专题01平面向量及其应用（期中复习讲义，13考点6重难题型+分层验收）高一数学下学期湘教版必修第二册

专题01 平面向量及其应用 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 向量的概念与线性运算 题型02 平面向量的坐标运算 题型03 平面向量的数量积 题型04 向量垂直与平行的判定 题型05 向量在平面几何中的应用 题型06 平面向量的综合运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念与表示 能准确辨析向量的有关概念，规范表示向量，区分向量与数量 基础必考点，常出现在选择题.填空题前两题，侧重概念辨析 平面向量的线性运算（加.减.数乘） 能熟练运用三角形法则.平行四边形法则进行向量线性运算，掌握数乘向量的性质及运算律 高频考点，选择.填空.解答题均会涉及，常与向量坐标运算结合 平面向量的坐标表示与坐标运算 能根据条件求向量坐标，熟练进行坐标形式的加.减.数乘运算，会求向量的模 核心基础考点，贯穿向量所有题型，计算类小题必考，解答题解题基础 平面向量的数量积（定义.坐标形式） 掌握数量积的定义.几何意义及坐标运算公式，能熟练求两个向量的数量积.夹角 重中之重，选择.填空.解答题均为高频考查，常结合垂直.夹角问题命题 平面向量平行与垂直的判定 能熟练运用定义式和坐标式判定向量平行.垂直，掌握平行.垂直的充要条件 易错高频考点，选择题.填空题常考，易因公式记忆混淆出错 平面向量的模与夹角求解 能根据数量积求向量的模.两个向量的夹角，掌握夹角范围与数量积符号的关系 常考考点，选择.填空为主，偶尔在解答题中作为小问考查 平面向量在平面几何中的应用 能运用向量方法解决线段相等.平行.垂直.夹角等平面几何问题，掌握向量法解题步骤 综合考点，解答题常考，侧重考查知识应用与转化能力 知识点01 向量的表示法 1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点.方向.长度． 2.向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点02 向量的有关概念 1.向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2.零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3.单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点03 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点04 向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 知识点05 数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2.向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3.向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 知识点06 向量共线的条件 1.向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2.向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3.向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点07 平面向量的数量积 1.平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2.如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点08 平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角.钝角.直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点09 向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1. 2. 3.当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4.5. 知识点10 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2.如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量.，平面上的任何一个向量都可以用.唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有.的代数运算． 知识点11 平面向量平行（共线）的坐标表示 1.平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2.三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识点12 向量数量积的坐标表示 1.已知两个非零向量，， 2.设，则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为.，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点13 向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等.平行，常运用向量加法的三角形法则.平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行.三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形.正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形.正方形.直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 题型一 向量的概念与线性运算 解｜题｜技｜巧 1. 概念辨析：紧扣“大小+方向”，逐一分析特殊向量.相等向量.共线向量的定义，排除陷阱； 2. 线性运算：优先用三角形法则/平行四边形法则，结合图形找向量关系，遇三角形中线.重心可利用向量中点公式（）.重心性质（）简化运算； 3. 共线判定：利用共线向量定理，先设出向量表达式，再根据“唯一实数”列方程求解。 【典例1】(23-24高一下·北京翔宇中学·期中)以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量；④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误；对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.故正确的有①③，共两个.故选：B. 【典例2】(24-25高一下·贵州六盘水·月考)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，∴.故选：A. 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【答案】BD 【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错；零向量的长度为零，方向任意，故B正确； 若，的模长不一定相等，故C错；若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确.故选：BD. 【变式2】(24-25高一下·安徽县中联盟·)化简：（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为.故选：C 【变式3】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，.故选：C. 【变式4】(24-25高一下·江苏宿迁沭阳南湖高级中学·开学考)设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 题型二 平面向量的坐标运算 解｜题｜技｜巧 1. 坐标求法：向量坐标=终点坐标-起点坐标，若已知向量模与方向，可结合三角函数求坐标； 2. 坐标运算：严格按照加、减、数乘公式计算，分步运算避免出错； 3. 模长计算：直接用坐标模长公式，遇模长平方可转化为向量数量积简化运算； 4. 定点问题：设出未知点坐标，根据向量关系列方程，求解坐标即可。 【典例1】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量，，可得.故选：B. 【典例2】已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与方向相同的单位向量为.故选：C. 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以．故选：B． 【变式2】(23-24高一下·湖北襄阳鄂北六校联考·期中)已知向量，，若，则（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】向量，，由，得，所以.故选：B 【变式3】已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【答案】C 【详解】因为，，所以，.故选：C 【变式4】(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． (1)求顶点D的坐标； (2)求的面积． 【详解】（1）法一：设顶点的坐标为， 因为，， 又，所以， 即，解得.所以点的坐标为． 法二：由向量加法的平行四边形法则可知，其中为坐标原点， ， 而，所以点的坐标为． （2）由（1）可知，， 则，故， 因此是直角三角形．. 题型三 平面向量的数量积 解｜题｜技｜巧 1. 定义法求数量积：先找向量夹角与模长，注意夹角是两向量共起点时的角，若向量首尾相接需先转化为共起点； 2. 坐标法求数量积：直接代入坐标公式，适合已知向量坐标的情况，计算更快捷； 3. 数量积的变形应用：遇模长平方转化为数量积，遇夹角先求数量积再代入夹角公式； 4. 整体运算：利用数量积运算律展开，结合已知条件整体求解，避免单独求向量坐标。 【典例1】(24-25高三下·辽宁抚顺六校协作体·)已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【详解】因为，，，所以，， 则．故选：C. 【典例2】(22-23高三上·江苏南通·期中)在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示建立直角坐标系：由题意设，其中， 所以，令，所以， 所以， 所以 所以，所以的取值范围是.故选：D. 【变式1】(24-25高一下·广东佛山南海外国语高级中学·)已知向量，的夹角为，且，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为向量，的夹角为，且，，则. 故选：A 【变式2】(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】，.则，则. 故选：C 【变式3】(22-23高一下·江苏连云港灌云县·期中)已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在方向上的投影向量为，故选：C 【变式4】(2011高一上·湖北省沙市·期末)若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以， 故， ， ， 故 ，由于 ，故. 故选：B. 【变式5】如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 【详解】（1）因为菱形的边长为，，，， 由向量的线性运算法则，可得， 所以 . （2）由（1）知，， 可得，即， ，即， 所以. 题型四 向量垂直与平行的判定 解｜题｜技｜巧 1. 坐标法判定（首选）：平行，垂直，直接代入坐标列方程求解参数； 2. 定义法判定：平行利用共线向量定理，垂直利用数量积为0，适合未知坐标的情况； 3. 多参数问题：根据平行/垂直条件列方程，联立求解，注意检验参数是否满足题意（如避免零向量）。 【典例1】(22-23高二下·山西长治·期末)已知向量.若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，，.因为，所以，所以，所以，解得.故选：C 【典例2】若非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以， 得，所以与的夹角为.故选：B. 【变式1】(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，由，得，所以.故选：A 【变式2】(24-25高一下·陕西咸阳高新一中·)已知向量， ， 若，则_____. 【答案】 【详解】由于，所以，解得.故答案为：. 【变式3】(23-24高一下·湖南部分学校·期中)已知向量．若，则_________；若，则_________． 【答案】 【详解】由于，则时，，解得；则时，，解得.故答案为： ；. 【变式4】(24-25高一下·北京平谷区第五中学·月考)已知三点共线，则P的值为_____． 【答案】2 【详解】∵，∴，∵，∴，解得：.故答案为：2 【变式5】(22-23高一下·山东日照第一中学·)已知、、在同一平面内，且，. (1)若，且与共线，求的坐标； (2)若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？ 【详解】（1）与共线，则可设， ，，解得， 当时，；当时，， 故或. （2），， 则由题意得，解得， 此时， 故此时与同向. 【变式6】(22-23高一下·河北盐山中学·期中)已知向量，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 【详解】（1）由，， 所以， ，， 设向量与的夹角为，则. （2）若向量与互相垂直， 则，所以. 题型五 向量在平面几何中的应用 答｜题｜模｜板 步骤1：建系/设向量——根据几何图形特征，建立平面直角坐标系（优先选有垂直关系的边为坐标轴），或设出相关向量为未知向量； 步骤2：转化条件——将几何中的平行、垂直、线段相等、夹角等条件，转化为向量的共线、垂直、模相等、数量积等向量条件； 步骤3：向量运算——根据向量条件，进行坐标运算或线性运算、数量积运算，求解未知量； 步骤4：还原结论——将向量运算结果转化为几何结论，回答问题。 【典例1】已知，，，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】，，，，， 为直角三角形.故选：A 【典例2】在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】B 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，，设，，因为，所以，，.因为，所以，， 所以.当且仅当，即，时取等号.故选: B. 【变式1】(24-25高一下·贵州六盘水纽绅中学·月考)如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以， 故选：A. 【变式2】(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 【变式3】(24-25高一下·广西“贵百河”·月考)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】A 【详解】作，垂足为，如下图所示，则为的中点， 故.故选：A 【变式4】(24-25高一下·湖南永州·期中)已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 【答案】A 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2，由图可知，同理，  ．又 ，又由图知，，． 所以．故选：A. 【变式5】已知、、且 （1）证明：是等腰直角三角形 （2）求． 【详解】1）证明：由题意得， 因为，所以，所以是直角三角形 又，，， 是等腰直角三角形 （2）解：设点，则， ，且，解得，， ，，，，，， ． 题型六 平面向量的综合运算 解｜题｜技｜巧 1. 综合运算常结合线性运算、坐标运算、数量积运算，优先考虑坐标法，将向量问题代数化，降低思维难度； 2. 遇参数问题，根据已知条件（平行、垂直、模长、夹角）列方程，联立求解参数，注意分类讨论； 3. 遇向量与代数式结合的问题，利用数量积的运算律展开，结合进行转化； 4. 结合图形分析，利用几何性质简化向量关系，减少运算量。 【典例1】(23-24高一下·江苏扬州中学·期中)（多选）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，，则，解得，则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误；对于B，，则，解得，即，，，则与同向的单位向量为，B正确；对于C，当时，，又与的夹角为锐角，则，解得，且，即，C正确；对于D，由，得，即， 则，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 【典例2】(22-23高一下·湖南常德临澧县第一中学·)（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】AB 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，所以，，同理可得、，所以， 又因为，所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为，所以，所以， 所以，所以， 化简得：， 又因为不共线，所以，所以， 所以，错误；对于D：因为是的外心，，所以,，所以，因为，则，化简得：，由题意知同时为负，记，，则，因为，所以， 所以，所以，错误.故答案为：AB. 【变式1】(23-24高一下·河南濮阳第三次联考·月考)（多选）已知向量，满足，，则（    ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【详解】因为，所以，当且仅当，反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确；因为， 所以，当且仅当，反向时取最小值，同向时取最大值，故B错误；设，由A，B可知，，所以，所以，故CD正确.故选：ACD 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 【答案】CD 【详解】对于A选项，若，则，，与平行或与夹角为锐角，所以A错误；对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量，而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误；对于C选项，因为，所以，，所以C正确；对于D选项，为的重心，  则点，，分别为，，的中点，且，，， 则，所以D正确．故选：CD． 【变式3】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)（多选）已知向量满足，与的夹角为，则（    ） A． B． C．与共线 D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以，，所以，故正确； 因为，所以与不垂直，故不正确；因为，所以，所以与共线，故正确；因为，因，故，故正确.故选：. 【变式4】(24-25高一下·黑龙江实验中学·)（多选）下列说法正确的是（ ） A．在△ABC中，，E为AC的中点，则 B．已知，若与的夹角是钝角，则 C．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 D．在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形 【答案】ACD 【详解】 对于A，因为中，为的中点，所以， $，所以A正确； 对于B，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由得，得，当与共线时，得，所以当与的夹角是针角时且，所以B错误，对于C， 如图，以为原点建立直角坐标，则由题意可得，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为与是非零向量，所以所在的直线平分，因为， 所以，所以是等腰三角形，所以D正确. 【变式5】(23-24高一下·湖南慈利县第一中学·月考)如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.   (1)求； (2)当点为中点时，求：的余弦值； (3)当取得最小值时，设，求的值. 【详解】（1）， 由余弦定理知：， . （2）设，分别为的中点，， ,， ， 又. . （3）设， 当即时，取最小值，， ，， 三点共线，，. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（多选）已知非零向量、，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量是具有方向的量，若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；对于B，若，则一定有，故B正确；对于C，若，则只能说明非零向量、共线，当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．故选：BD． 2.化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D 3.(21-22高一下·陕西西安鄠邑区·期中)若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，故选：D 4．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C. 5．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而，所以与的夹角.故选：C 6．(23-24高一下·广东汕头潮阳区河溪中学·)已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 【详解】（1）由向量，得， 于是，而， 所以. （2）由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. （3）依题意，即， 于是，解得，所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·安徽A10联盟·)（多选）若向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与平行 C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确；B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；D选项：，又，所以，故D正确.故选：ACD. 2．(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知向量满足，则______． 【答案】 【详解】由，可得，即，又由，可得，即，整理得，即，即，联立方程组，可得，所以.故答案为：. 3．(24-25高三上·重庆杨家坪中学·期中)已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【详解】因为，所以，为单位向量，，又因为，所以，即，在方向上的投影数量为， 所以在方向上的投影向量为．故答案为：． 4．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，所以， 又，，，所以.故答案为： 5．(21-22高一下·吉林长春第二实验中学·期中)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 【答案】6 【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设，则，解得：， 所以.故答案为：6 6．(23-24高一下·安徽定远县第三中学·月考)如图，在中，点C，D分别在线段OA和AB上，.   (1)若，求的坐标和模； (2)若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 【详解】（1）因为，从而结合图形可知， 这表明是的中位线，即分别是的中点， 又， 所以， . （2）由三点共线可知， 存在使得，， 同理由三点共线可知，且由（1）可知是边中点，， 而，所以， 而显然不共线，所以只能，解得. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(24-25高一下·陕西商洛山阳中学·期中)（多选）已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 【答案】AC 【详解】由，则，即，所以， 又，所以，且，即，A选项正确； 若为中点，则，，则，B选项错误； ，C选项正确； 设，，则， 所以， 所以，D选项错误； 故选：AC. 2．(24-25高一下·湖南·期中)（多选）如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，故A正确．对于B，因为，故B正确．对于C，因为，故C错误． 对于D，设与的夹角为θ，则在上的投影为，由图可知 当点在点时，此时在上的投影最大，最大值为，当点在点时，此时在上的投影最小，最小值为，所以，即的取值范围为．故D正确． 故选：ABD 3．已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 【答案】 1 【详解】由题意可得，所以；则点在以为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当与夹角最小值为0， 当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接，易得为锐角且， 所以，所以此时与夹角的取值范围是.故答案为：；. 4．(22-23高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·)已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______． 【答案】2 【详解】以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边的边长为，则，设，则，，所以，，因为，所以 所以的最大值为2．故答案为：2 5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】取的中点，连接、，则 ，又，所以，，即，所以，．故的取值范围为．故答案为： 6．(23-24高一下·贵州学校卓越联盟·期中)在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 【答案】 【详解】  由，得，则，又在梯形中，，则，结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形．又，取中点，可得，，即为梯形外接圆圆心，所以，梯形外接圆以为圆心，2为半径的圆.以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图：设是角的终边，又因为点在圆上，所以，即，又，，，由，则，故．故答案为： 7．(24-25高一下·河北沧州四县学校联考·期中)如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)在仿射坐标系中，若，，且，求实数； (2)在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，存在实数使得，即， 所以，可得，解得． （2）①当时，，，， 所以， ，， 所以． ②因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以，解得， 因为，所以满足题意． 所以， 又因为，所以，所以的最大值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 向量的概念与线性运算 题型02 平面向量的坐标运算 题型03 平面向量的数量积 题型04 向量垂直与平行的判定 题型05 向量在平面几何中的应用 题型06 平面向量的综合运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念与表示 能准确辨析向量的有关概念，规范表示向量，区分向量与数量 基础必考点，常出现在选择题.填空题前两题，侧重概念辨析 平面向量的线性运算（加.减.数乘） 能熟练运用三角形法则.平行四边形法则进行向量线性运算，掌握数乘向量的性质及运算律 高频考点，选择.填空.解答题均会涉及，常与向量坐标运算结合 平面向量的坐标表示与坐标运算 能根据条件求向量坐标，熟练进行坐标形式的加.减.数乘运算，会求向量的模 核心基础考点，贯穿向量所有题型，计算类小题必考，解答题解题基础 平面向量的数量积（定义.坐标形式） 掌握数量积的定义.几何意义及坐标运算公式，能熟练求两个向量的数量积.夹角 重中之重，选择.填空.解答题均为高频考查，常结合垂直.夹角问题命题 平面向量平行与垂直的判定 能熟练运用定义式和坐标式判定向量平行.垂直，掌握平行.垂直的充要条件 易错高频考点，选择题.填空题常考，易因公式记忆混淆出错 平面向量的模与夹角求解 能根据数量积求向量的模.两个向量的夹角，掌握夹角范围与数量积符号的关系 常考考点，选择.填空为主，偶尔在解答题中作为小问考查 平面向量在平面几何中的应用 能运用向量方法解决线段相等.平行.垂直.夹角等平面几何问题，掌握向量法解题步骤 综合考点，解答题常考，侧重考查知识应用与转化能力 知识点01 向量的表示法 1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点.方向.长度． 2.向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点02 向量的有关概念 1.向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2.零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3.单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点03 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点04 向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 知识点05 数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2.向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3.向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 知识点06 向量共线的条件 1.向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2.向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3.向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点07 平面向量的数量积 1.平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2.如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点08 平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角.钝角.直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点09 向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1. 2. 3.当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4.5. 知识点10 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2.如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量.，平面上的任何一个向量都可以用.唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有.的代数运算． 知识点11 平面向量平行（共线）的坐标表示 1.平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2.三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识点12 向量数量积的坐标表示 1.已知两个非零向量，， 2.设，则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为.，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点13 向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等.平行，常运用向量加法的三角形法则.平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行.三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形.正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形.正方形.直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 题型一 向量的概念与线性运算 解｜题｜技｜巧 1. 概念辨析：紧扣“大小+方向”，逐一分析特殊向量.相等向量.共线向量的定义，排除陷阱； 2. 线性运算：优先用三角形法则/平行四边形法则，结合图形找向量关系，遇三角形中线.重心可利用向量中点公式（）.重心性质（）简化运算； 3. 共线判定：利用共线向量定理，先设出向量表达式，再根据“唯一实数”列方程求解。 【典例1】(23-24高一下·北京翔宇中学·期中)以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量；④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】(24-25高一下·贵州六盘水·月考)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【变式2】(24-25高一下·安徽县中联盟·)化简：（   ）． A． B． C． D． 【变式3】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·江苏宿迁沭阳南湖高级中学·开学考)设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量的坐标运算 解｜题｜技｜巧 1. 坐标求法：向量坐标=终点坐标-起点坐标，若已知向量模与方向，可结合三角函数求坐标； 2. 坐标运算：严格按照加、减、数乘公式计算，分步运算避免出错； 3. 模长计算：直接用坐标模长公式，遇模长平方可转化为向量数量积简化运算； 4. 定点问题：设出未知点坐标，根据向量关系列方程，求解坐标即可。 【典例1】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高一下·湖北襄阳鄂北六校联考·期中)已知向量，，若，则（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【变式4】(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． (1)求顶点D的坐标； (2)求的面积． 题型三 平面向量的数量积 解｜题｜技｜巧 1. 定义法求数量积：先找向量夹角与模长，注意夹角是两向量共起点时的角，若向量首尾相接需先转化为共起点； 2. 坐标法求数量积：直接代入坐标公式，适合已知向量坐标的情况，计算更快捷； 3. 数量积的变形应用：遇模长平方转化为数量积，遇夹角先求数量积再代入夹角公式； 4. 整体运算：利用数量积运算律展开，结合已知条件整体求解，避免单独求向量坐标。 【典例1】(24-25高三下·辽宁抚顺六校协作体·)已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【典例2】(22-23高三上·江苏南通·期中)在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·广东佛山南海外国语高级中学·)已知向量，的夹角为，且，，则（   ） A． B． C． D．3 【变式2】(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式3】(22-23高一下·江苏连云港灌云县·期中)已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(2011高一上·湖北省沙市·期末)若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5】如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 题型四 向量垂直与平行的判定 解｜题｜技｜巧 1. 坐标法判定（首选）：平行，垂直，直接代入坐标列方程求解参数； 2. 定义法判定：平行利用共线向量定理，垂直利用数量积为0，适合未知坐标的情况； 3. 多参数问题：根据平行/垂直条件列方程，联立求解，注意检验参数是否满足题意（如避免零向量）。 【典例1】(22-23高二下·山西长治·期末)已知向量.若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】若非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·陕西咸阳高新一中·)已知向量， ， 若，则_____. 【变式3】(23-24高一下·湖南部分学校·期中)已知向量．若，则_________；若，则_________． 【变式4】(24-25高一下·北京平谷区第五中学·月考)已知三点共线，则P的值为_____． 【变式5】(22-23高一下·山东日照第一中学·)已知、、在同一平面内，且，. (1)若，且与共线，求的坐标； (2)若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？ 【变式6】(22-23高一下·河北盐山中学·期中)已知向量，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 题型五 向量在平面几何中的应用 答｜题｜模｜板 步骤1：建系/设向量——根据几何图形特征，建立平面直角坐标系（优先选有垂直关系的边为坐标轴），或设出相关向量为未知向量； 步骤2：转化条件——将几何中的平行、垂直、线段相等、夹角等条件，转化为向量的共线、垂直、模相等、数量积等向量条件； 步骤3：向量运算——根据向量条件，进行坐标运算或线性运算、数量积运算，求解未知量； 步骤4：还原结论——将向量运算结果转化为几何结论，回答问题。 【典例1】已知，，，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【典例2】在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式1】(24-25高一下·贵州六盘水纽绅中学·月考)如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·广西“贵百河”·月考)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 【变式4】(24-25高一下·湖南永州·期中)已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 【变式5】已知、、且 （1）证明：是等腰直角三角形 （2）求． 题型六 平面向量的综合运算 解｜题｜技｜巧 1. 综合运算常结合线性运算、坐标运算、数量积运算，优先考虑坐标法，将向量问题代数化，降低思维难度； 2. 遇参数问题，根据已知条件（平行、垂直、模长、夹角）列方程，联立求解参数，注意分类讨论； 3. 遇向量与代数式结合的问题，利用数量积的运算律展开，结合进行转化； 4. 结合图形分析，利用几何性质简化向量关系，减少运算量。 【典例1】(23-24高一下·江苏扬州中学·期中)（多选）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 【典例2】(22-23高一下·湖南常德临澧县第一中学·)（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【变式1】(23-24高一下·河南濮阳第三次联考·月考)（多选）已知向量，满足，，则（    ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 【变式2】(24-25高一下·湖南永州·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 【变式3】(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)（多选）已知向量满足，与的夹角为，则（    ） A． B． C．与共线 D． 【变式4】(24-25高一下·黑龙江实验中学·)（多选）下列说法正确的是（ ） A．在△ABC中，，E为AC的中点，则 B．已知，若与的夹角是钝角，则 C．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 D．在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形 【变式5】(23-24高一下·湖南慈利县第一中学·月考)如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.   (1)求； (2)当点为中点时，求：的余弦值； (3)当取得最小值时，设，求的值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（多选）已知非零向量、，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.化简（    ） A． B． C． D． 3.(21-22高一下·陕西西安鄠邑区·期中)若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·广东汕头潮阳区河溪中学·)已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·安徽A10联盟·)（多选）若向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与平行 C．在上的投影向量为 D． 2．(24-25高一下·河南名校大联考·期中)已知向量满足，则______． 3．(24-25高三上·重庆杨家坪中学·期中)已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 4．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 5．(21-22高一下·吉林长春第二实验中学·期中)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 6．(23-24高一下·安徽定远县第三中学·月考)如图，在中，点C，D分别在线段OA和AB上，.   (1)若，求的坐标和模； (2)若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(24-25高一下·陕西商洛山阳中学·期中)（多选）已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 2．(24-25高一下·湖南·期中)（多选）如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 3．已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 4．(22-23高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·)已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______． 5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 6．(23-24高一下·贵州学校卓越联盟·期中)在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 7．(24-25高一下·河北沧州四县学校联考·期中)如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)在仿射坐标系中，若，，且，求实数； (2)在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $