确的序号是_______． 16. 如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______． 17. 如图，点是正方形对角线和的交点，是上一点，过点作DF⊥CE于，交于，过点作EH⊥BC于，已知正方形的边长为2，，则线段的长为__________． 18. 如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 19. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，则下列结论正确的有________（填序号）． ①；②若是的中点，则；③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形． 20. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 21. 如图，在正方形中，的平分线交边于G，的中垂线与的延长线交于E，与、、分别交于点M，N，F，若，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 四边形是菱形 D. 四、矩形中的高频考题 22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ） A．12.5 B．12 C．10 D．10.5 23. 如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接，，H为的中点，连接分别与、交于点N、K．则下列结论：①；②；③；④若点P是上一点，则最小值为．其中正确的结论有______．（填序号） 24. 如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 五、菱形中的高频考题 25. 如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 26. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 六、平行四边形中的高频考题 27. 平行四边形中，，，，是边上高．平分，交于点．连接，交对角线于点．以下结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 《图形小题》专题复习——2026年北师大版数学中考专题复习解析 一、七巧板问题 1. 乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个（如图2），已知原来七巧板拼成正方形的边长为4； （1）图2中小正方形②的边长________；线段________； （2）求对角线的长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出结果即可； （2）延长，过点A作于点E，根据七巧板的特点求出， ，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 即小正方形②的边长为， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：延长，过点A作于点E，如图所示： 根据七巧板的特点可知，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点． 2. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 【详解】解：设七巧板的边长为，则，， ∴矩形区域的面积， ∴空白部分的面积， ∴这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 3、 折叠问题 （1）正方形中的折叠问题 3. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．(填序号) 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，，推出，则，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ，， 故①正确； ， ，故②错误； 在中，， ， ， ， ， ，， ， 故③错误； ， ， 故④正确； 综上所述：正确的是①④． 故答案为：①④． 4. 如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后再Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【详解】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=15，∠BAD=∠D=90°， ∵CE=7， ∴DE=15-7=8， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH=GH， ∴∠BAH+∠ABH=90°， 又∵∠FAH+∠BAH=90°， ∴∠ABH=∠FAH， 在△ABF与△DAE中 ∴△ABF≌△DAE(ASA)， ∴AF=DE=8，BF=AE， 在Rt△ABF中， BF===17, ∴15×8=17AH， ∴AH=， ∴AG=2AH= AE=BF=17， ∴GE=AE-AG=17-=． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 5. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． （2） 菱形中的折叠问题 6. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠NBE=∠EDM =60°，从而易得∠DEM=∠BNE，则可判断①正确，从而即可判断②正确；设菱形的边长为3a，则DE=a，BE=2a，设AM=x，AN=y，由①得：，由ME=AM，NE=AN，即，则有3ax=ay+xy，3ay=2ax+xy，消去xy，整理即可得x:y=4：5，故可判断③错误；过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F，则在直角△MFD中，可分别求得MF、DF的长，从而在直角△MFC中，由勾股定理即可求得MC的长，从而可判断④正确与否． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD ∵∠A==60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=AD=BD，∠NBE=∠EDM=60° 根据折叠的性质，得∠MEN=∠A=60° ∴∠DEM+∠BEN=120° ∵∠BEN+∠BNE=120° ∴∠DEM=∠BNE ∴△MED∽△ENB 故①正确 ∵△MED∽△ENB ∴∠BEN=∠DME=20° ∴∠ENB=180°-∠BEN-∠NBE=100° 故②正确 设菱形的边长为3a，AM=x，AN=y ∵DE:BE=1:2 ∴DE=a，BE=2a ∵△MED∽△ENB ∴ 根据折叠的性质，得：ME=AM，NE=AN ∴ 即 ∴， 则有3ax-xy=ay，3ay-xy=2ax 消去xy，整理得：5ax=4ay 即得：x:y=4：5 ∴AM:AN =4：5 故③错误 如图，过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F ∵AB∥CD ∴∠MDF=∠A=60° 在直角△MFD中，∠FMD=90°-∠MDF=30° ∴FD=MD ∵M是线段AD的中点，且AD=4 ∴FD=4 ∴CF=CD+FD=6 在直角△MFD中，由勾股定理得 在直角△MFC中，由勾股定理得： 故④正确 ． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是设相应的参数，根据相似三角形对应边成比例得出两个方程，解出AM与AN的关系． （3）矩形中的折叠问题 7. 如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交 于点，若，，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接EH，先证明Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），得到CH＝FH，设AB＝x，则有AH＝x+，DH＝x﹣，在Rt△ADH中，＝42+，解出x＝3，在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，即可求AE＝． 【详解】解：连接EH， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵将△ABE折叠后得到△AFE， ∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵矩形ABCD， ∴∠C＝90°， ∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL）， ∴CH＝FH， ∵AD＝4，CH＝， 设AB＝x，则有AH＝x+，DH＝x﹣， 在Rt△ADH中，＝42+， ∴x＝3， 在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3， ∴AE＝， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，图形折叠的性质，掌握图形折叠的性质，通过证明三角形全等，勾股定理求出AB的长是解题的关键． 8. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，若，则的周长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．第一次翻折可得，，，第二次折叠，可求，，由，可求，则，再求的周长即可． 【详解】解：第一次折叠，如图， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质， ， ， ， 第二次折叠，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 9. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为D’，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为D'， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（　　） A. 60° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处， ∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE， ∵∠DMN=30°， ∴∠AME=180°-∠NME-∠DMN=60°， ∴∠AEM=90°-∠AME=30°， ∴∠EMB+∠EBM=30°， ∵ME=BE， ∴∠EMB=∠EBM=15°， ∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝2，沿直线EF翻折，点A的对应点恰好落在对角线AC上，点B的对应点为，分别在线段EF，上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______． 【答案】 【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J． 证明，求出ET＝1，，设，根据NF＝NE，可得，解方程求出x，可得结论． 【解析】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J． ∵四边形ABFT是矩形，∴AB＝FT＝3，BF＝AT， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝9，∠B＝∠D＝90°， ∴， ∵∠TFE＋∠AEJ＝90°，∠DAC＋∠AEJ＝90°，∴∠TFE＝∠DAC， ∵∠FTE＝∠D＝90°，∴△FTE∽△ADC，∴， ∴，∴TE＝1，，∴BF＝AT＝AE－ET＝2－1＝1， 设，∵NM垂直平分线段EF，∴NF＝NE，∴， ∴x＝1，∴， ∴。故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，交于H， ∵，点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴）， ∴， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． （4）三角形中的折叠问题 13. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、正方形中的高频考题 14. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有______．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE； ②在EF上取一点G，使EG=EC，连接CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF； ③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，解直角三角形求出ME，即可求出AE； ④由△CEG是等边三角形．得∠CEH=∠CGE=60°，CG=CE，再证△DEG∽△CGH，得，即可得出． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE=DE， 故①正确； ②在EF上取一点G，使EG=EC，连接CG， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE=∠ADE． ∴∠CBE=∠CDE， ∵BC=CF， ∴∠CBE=∠F， ∴∠CBE=∠CDE=∠F． ∵∠CDE=15°， ∴∠CBE=15°， ∴∠CEG=60°． ∵CE=GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE=60°，CE=GC， ∴∠GCF=45°， ∴∠ECD=∠GCF． 在△DEC和△FGC中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE=GF． ∵EF=EG+GF， ∴EF=CE+ED， 故②正确； ③过D作DM⊥AC交于M， ∵AB=BC=1， 根据勾股定理，得AC=， 由面积公式得：AD×DC=AC×DM，即×1×1=××DM， ∴DM=， ∵∠DAM=45°， ∴AM=DM=， ∵tan∠AED=，∠AED=∠ACD+∠CDE=60°， ∴ME==， ∴AE=AM+EM=+， 故③错误； ④如图， ∵△CEG是等边三角形． ∴∠CEH=∠CGE=60°，CG=CE， ∵∠AED=∠ACD+∠CDE=60°， ∴∠DEH=180°-∠AED -∠CEH =60°， ∴∠DEH=∠CGE， ∴DECG， ∴△DEH∽△CGH， ∴， ∴， 故④正确； 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 15. 如图，在边长为正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连按，，且与交于点．则下列结论：①；②；③若点是上的一动点，连接，，则最小值是；④．其中正确的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质判断①；证和，可判断②正确，根据对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解，可判断③；根据题意可得，进而得到，设，，则，，则，可推出，，根据勾股定理表示出，即可判断④正确． 【详解】解：四边形是正方形，点为边中点， ，，， ， ，，故①正确； ，，， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 如图所示，连接， 点是对角线上的一动点， ， 当、、三点共线时，最小，其最小值为，故③正确； 点为边中点， ， ， ， 设，，则，，则， ， ，， 中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．由垂直平分线的判定推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得，故④正确． 【详解】解：正方形ABCD中，AD＝CD， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确； ∴∠DFE＝45°， ∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠NBE＝45°， ∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°， ∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE， ∴∠FDB＝∠FEB，故②正确； 连接BM、DM，如图所示： ∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形， ∴BM＝DM＝EF， 又∵BC＝CD， ∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确； 过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°， ∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC， ∴MH是△BEF的中位线， ∴MH＝BF＝1， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键． 17. 如图，点是正方形对角线和的交点，是上一点，过点作DF⊥CE于，交于，过点作EH⊥BC于，已知正方形的边长为2，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，求出，求出，利用30度的直角三角形求出、，根据勾股定理求出，求出，即可求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ∵EH⊥BC， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、CF，如图，设CE的长为x，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝x，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝，然后根据直角三角形斜边上的中线得到方程即可求解． 【详解】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，设CE的长为x ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝x， ∴∠ACF＝45°＋45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF＝， ∵H是AF的中点， ∴CH＝AF＝3． ∴=6， 解得x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 19. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，则下列结论正确的有________（填序号）． ①；②若是的中点，则；③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，相似三角形判定与性质．将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，可得，而，有，故，①正确；过作，交延长线于，同理可证，，得，，设，，中，有，，设，则，，，即得，，②正确；的周长，即可得的周长，③正确；④由，可得，故，从而为等腰直角三角形，④正确． 【详解】解：①将绕点逆时针旋转得到，连接， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， 又， ， ， 而， 中，， ，故①正确； ②过作，交延长线于，如图： 同（1）可得，， ，， 设，，则，，，， 中，， ， 解得， 设，则， ，， 中，， ，故②正确； ③的周长 ， ， 的周长，故③正确； ④如图： ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴△AGF为等腰直角三角形，故④正确； 正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 20. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，证出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积可求出答案． 【详解】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处， ∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称， ∴AG⊥BF， ∴∠AGF=90°， ∵AH平分∠DAF， ∴∠FAH=∠FAD， ∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAH=∠BAD=45°， ∴△AGH是等腰三角形， ∴∠EAH=∠GHA=45°， 如图，设DF交AH于点N， ∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH， ∴AH⊥DF，FN=DN， ∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°， 又∵∠GHA=45°， ∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN， ∴∠DHF=90°， 连接BD， 由折叠可知AE⊥BF， ∴∠ABG+∠CBM=90°，∠ABG+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBM， ∴Rt△ABE≌Rt△BCM， ∴BE=CM=1，AE=BM， ∴DM=2， ∴S△BDM=DM•BC=3， ∵AE2=AB2+BE2， ∴， ∴AE=BM=， S△BDM=BM•DH=3， ∴DH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，的平分线交边于G，的中垂线与的延长线交于E，与、、分别交于点M，N，F，若，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 四边形是菱形 D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正方形中，的平分线交边于G，可得，求出，则B说法错误；根据线段垂直平分线的性质可得，，求出，证明，可得，即四边形是菱形，则C说法正确；求出可得，，然后可得，可判断A、D正确． 【详解】解：∵在正方形中，的平分线交边于G， ∴， ∵， ∴，故B说法错误； ∵的中垂线与的延长线交于E， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C说法正确； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，，故A说法正确； ∴， ∴，故D说法正确； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，二次根式的运算等知识，灵活运用相关知识进行解答是解题的关键． 四、矩形中的高频考题 22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ） A．12.5 B．12 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD． 【解析】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12， ∴， 在和中，， ∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE＝CF，EG＝FG， 设DE＝x，则BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝6＋x＋x＝6＋2x， 在中，，∴， ∵FH垂直平分BE，∴BF＝EF，∴， 解得x＝4.5，∴AD＝AE＋DE＝6＋4.5＝10.5，∴BC＝AD＝10.5．故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 23. 如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接，，H为的中点，连接分别与、交于点N、K．则下列结论：①；②；③；④若点P是上一点，则最小值为．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理得到，即可判断①； 根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，即可判断②； 根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式即可判断③； 过C作的对称点，交于T，作于W，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为，证明可求，，证明，可求 ，，，然后在中利用勾股定理求出，即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， 四边形是正方形，为的中点， ，，， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，故③正确； 过C作的对称点，交于T，作于W，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为， ，，， ， 、关于对称， ，， ， ，， ，， ， ， ，即， ， ， 同理可证， ∴，即， ，， ， ， 即的最小值为， 故④错误， 故正确的有：①②③． 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 24. 如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，证明，则，得，解得，在中，由勾股定理列方程得到，则，，设A点关于的对称点为，连接，则当、P、Q三点在一条线上时，最小，由垂线段最短可知当时，最小，即可得到的最小值． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴，， 如图，设A点关于的对称点为，连接，则 ，， ∴△AA’D’是等边三角形， ∵， ∴当、P、Q三点在一条线上时，最小，由垂线段最短可知当时，最小， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 五、菱形中的高频考题 25. 如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接，先由菱形性质可得对角线与交于点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点， 、、三点在同一直线上， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 26. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 六、平行四边形中的高频考题 27. 平行四边形中，，，，是边上高．平分，交于点．连接，交对角线于点．以下结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用含有角的直角三角形性质及勾股定理求出，，，，再由得，进而得，然后根据即可对结论①进行判断；②根据是等边三角形得， ，证明和相似得，进而得，由此即可对结论②进行判断；③先求出，根据，得，由此即可对结论③进行判断；④过点于点，先由三角形面积公式求出，再由勾股定理求出，则，进而再求出，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平行四边形中，，， ∴，， ∵是边上的高， ∴AF⊥BC， 在中，，则， ，则由勾股定理得， ∵平分， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ②由①可知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②不正确； ③∵，， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∴，故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： 由三角形面积公式得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故结论④不正确， 综上所述，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何综合，综合性强、难度较大，涉及含的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式、解直角三角形等知识，理解平行四边形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $