第6课时探索规律-【随堂笔记】2025-2026学年三年级下册数学（冀教版·新教材）

三年级·下册·J小 第6课时 探索规律 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 探索数字9的规律（教材第24页例7) (1)任意取19中的两个数字组成两个两位数，探索它 们的差和9的关系以及除以9求出的商与这两个数字的关系。 举例：选取的两个数字是2和9.2和9组成的两位数是 29和92.92-29=63,63÷9=7,9-2=7。 发现：它们的差是9的（倍数），求出的商等于（这两个 数字的差)。 (2)在19中任选三个数字，组成一个最大的三位数和 学 一个最小的三位数。探索这两个数的差与9的关系，选取的最 新 大数字和最小数字与商的关系。 知 举例：选取的三个数字是3、4和5。组成最大的三位数是 543,最小的三位数是345.543-345=198,198÷9=22。 发现：这两个数的差是9的（倍数），选取的最大数字和 最小数字的差是几，结果就是（几十几）。 重点心 知识点②角谷猜想的验证（教材第25页例8）】 以10为例尝试，10÷25×3+116÷28÷2,4÷3221， 最终得到了1，符合“角谷猜想”。 将角谷猜想中的“逢单数乘3再加1”，改为“逢单数乘5 再加1”。以10为例尝试，10÷25×5+L26÷213×5+L66 ÷233最终的结果没有规律可循。 理 思 探索数字9的规律 探索规律 角谷猜想的验证 路 34 问题与运算（二） 课堂·听课笔记 精批注 7 探索规律。 (1)按下图给出的顺序计算。 在1~9九个数字中，任意取两个数字 组成两个两位数，求差 举例：选取的两个数字 是2和9.2和9组成 的两位裁是29和92。 用求出的差除以9 92-29=63 63÷9=7 写出结果 把你算的结果与同学交流一下。 (2)计算下面各题。 (21-12)÷91 (75-57)÷92 (72-27)÷95 (81-18)÷97 (95-59)÷94 (92-29)÷97 议一议 由19中任意两个数字组成的两个两位数，它们的差和9 有什么关系？它们的差是9的倍裁。 求出的商与这两个 数字有什么关系？ 这两个数字的差是几，求出的商就是几。 (3)在1~9中任选三个数字，组成一个最大的三位数和一个最小的三 位数，用这两个数的差除以9。至少写出三组，看一看你能发现什么。 举例：选取的三个数宇是3、4和5。组成最大的三位裁是543，最小的三位裁是345。 543-345=198198÷9=22 选取的三个数字是1、4和6。组成最大的三位数是641，最小的三位裁是146。 641-146=495495÷9=55 选取的三个裁字是2、3和5。组成最大的三位数是532，最小的三位裁是235。 532-235=297297÷9=33 发现：选取的三个裁宇中，最大数宇和最小裁字的差是几，结果就是几十几。 一35 随堂笔记·数学·三年级·下册·JJ 8 (1)按下图给出的顺序计算。 任取一个两位数 举例：以46作为起始数进行计算。 46323x3+1 70÷335 是双数，除以2； 是单数，乘3再加1 ×3+1 8021604x3+1532106 得出结果后，如上反复进行 ÷2 40产320*310253+1 16 最后得出结果是1，停止 任取一个三位数，按上面的顺序计算一下。 举例：以1O1作为起始数进行计算。 101×3+1304*2152*376÷338*319x3+1 58…经过若 千次计算后，结果是1。 发现：任取一个三位裁，按“逢双数除以2，逢单裁乘 3再加1”的规则重复进行运算，最终结果必定是1。 任选一个自然数(0除外)，按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1” 的规则重复进行运算，最终结果必定是1。这是著名的“角谷猜想”。 (2)将角谷猜想中的“逢单数乘3再加1”，改为“逢单数乘5再加1”， 结果会怎样？ 猜想：改为“逢单数乘5 像数学家一样大胆 再加1”后没有统一的规律。 猜想，再验证！ 举例：以13作为起始裁进行计算。 13x5+166*333×5+1166*283×5+L416*3208*3 104*352326 最终的结果没有规律可循。 36 问题与运算（二） 学方法 ◎运用归纳法解决探索规律问题 任取一个两位数，将其个位与十位数字交换位置得到新数，用较大数减 较小数，再将结果的个位与十位数字相加，最终结果一定是多少？ 思路分析：任取几个两位数，按照上面的操作计算一下。 个位与十位数 较大数减 结果的个位与 27 字交换位置 72 较小数 72-27=45 十位数字相加 4+5=9 个位与十位数 较大数减 结果的个位与 36 字交换位置 较小数 十位数字相加 63 63-36=27 2+7=9 个位与十位数 较大数减 结果的个位与 51 字交换位置 较小数 十位数字相加 15 51-15=36 3+6=9 正确解答：最终结果一定是9。 练习 任取一个数，先乘3再加6，再除以3，最后减2。用不同的数（如4、9、 15)计算，你发现结果和原数有什么关系？ 37 随堂笔记·数学·三年级·下册·J小 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：角谷猜想运算中规则使用错误 判断：根据角谷猜想的结论，可以写出34÷217×3+52×3+1 157… 易错解读：本题易错在进行角谷猜想运算时，混淆“单数和双数”的操作， 在遇到双数52时，错用“×3+1”，导致运算流程偏离，无法得到最终 结果1。所以本题的正确答案为×。 举一反三： 任取一个整数m,若m是单数，就将该数乘3再加上1；若m是双数， 就将该数除以2。反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入 循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的角谷猜想，若m=5,则 经过( )次步骤后变成1。 提素养 把55分成两个数的和有很多不同的分法。分成哪两个数时，这两个数的乘 积最大？分成哪两个数(0除外)时，这两个数的乘积最小？ 38本书练习题参考答案 问题与运算（二） ②提素养 第1课时不带括号的两级混合运算 1.68239992 2.(15-6)÷3=3(18+12)÷6=5 举一反三 2×(5+3)=169×(7-3)=36 (圈略)1233251 15÷（3+2)=3 ②提素养 62-（13+27)=22 1.(1)18+5×4=38(元) 13.(1)(61-34)÷3=9(元) 答：一共需要38元。 (2)(35-11)÷4=6(厘米) (2)每根香肠比每瓶饮料贵多少元？ 5-36÷9=1(元) 第4课时用不同方法解决问题 答：每根香肠比每瓶饮料贵1元。 举一反三 2.10-40÷5=2（元) （20+25)÷5=9(组) 答：平均每棵树苗可以便宜2元。 答：一共可以分成9组。 第2课时求比一个数的几倍多几（或 少几)的数 ②提素养 举一反三 1.(75+25)×5=500(元) 14×3-3=39（个) 答：一共花了500元。 答：妈妈剪了39个窗花。 2.方法一：(300-240)÷6=10（元） 0提素养 方法二：300÷6-240÷6=10（元) 答：一个排球比一个篮球贵10元。 1.62×2+8=132（棵) 答：三（1)班植树132棵。 第5课时用乘除混合运算解决问题 2.77×6-42=420(颗) 举一反三 答：白珠子有420颗。 250÷5×9=450（海里) 答：这艘轮船9小时能航行450海里。 第3课时带括号的两级混合运算 O提素养 举一反三 11.99÷3×8=264（个) 891856 181 随堂笔记·数学·三年级·下册·J小 答：每名工人可加工264个零件。 1要点2练习 2.(90-45)÷(45÷9)=9(天) 9×2+8=26(个) 答：剩下的还需要9天才能加工完。 答：小宇投中了26个。 I 第6课时探索规律 要点3练习 练习 4×16+8×4=96(元)96<100 以数字4为例：4×3+6=18,18÷3-2=4,1 答：兰兰带的钱够。 要点4练习 结果为4。 30=15+15 以数字9为例：9×3+6=33,33÷3- 15×15=225 2=9,结果为9。 答：这两个数都是15，它们的乘积是225。 以数字15为例：15×3+6=51,51÷3-1 2=15,结果为15。 二 观察物体 … 第1课时观察物体 发现：无论初始数字是什么，经过这一系举一反三 列运算后，结果总是等于原数。 明明丽丽华华浩浩 举一反 ②提素养 5 Q提素养 55=27+28 第2课时观察立体图形 27×28=756 举一反三 55=1+54 1( )(V)(/)() 1×54=54 ②提素养 答：分成27和28时，这两个数的乘积最大， 11.上前侧 分成1和54时，这两个数的乘积最小。 2.右或后上前或左 第一单元要点总结 第3课时判断拍摄位置与照片的对应关系 要点1练习 练习 49219712690 1③④②① ·182·- 本书练习题参考答案 举一反三 答：鲸1分钟能游660米。 ②③① 1(2)32-22=10(米) ②提素养 10×20=200(米)200>150 答：20秒后猎豹能追上羚羊。 ①③ 第2课时两位数乘两位数（不进位 的乘法 第二单元要点总结 举一反三 要点1①练习 (竖式略)286882736276 1.①④②③ ②提素养 2.☐V☐■ 11.10+1=11(人) 25×11=275(元) 3.④②①③ 答：她们买门票一共要用275元钱。 4.( )( )(V) 12.7-1=666÷6=11 要点2练习 11×21=231 1.她的说法不对。照片中看到的是兵马俑 答：正确的积应该是231。 第3课时两位数乘两位数（进位）的 的右侧，所以照片是在①处拍摄的。（合 乘法 理即可) 举一反三 (竖式略)280891014851288 2.3号4号1号2号 ②提素养 三 多位数乘法 11.35×28=980(元)58×28=1624（元） 1.两位数乘两位数 答：最少要花980元钱，最多要花1624 第1课时两位数乘整十数的乘法 元钱。 举一反三 12.26×34=884(个) 480220160010018002000720960 答：幸福剧场最多有884个座位。 ①提素养 第4课时乘数末尾有0的乘法 (1)1分=60秒 举一反三 11×60=660(米) 1(竖式略）192090039503600 183 随堂笔记·数学·三年级·下册·JJ Q提素养 2700820 2.（竖式略)39002520288013600 1.19×80=1520(元) 1要点2练习 答：一共花了1520元钱。 (竖式略)504156850754590 2.15-1=14(个) 14×50=700（厘米) 四 测量（二) 700厘米=7米 1.分米和毫米 答：第一位同学与最后一位同学的距离 第1课时认识分米 是7米。 举一反三 1504081020200 2.三位数乘两位数 ②提素养 11.米厘米分米厘米 举一反三 12.1×5=5（分米) （改正略)(1)×(2)X 15分米=50厘米 ②提素养 2×4=8(厘米) 50-8=42(厘米) 1.21×173=3633 答：长纸条有42厘米长。 答：积是3633。 第2课时认识毫米 2.110×45=4950(元) 举一反三 60-45=15(件) 毫米厘米分米 90×15=1350(元) ①提素养 4950+1350=6300(元) 11.4810 96×60=5760(元)5760<6300 1 2.略 答：商场是盈利的。 2.千米 第三单元要点总结 要点1练习 举一反三 1.480400039024008804900 13000 29001020032 184· 本书练习题参考答案 ②提素养 1②提素养 1.10时20分-9时40分=40分 (1)333542 75×40=3000(米) 3000米=3千米 (2)20 答：他家到省图书馆的距离是3千米。 第2课时复式统计表 2.3000米=3千米 ②提素养 欢欢家和乐乐家在学校的同侧：3-2=10 3151 1(千米) 12512 1 欢欢家和乐乐家在学校的两侧：3+2= 第五单元要点总结 5(千米) 要点1练习 答：他们两家可能相距1千米或5千米。 27713 第四单元要点总结 要点2练习 要点1练习 略 1.毫米分米 六生活中的小数 2.><>>=< 1.元、角、分与小数 要点2练习 第1课时元、角、分与小数 1.52 举一反三 2.1800+200=2000（米) 1二十九点四五三十九点三八十点零七 2000米=2千米 ②提素养 2÷1=2（分) 11.2.50.8 46.73 答：一共需要2分钟。 12.(1)85(2)927 五数据收集和整理 13.能组成6个不同的两位小数，分别是 4.56、4.65、5.46、5.64、6.45、6.54。 第1课时调查统计活动 第2课时比较小数的大小 举一反三 1举一反三 647 1(1)王霖王霖李超 185 随堂笔记·数学·三年级·下册·JJ (2)跳高：王霖第一，李超第二，陈浩 第2课时一位小数的进位加法 第三。 举一反三 100米赛跑：李超第一，王霖第二，1（竖式略）857.56181 陈浩第三。 ②提素养 实心球：王霖第一，陈浩第二，李 1(1)8.5+15.8=24.3(元) 超第三。 答：买一个玩具熊猫和一辆玩具汽 ②提素养 车共用24.3元钱。 1.>< >三> (2)15.8+30.2=46(元) 2.甲：42千克乙：38.5千克 答：买一架玩具飞机和一辆玩具汽 丙：45.8千克丁：36.5千克 车共用46元钱。 2.小数加减 第3课时一位小数的退位减法 第1课时一位小数的不进位加法、不 退位减法 举一反三 举一反三 （竖式略)0.611.92.222.7 （竖式略)0.32.37.70.7 ②提素养 1 ②提素养 (1)58.2-39.6=18.6(元) (1)5.2>3.4>1.15.2-1.1=4.1（元) 答：一盏台灯比一瓶洗发水贵18.6元钱。 答：三种文具中最贵的比最便宜的 （2)58.2+39.6=97.8（元) 贵4.1元钱。 97.8-7.4=90.4（元) （2)5.2+3.4=8.6（元) 答：一共要付90.4元钱。 5.2+1.1=6.3（元) 第4课时解决问题 3.4+1.1=4.5（元) 8.6>8>6.3>4.5 举一反三 答：可以买一个笔记本和一把尺子，1把15.7看成16,30-16=14（元） 需要6.3元钱；也可以买一支毛笔和14>12.5 一把尺子，需要4.5元钱。 答：能坐过山车。 ·186· 本书练习题参考答案 ②提素养 答：排球便宜了4.2元。 (2)45.8+17.9=63.7(元) (1)把11.5看成12，把17.8看成18。 答：一共花了63.7元。 12+18=30(元) 实际价格比30元少。 七 图形的运动（一) 答：够。 第1课时旋转和平移 (2)（答案不唯一) 举一反三 买法一：11.5+8.9=20.4（元) ☑☒☒☑ 40-20.4=19.6（元) Q提素养 买法二：17.8+14.8=32.6（元) 1.左1下1 40-32.6=7.4(元) 答：可以买一本《安徒生童话》和 12.B 第2课时轴对称及运用对称解决实际 一本《百科全书》，还剩19.6元； 问题 还可以买一本《故事会》和一本《成 举一反三 语故事》，还剩7.4元。 WW☐W 第六单元要点总结 ②提素养 要点1练习 1.略 1.<>>><= 12.A 2.(从左到右)苏亮赵宇李明 第七单元要点总结 3.1.2<5.8 要点①练习 答：一套三角尺贵一些。 △△⊙△ 4.1.45>1.38 1要点2练习 答：小明的身高高。 1略 要点2练习 !要点3练习 1.（竖式略)9.51.34.21.7 共有3种不同的添法，如下： 2.(1)50-45.8=4.2(元) 187- 随堂笔记·数学·三年级·下册·J小 130+31+31+10=102(天) 1102÷7=14(周)…4（天） 要点4练习 答：这年的教师节是星期四。 观察图案发现，相邻的两个图案是轴对称 Q提素养 图形，把长方形纸条一反一正折叠6层， 11. 日 画出字母F,用刻刀挖去，展开后就得到 2. 日 二 三 四 五六 了需要的图案。 1 2 3 45 6 7 8 9 10111213 14 1516 17181920 21 22 23 2425 2627 28 29 30 八探索乐园 (1)44 (2)22 (3)三 第八单元要点总结 第1课时简单的逻辑推理 举一反三 要点1练习 6 !小军拿的是蓝球，小林拿的是红球。 Q提素养 1要点2练习 (1)(答案不唯一)11+5=4+12，对 1.小亮拿的是英语书。 2.王阿姨是教师，丁叔叔是军人，李叔叔 角上两个数的和相等。 是工人。 1（2)(答案不唯一)7+8+9+14+15+ 16+21+22+23=135 第2课时月历中的数学问题 15×9=135 举一反三 9个数的和是中间数的9倍。 教师节是9月10号，从6月1号到9月10号： （3)20÷5+2=6 6月有30天，7月有31天，8月有31天，1 答：小明6号回家。 9月有10天。 188· 教材练习题参考答案 练一练（教材第15页）】 (2)(94-86)×5=40(元) 3.(1)(65-28)×4=148(元) 1.12×5-24=36(个) (2)(65+28)×2=186(元) 2.380÷4-72=23(元) 186<190,够。 3.(说一说略)65745384185121 4.(1)(172-58)×5=570(米) 4.124176300-372÷3=176 小林家离学校远，远570米。 675803128+75×9=803 (2)(172+58)×5=1150(米) 练一练（教材第17页） （3)略 1.16×6-2=94(元) 练一练（教材第23页 2.7×4+2=30（米) 11.(说一说略)71084516312621 3.36×3+36=144(千克) 2.30×4÷5=24(盘) 4.36×4-20=124(元) 13.18÷3×9=54(元) 练一练（教材第19页） 4.12×8÷6=16（天) 1.(画线略)24025720124 5.（1)320÷2×5=800(袋) 2.（1)9(135-72)÷7=9 (2)320÷2×8=1280(袋) (2)2043×(164-96)=204 练一练（教材第25页】 3.(58+34)÷4=23(本) （举例略)】 4.(50-22)÷4=7（千克) （1)24分成1和23时，这两个数的乘积 5.（说一说略)787110561231270 最小。 6.略 (2)24分成12和12时，这两个数的乘 练一练（教材第21页） 积最大。 1.750203529643180 整理与复习（教材第26页） 2.(1)(94+86)×5=900(元) 11.（说一说略)9619042491412261 189- 随堂笔记·数学·三年级·下册·JJ 2.(12+15)÷4=6(条)…3（人）1上面后面 6+1=7(条) 12.前面左面右面 3.294÷3×2=196(元) 3.略 4.(1)72×3-12=204（元) 练一练（教材第34页） (2)72×2+7=151（元) 1.小强小丽 5.(1)(12+14)×3=78(只) 12.略 (2)(14-12)×3=6(只) 13.略 综合练习（教材第27~28页】 练一练（教材第36~37页） 1.（说一说略) 1.上面侧面前面 (1)104803542127632 2.右面左面前面上面 1 (2)34654235425531 441 13.前面上面侧面 1855 「4.（涂色略)第一排的第二张图和第二排 2.300-(124+130)=46(袋) 的第一、三张图是从第一个长方体上看 3.30×9+920=1190(个) 到的图形；第一排的第一、三张图和第 4.1500-75×7=975（米) 二排的第二张图是从第二个长方体上看 5.380×9-120=3300(元) 到的图形。 6.25×6+76=226(名) 5. △ ○▣ 7.(1)(56+44)×9=900(元) △ (2)(56-44)×9=108(元) 练一练（教材第40页） 8.26×2×3=156（千克) 1.240480720960 9.(1)7×4×6=168（吨) 2.4201800880380360820 （2)126÷(7×2)=9(次) 210044025007503603200 练一练（教材第32页） 3.（1)20×15=300(元) 1.（从上到下，从左到右)前面侧面 （2)25×20=500（元) …190·