期中复习讲义02 三角恒等变换10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义02 三角恒等变换 【考点一】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦、正切 【考点六】 二倍角的余弦公式 【考点二】用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【考点七】 二倍角的正切公式 【考点三】用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【考点八】 辅助角公式 【考点四】用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 【考点九】 三角恒等变换的化简问题 【考点五】二倍角的正弦公式 【考点十】给值求值型问题 一、三角恒等变换基础（基础考点，必记） 1. 核心前提（衔接前期知识） 三角恒等变换的核心是基于三角函数的基本关系，结合角的和、差、倍关系，对三角函数式进行化简、求值、证明，核心前提为同角三角函数基本关系及诱导公式，重点掌握以下常用结论： 同角三角函数关系：，（） 诱导公式核心原则：奇变偶不变，符号看象限（重点适配和差角公式的角变形，如，） 角的等价变形（高频实用）：，， 2. 核心思想 将不同角、不同名的三角函数，转化为同角、同名的三角函数，核心方法：角的拆分与组合、公式正用、逆用及变形应用，遵循“降幂、化同角、化同名”的原则。 二、两角和与差的三角函数（期中必考，核心考点） 1. 核心公式（带简记符号，易记易错） 所有公式均适用于，正切公式需满足分母不为0的条件，重点区分符号差异： 两角差的余弦公式（推导核心）：（简记：C(α-β)，余余正正，差角取加） 两角和的余弦公式：（简记：C(α+β)，余余正正，和角取减） 两角和的正弦公式：（简记：S(α+β)，正余余正，和角取加） 两角差的正弦公式：（简记：S(α-β)，正余余正，差角取减） 两角和的正切公式：（简记：T(α+β)，条件：） 两角差的正切公式：（简记：T(α-β)，条件：） 2. 公式变形（高频应用，解题关键） 正切公式变形（和差求值常用）： . . （由T(α+β)变形推导） 弦函数变形（凑角、化简常用）： . . . 3. 核心应用场景 给角求值：将非特殊角拆分为特殊角的和或差（如，），再套用公式计算。 给值求值：先分析已知角与所求角的关系（如），再结合公式变形求值，注意角的范围对三角函数值符号的影响。 三、二倍角的三角函数（重点难点，灵活应用） 1. 核心二倍角公式（由和差角公式推导，令） 对“二倍角”需广义理解：如是的二倍，是的二倍，是的二倍： 正弦二倍角：（简记：S2α，无变形，记准系数2） 余弦二倍角（三种形式，按需选用）： 基础式：（简记：C2α） 降幂式（高频）：， 正切二倍角：（简记：T2α，条件：） 2. 二倍角公式变形（高频必考，降幂、升幂核心） 核心记忆：“降幂扩角，升幂缩角”（降幂时角度翻倍，升幂时角度减半）： 降幂公式（化简、求值常用）： . . . 升幂公式（凑完全平方常用）： . . . 其他常用变形：（由正弦二倍角公式变形，高频应用） 3. 核心应用场景 降幂化简：将二次三角函数式（）转化为一次式，便于后续计算或求最值。 求值与证明：结合二倍角公式及和差角公式，解决含倍角、半角的三角函数求值、恒等式证明问题。 半角相关：由二倍角公式推导半角公式（了解即可，期中重点考查降幂变形）：，（符号由所在象限决定）。 四、辅助角公式（化简万能工具，期中高频） 1. 核心公式 对于形如（不同时为0）的三角函数式，可化为单一正弦或余弦函数形式，核心公式如下： 标准形式：，其中，（为辅助角，象限由的符号决定）。 备选形式：，其中（按需选用，优先化为正弦形式）。 2. 常用特例（快速解题，无需套完整公式） . . . . 3. 核心应用 将复杂的三角函数式化简为（或余弦形式），进而求三角函数的最值、周期、单调区间等，是期中大题的核心解题步骤之一。 【考点一】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦、正切 1.已知，，则（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．（2023高一下·甘肃兰州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦的两角和公式可得. 【详解】由余弦的两角和公式可得. 故选：A 3.已知，，，均为锐角，则______. 【答案】 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【详解】因为，，，均为锐角， 所以，， 所以 . 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则_____. 【答案】/ 【分析】将两个式子平方得出以及的表达式，即可求出答案. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ， 即    ，， ∴ ， 故答案为：. 5.（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量垂直列方程即可得实数k的值； （2）利用求出，再由同角基本关系式得到，最后三角恒等得到答案. 【详解】（1）； ，，；解得. （2）， , ，; ; ，; . 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求. （2）利用同角公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）由，得，而，， 则，， 所以 . （2）由（1）知，，， 由，得， 因此， 所以. 【考点二】用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 7.（24-25高一下·江苏南通·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据新定义计算，结合两角和与差的余弦公式展开化简可得． 【详解】由题意 ． 故选：A． 8．（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【详解】. 故选：A 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的和差公式即可求解. 【详解】. 故选：. 10．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【详解】. 故选：C 11.（24-25高一下·四川泸州·期中）________． 【答案】/ 【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解． 【详解】原式． 故答案为：． 12．（24-25高一下·山东聊城·期中）的值为___________. 【答案】/ 【分析】根据余弦两角和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 【考点三】用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 13.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式求出目标值. 【详解】. 故选：C 14．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，求得，结合两角和与差的正弦公式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 若，可得， 联立方程组，可得， 则，即充分性成立； 若，可得， 联立方程组，可得， 则，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 15.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）__________． 【答案】/ 【分析】根据两角和的正弦公式，化简求值. 【详解】， . 故答案为： 16．（24-25高一下·江苏连云港·期中）的值为________. 【答案】 【分析】根据正弦与余弦两角和差公式拆分角度结合特殊三角函数值化简即可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 17.（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式，结合同角公式求解即得. （2）由（1）的结论，利用同角公式的平方关系及和角的余弦公式求解. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 联立解得，， 所以. （2）由，得， 由（1）得，， 所以 . 18．（24-25高一下·四川成都·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先由，，得，进而由两角和的余弦公式可得； （2）先求得，然后根据两角差的正弦公式求得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为，且是锐角，所以， 因为，都是锐角，且，所以， 所以， 所以. 【考点四】用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 19.（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】．故选：A. 20.（24-25高一下·云南昆明·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以， 又因为，所以，， 所以. 故选：D. 21.（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则_________． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 22．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则______. 【答案】 【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得，从而得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以，，因为， 因为，所以， 故答案为： 23.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆交于点，点.    (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单位圆求出点的坐标，进而由三角函数的定义求函数值即可； （2）由（1）代入两角和的正切公式求解即可． 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的横坐标为， 所以，又是第一象限角，所以，即， 所以， 因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， 所以，又是第二象限角，所以， 所以， 所以； （2）由（1）知，，所以. 24．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，其中，． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合同角基本关系先求出，然后结合两角差的正切公式求出，进而可求； （2）结合同角基本关系及二倍角公式先求，，然后结合两角差的余弦公式即可求解． 【详解】（1）因为，，其中，， 所以，， 所以， 因为，所以； （2）由，可知，，， 所以，， 则． 【考点五】二倍角的正弦公式 25.（24-25高一下·四川内江·期中）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D 26．（24-25高一下·山东济宁·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由正弦的倍角公式，可得. 故选：B. 27．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，若，则________． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，求出，再结合的范围，确定的值. 【详解】因为， 解得或， 又，则，又，所以，则， 所以，所以. 故答案为：. 28．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）已知，且，则___________． 【答案】 【分析】先利用条件求出，结合平方关系及倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 所以； 因为，所以，所以， . 故答案为： 29.已知，为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由结合已知即可求解，结合二倍角正弦公式计算求解； （2）应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】（1）因为，且为第三象限角， 结合可知， 所以. （2）. 30．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知：. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式化简即可； （2）利用同角三角函数关系和两角和的余弦公式可得. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，且， 所以， 故 . 【考点六】二倍角的余弦公式 31.（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由． 故选：D． 32．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式列式求解. 【详解】设该等腰三角形的底角为，依题意，， 则，即，解得. 故选：A 33．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】由， 得. 故答案为： 34．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若，则__________. 【答案】/ 【分析】令，结合诱导公式代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 . 故答案为：. 35.（24-25高一下·辽宁大连·期中）（1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）先将正切化为正弦与余弦的形式，再利用三角函数公式进行化简； （2）根据三角函数的二倍角公式将式子化简，然后将正切值代入求解. 【详解】（1）化简 （2）已知，根据三角函数二倍角公式，对原式进行化简： 36．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（1）已知，，，，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两角差的正切可求的值. （2）利用换元法结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，，故，， 故，故，故， 故，故. （2）设，则且， 故. 【考点七】二倍角的正切公式 37.（24-25高一下·广西·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，求得，再利用正切的倍角公式，进行计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 又由. 故选：C. 38．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二倍角正切公式计算结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】由，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 39．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可. 【详解】由二倍角公式可得，即， ，，故上式化为， . 故答案为：. 40．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知 则______________________ 【答案】/0.68 【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解. 【详解】由于，故， 因此， 所以，故， ，故或， 当时，， 当时，， 故， 故答案为： 41.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先根据二倍角余弦公式求出与的关系，进而求出； （2）先求出的值，再结合的取值范围确定其具体值. 【详解】（1）已知，根据二倍角余弦公式， 且，可得： 设，则，即，解得. 因为，所以，则. （2）将代入二倍角正切公式可得：. 再根据两角和的正切公式. 因为，所以，又，所以. 在这个区间内，正切值为的角是，而，所以. 42．（24-25高一下·辽宁·期中）已知． (1)求的值． (2)已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)或3 (2)①；② 【分析】（1）根据二倍角正切公式列式求解即可. （2）①化切为弦结合列方程组求解即可； ②利用两角差的余弦公式展开，然后利用二倍角的余弦公式和正弦公式代入计算即可. 【详解】（1）由， 得，解得或3． （2）①由题意得，且． 由得 ② ． 【考点八】辅助角公式 43.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用辅助角公式及二倍角公式，结合角的变换求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以， 故选：C. 44．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 45.（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则________． 【答案】1 【分析】应用商数关系、差角余弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即可. 【详解】由题意可知， . 故答案为：1. 46．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）当时，取最小值，求的值________. 【答案】/ 【分析】先利用辅助角公式对已知函数解析化简，再结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】由， 其中，， 又当时，取最小值， 则，且， 所以 故答案为：． 47．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，函数的最大值为1，则______. 【答案】/ 【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式可得，再根据辅助角性质求解即可. 【详解】由函数 其中，， 所以的最大值为，可得， 又，所以. 故答案为： 48．（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则________. 【答案】 【分析】根据题意利用辅助角公式可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 令，， 则， 当，，即，时，取最大值， 此时，，所以. 故答案为：. 【考点九】三角恒等变换的化简问题 49.（23-24高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【详解】 . 故选：A. 50．（23-24高一下·江西南昌·期中）当时，不等式恒成立则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数公式化简不等式，由和三角函数的值域可求出的范围． 【详解】根据题意可得， ， ，则，， 则根据题意可得不等式组为：，解得． 故选：D． 51．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知，且，则_________. 【答案】/ 【分析】首先根据角的变换，再根据两角和差的余弦公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即， 得，且 所以. 故答案为： 52．（22-23高一下·江西赣州·期中）已知点，若，则__________. 【答案】 【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标表示结合三角恒等变换即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故答案为：. 53.（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简即可求值； （2）利用切化弦方法，结合二倍角公式和诱导公式，同角三角函数的关系化简求值. 【详解】（1）原式． （2） ， , ． 54．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数 (1)化简 (2)在锐角中，内角满足，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简， （2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果. 【详解】（1） ，所以， （2）， 因为， 所以， 因为，所以，所以 故 【考点十】给值求值型问题 55.（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，解得或舍去， 则 ． 故选：D． 56．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解. 【详解】因为，， 所以两式平方相加得， 即， 又因为， 所以，即，， 将代入， 得，即， 所以. 故选：D. 57.（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式求出答案. 【详解】 . 故答案为： 58．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解． 【详解】，， ，， ． 故答案为：． 59.（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【详解】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 60．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，． (1)求； (2)已知，．求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，即可求解； （2）利用角的变换，以及二倍角余弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以； （2）由，且，可知， 又因为，所以， 因为，所以； ， ， ； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02 三角恒等变换 【考点一】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦、正切 【考点六】 二倍角的余弦公式 【考点二】用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【考点七】 二倍角的正切公式 【考点三】用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【考点八】 辅助角公式 【考点四】用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 【考点九】 三角恒等变换的化简问题 【考点五】二倍角的正弦公式 【考点十】给值求值型问题 一、三角恒等变换基础（基础考点，必记） 1. 核心前提（衔接前期知识） 三角恒等变换的核心是基于三角函数的基本关系，结合角的和、差、倍关系，对三角函数式进行化简、求值、证明，核心前提为同角三角函数基本关系及诱导公式，重点掌握以下常用结论： 同角三角函数关系：，（） 诱导公式核心原则：奇变偶不变，符号看象限（重点适配和差角公式的角变形，如，） 角的等价变形（高频实用）：，， 2. 核心思想 将不同角、不同名的三角函数，转化为同角、同名的三角函数，核心方法：角的拆分与组合、公式正用、逆用及变形应用，遵循“降幂、化同角、化同名”的原则。 二、两角和与差的三角函数（期中必考，核心考点） 1. 核心公式（带简记符号，易记易错） 所有公式均适用于，正切公式需满足分母不为0的条件，重点区分符号差异： 两角差的余弦公式（推导核心）：（简记：C(α-β)，余余正正，差角取加） 两角和的余弦公式：（简记：C(α+β)，余余正正，和角取减） 两角和的正弦公式：（简记：S(α+β)，正余余正，和角取加） 两角差的正弦公式：（简记：S(α-β)，正余余正，差角取减） 两角和的正切公式：（简记：T(α+β)，条件：） 两角差的正切公式：（简记：T(α-β)，条件：） 2. 公式变形（高频应用，解题关键） 正切公式变形（和差求值常用）： . . （由T(α+β)变形推导） 弦函数变形（凑角、化简常用）： . . . 3. 核心应用场景 给角求值：将非特殊角拆分为特殊角的和或差（如，），再套用公式计算。 给值求值：先分析已知角与所求角的关系（如），再结合公式变形求值，注意角的范围对三角函数值符号的影响。 三、二倍角的三角函数（重点难点，灵活应用） 1. 核心二倍角公式（由和差角公式推导，令） 对“二倍角”需广义理解：如是的二倍，是的二倍，是的二倍： 正弦二倍角：（简记：S2α，无变形，记准系数2） 余弦二倍角（三种形式，按需选用）： 基础式：（简记：C2α） 降幂式（高频）：， 正切二倍角：（简记：T2α，条件：） 2. 二倍角公式变形（高频必考，降幂、升幂核心） 核心记忆：“降幂扩角，升幂缩角”（降幂时角度翻倍，升幂时角度减半）： 降幂公式（化简、求值常用）： . . . 升幂公式（凑完全平方常用）： . . . 其他常用变形：（由正弦二倍角公式变形，高频应用） 3. 核心应用场景 降幂化简：将二次三角函数式（）转化为一次式，便于后续计算或求最值。 求值与证明：结合二倍角公式及和差角公式，解决含倍角、半角的三角函数求值、恒等式证明问题。 半角相关：由二倍角公式推导半角公式（了解即可，期中重点考查降幂变形）：，（符号由所在象限决定）。 四、辅助角公式（化简万能工具，期中高频） 1. 核心公式 对于形如（不同时为0）的三角函数式，可化为单一正弦或余弦函数形式，核心公式如下： 标准形式：，其中，（为辅助角，象限由的符号决定）。 备选形式：，其中（按需选用，优先化为正弦形式）。 2. 常用特例（快速解题，无需套完整公式） . . . . 3. 核心应用 将复杂的三角函数式化简为（或余弦形式），进而求三角函数的最值、周期、单调区间等，是期中大题的核心解题步骤之一。 【考点一】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦、正切 1.已知，，则（    ） A． B．－ C．－ D． 2．（2023高一下·甘肃兰州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，均为锐角，则______. 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则_____. 5.（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求的值. 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【考点二】用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 7.（24-25高一下·江苏南通·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 8．（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 11.（24-25高一下·四川泸州·期中）________． 12．（24-25高一下·山东聊城·期中）的值为___________. 【考点三】用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 13.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15.（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）__________． 16．（24-25高一下·江苏连云港·期中）的值为________. 17.（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 18．（24-25高一下·四川成都·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【考点四】用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 19.（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 20.（24-25高一下·云南昆明·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 21.（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则_________． 22．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则______. 23.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆交于点，点.    (1)求的值； (2)求的值. 24．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，其中，． (1)求的值； (2)的值． 【考点五】二倍角的正弦公式 25.（24-25高一下·四川内江·期中）（   ） A．1 B． C． D． 26．（24-25高一下·山东济宁·期中）（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，若，则________． 28．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）已知，且，则___________． 29.已知，为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 30．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知：. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求. 【考点六】二倍角的余弦公式 31.（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知，则______． 34．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若，则__________. 35.（24-25高一下·辽宁大连·期中）（1）化简：； （2）已知，求的值． 36．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（1）已知，，，，求的值. （2）已知，求的值. 【考点七】二倍角的正切公式 37.（24-25高一下·广西·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则______． 40．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知 则______________________ 41.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 42．（24-25高一下·辽宁·期中）已知． (1)求的值． (2)已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【考点八】辅助角公式 43.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 45.（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则________． 46．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）当时，取最小值，求的值________. 47．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，函数的最大值为1，则______. 48．（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则________. 【考点九】三角恒等变换的化简问题 49.（23-24高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·江西南昌·期中）当时，不等式恒成立则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知，且，则_________. 52．（22-23高一下·江西赣州·期中）已知点，若，则__________. 53.（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： (1); (2)． 54．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数 (1)化简 (2)在锐角中，内角满足，求的值 【考点十】给值求值型问题 55.（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 56．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 57.（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，则______. 58．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为______． 59.（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 60．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，． (1)求； (2)已知，．求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $