专题01 一元一次不等式（期中复习讲义，6重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 一元一次不等式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式性质判断题（基础题，易失分） 题型02 解一元一次不等式（基础计算题，必考题） 题型03 数轴表示解集/由数轴写不等式（组）（数形结合题） 题型04 解一元一次不等式组（求整数解/特殊解，高频题） 题型05 含参数不等式（求参数范围，难点题） 题型06 实际应用题（分配问题、方案问题、最值问题，综合题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一、不等式的概念与性质 1. 理解不等式定义，能识别不等式（含≠、＞、＜、≥、≤） 2. 掌握不等式5条基本性质，重点区分乘除正数/负数时不等号方向变化 3. 能利用性质判断不等关系、变形不等式 1. 常以选择、填空考查性质辨析，尤其负数乘除变号为高频易错点2. 分值占比约5%-8%，侧重基础应用，难度低 3. 与方程性质对比考查，易混淆“等式不变”与“不等式变号” 二、一元一次不等式的概念、解与解集 1. 明确一元一次不等式定义（1个未知数、次数为1、整式） 2. 区分“解”（单个值）与“解集”（所有解的集合） 3. 能判断某数是否为不等式的解 1. 选择题考查概念辨析，填空题考查解集理解 2. 结合数轴表示解集，考查数形结合基础 3. 分值约3%-5%，基础送分题，偶有概念陷阱 三、一元一次不等式的解法 1. 熟练掌握5步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 2. 规避易错点：去分母漏乘、去括号符号错、移项不变号、负数系数化1不变号 3. 规范求解并验证解集 1. 期中必考解答题，分值约6-10分，单独考查或结合应用考查 2. 步骤分严格，符号错误、漏乘是主要失分点 3. 常与方程解法对比，突出“变号”差异 四、解集的数轴表示 1. 掌握数轴表示规范：有等号用实心点，无等号用空心点，方向朝大/小 2. 能根据解集画数轴，也能由数轴写对应不等式 3. 理解数形结合思想 1. 选择、填空、解答均有考查，常和解法结合 2. 易错点：端点虚实、方向画反 3. 是解不等式组、含参问题的基础 五、一元一次不等式组的概念与解集 1. 理解不等式组定义，识别一元一次不等式组 2. 掌握“公共部分”即解集的含义 3. 熟悉4种基本解集类型（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了） 1. 选择、填空考查解集判断，常结合数轴 2. 分值约4%-6%，基础题，侧重口诀应用 六、一元一次不等式组的解法 1. 会分别解每个不等式，再用数轴找公共部分 2. 规范书写解集，能验证解集合理性3. 能解简单整数解问题 1. 解答题必考，分值约8-12分，步骤完整、数轴规范是得分关键 2. 整数解、范围判断为中档题型，易漏解 3. 期中常作为代数中档压轴考查 七、含参数不等式（组） 1. 会解系数含参不等式，分类讨论系数正负 2. 能根据解集整数解求参数范围 3. 结合数轴分析参数边界 1. 期中拔高/压轴题型，分值约5-8分2. 难点：分类讨论不全面、边界等号取舍 3. 区分度高，优生必掌握 八、一元一次不等式（组）的实际应用 1. 能从实际问题（分配、方案、最值、积分、优惠）提炼不等关系 2. 正确列不等式（组）、求解、检验并作答 3. 结合实际意义取舍解集 1. 解答题必考，分值约10-15分，期中代数应用核心 2. 关键词：至少、最多、不超过、不低于、方案最优 3. 难点：列不等式、结果取整 知识点01 不等式的概念与性质 概念：用 >、<、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子，叫做不等式。 5条基本性质（必考，尤其性质3，是高频易错点）： 1.加减不变：若 a > b，则 a ± c > b ± c（不等式两边同时加或减同一个数或整式，不等号方向不变）； 2.乘正不变：若 a > b，c > 0，则 ac > bc（不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变）； 3.乘负必变：若 a > b，c < 0，则 ac < bc（不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向必须改变，最易错点）； 4.传递性：若 a > b，b > c，则 a > c； 5.三歧性：a > b、a = b、a < b 三者必居其一，不存在其他情况。 知识点02 一元一次不等式的定义 判定一元一次不等式，需同时满足以下3个要素（缺一不可）： 1.只含有1个未知数； 2.未知数的次数为1； 3.不等式两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）。 示例：2x + 1 > 5（符合定义，✅）；x² + 3 > 0（未知数次数为2，❌）； + 2 < 0（分母含未知数，不是整式，❌）。 知识点03 一元一次不等式的解法 1.去分母：两边同时乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，切勿漏乘不含分母的常数项； 2.去括号：根据乘法分配律展开括号，若括号前是负号，括号内各项都要变号，不能只变首项； 3.移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项必须变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：将同类项合并，化为 ax > b（或 <、≥、≤）的最简形式； 5.系数化为1：两边同时除以未知数的系数a，注意： 若a > 0（系数为正），不等号方向不变； 若a < 0（系数为负），不等号方向必须反向（扣分重灾区，务必牢记）。 知识点04解集的数轴表示（直观体现解集，常结合解法考查） 空心圈 ○：表示 > 或 <，说明不包含该端点对应的数值； 实心点 ●：表示 ≥ 或 ≤，说明包含该端点对应的数值； 方向：大于向右画，小于向左画，线条延伸要规范，体现解集的无限性。 知识点05 一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 解集：一元一次不等式组中，所有不等式解集的公共部分，若没有公共部分，则该不等式组无解； 4种基本类型（设 a < b，高频考点，记口诀即可快速求解）： 不等式组形式 解题口诀 解集 x > a，x > b 大大取大 x > b x < a，x < b 小小取小 x < a x > a，x < b 大小小大取中间 a < x < b x < a，x > b 大大小小无解集 无解 知识点06 实际应用（列不等式/组解决问题，中考高频题型） 核心关键：将题目中的文字描述，转化为对应的不等号，找准不等关系是解题核心。 至少、不少于、不低于：对应 ≥； 至多、不超过、不高于：对应 ≤； 不足、低于、少于：对应 <； 超过、大于、多于：对应 >。 知识点07高频易错点（避坑指南，重中之重） 本章易错点集中在解题步骤的细节上，以下5点是最常扣分的地方，务必牢记并规避： 1.去分母漏乘常数项：如解 > 3 时，错解为 x - 1 > 3（漏乘常数项3），正确解为 x - 1 > 6； 2.括号前为负号，只变首项：如去括号 -2(x - 3) 时，错解为 -2x - 6（只变首项x的符号），正确解为 -2x + 6； 3.移项不变号：如解 3x + 5 > 10 时，错解为 3x > 10 + 5（移项5未变号），正确解为 3x > 10 - 5； 4.系数为负，不等号不变：如解 -2x < 4 时，错解为 x < -2（系数为负未变号），正确解为 x > -2； 5.数轴表示时虚实不分：混淆空心圈（>、<）和实心点（≥、≤），导致解集表示错误。 知识点08解题速记口诀（快速记忆，灵活运用） 去分母要乘全， 去括号看符号， 移项务必要变号，合并同类要细心， 系数化1看正负，负时变号记心头。 大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解没了。 题型一 不等式性质判断题（基础题，易失分） 解｜题｜技｜巧 看到“乘/除负数”的操作，立即标记“需要变号”，优先验证不等号方向是否正确； 遇到含字母参数的题目，先判断参数（系数）的正负，再确定解集的方向，不确定时可举例验证。 【典例1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知，下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么________．（填入“>”、“<”或“=”） 【典例3】．（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【变式1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如果 ，那么下列各式不能成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知，那么___________．（在横线上填“”、“”或“”） 题型二 解一元一次不等式（基础计算题，必考题） 解｜题｜技｜巧 步步书写，不跳步，尤其注意去分母、去括号、移项、系数化为1这四步，每一步都要标注依据（不等式性质）； 系数化1时，先看系数的正负，再确定不等号方向，牢记“负系数必变号”； 口诀辅助：移项要变号，负除要反向。 【典例1】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【典例2】．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式：． 【典例3】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【变式1】．解不等式：． 【变式2】．解不等式：． 【变式3】．解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【变式4】．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 题型三 数轴表示解集/由数轴写不等式（组）（数形结合题） 解｜题｜技｜巧 画数轴表示解集：遵循“定点→画圈/点→定方向”三步，先确定端点位置，再根据不等号类型画空心圈或实心点，最后根据“大于向右、小于向左”画折线； 逆向题（由数轴写不等式）：先看端点的虚实（确定不等号是否含等号），再看折线方向（确定不等号方向），最后写出不等式。 【典例1】．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【典例2】．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式1】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来．    【变式3】．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 题型四 解一元一次不等式组（求整数解/特殊解，高频题） 【典例1】．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式组： 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 【典例3】．（22-23七年级上·上海·期中）解不等式组：，写出x的最大整数 解． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 【变式2】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【变式3】．解不等式组： 【变式4】．解不等式组： 并写出其整数解 题型五 含参数不等式（求参数范围，难点题） 解｜题｜技｜巧 1.将参数视为常数，按照一元一次不等式（组）的解法，解出含参数的解集； 2.结合题目给出的条件（如“不等式有解”“不等式无解”“解集为x > 3”“有3个整数解”等），建立关于参数的不等式（组）； 3.求解参数范围，关键是临界值验证（判断端点是否能取等号，避免漏解或多解）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【典例2】．（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式2】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【变式3】．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 题型六 实际应用题（分配问题、方案问题、最值问题，综合题） 【典例1】．（24-25七年级下·上海·期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 【典例2】．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【典例3】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【典例4】．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【典例5】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【变式1】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【变式2】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【变式4】．（25-26七年级下·上海闵行·月考）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 【变式5】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式6】．（2024七年级下·上海·专题练习）市青少年宫决定组织学生开展研学活动，若每位老师带16名学生，还剩28名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．计划此次研学活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 (1)求参加此次研学活动的老师有多少人？参加此次研学活动的学生有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，请直接写出租用客车的辆数； (3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为________． 4．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 5．（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是______． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）计算： 8． （23-24七年级下·上海闵行·期末）解不等式：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 2．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的解集是_______． 4．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）若关于的方程的解为正数，则满足的条件是________． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了___________道题． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 9． （24-25七年级下·上海静安·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 1．（24-25七年级下·上海·期中）若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 二、解答题 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 5．（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 6．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 7．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 8．（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式性质判断题（基础题，易失分） 题型02 解一元一次不等式（基础计算题，必考题） 题型03 数轴表示解集/由数轴写不等式（组）（数形结合题） 题型04 解一元一次不等式组（求整数解/特殊解，高频题） 题型05 含参数不等式（求参数范围，难点题） 题型06 实际应用题（分配问题、方案问题、最值问题，综合题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一、不等式的概念与性质 1. 理解不等式定义，能识别不等式（含≠、＞、＜、≥、≤） 2. 掌握不等式5条基本性质，重点区分乘除正数/负数时不等号方向变化 3. 能利用性质判断不等关系、变形不等式 1. 常以选择、填空考查性质辨析，尤其负数乘除变号为高频易错点2. 分值占比约5%-8%，侧重基础应用，难度低 3. 与方程性质对比考查，易混淆“等式不变”与“不等式变号” 二、一元一次不等式的概念、解与解集 1. 明确一元一次不等式定义（1个未知数、次数为1、整式） 2. 区分“解”（单个值）与“解集”（所有解的集合） 3. 能判断某数是否为不等式的解 1. 选择题考查概念辨析，填空题考查解集理解 2. 结合数轴表示解集，考查数形结合基础 3. 分值约3%-5%，基础送分题，偶有概念陷阱 三、一元一次不等式的解法 1. 熟练掌握5步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 2. 规避易错点：去分母漏乘、去括号符号错、移项不变号、负数系数化1不变号 3. 规范求解并验证解集 1. 期中必考解答题，分值约6-10分，单独考查或结合应用考查 2. 步骤分严格，符号错误、漏乘是主要失分点 3. 常与方程解法对比，突出“变号”差异 四、解集的数轴表示 1. 掌握数轴表示规范：有等号用实心点，无等号用空心点，方向朝大/小 2. 能根据解集画数轴，也能由数轴写对应不等式 3. 理解数形结合思想 1. 选择、填空、解答均有考查，常和解法结合 2. 易错点：端点虚实、方向画反 3. 是解不等式组、含参问题的基础 五、一元一次不等式组的概念与解集 1. 理解不等式组定义，识别一元一次不等式组 2. 掌握“公共部分”即解集的含义 3. 熟悉4种基本解集类型（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了） 1. 选择、填空考查解集判断，常结合数轴 2. 分值约4%-6%，基础题，侧重口诀应用 六、一元一次不等式组的解法 1. 会分别解每个不等式，再用数轴找公共部分 2. 规范书写解集，能验证解集合理性3. 能解简单整数解问题 1. 解答题必考，分值约8-12分，步骤完整、数轴规范是得分关键 2. 整数解、范围判断为中档题型，易漏解 3. 期中常作为代数中档压轴考查 七、含参数不等式（组） 1. 会解系数含参不等式，分类讨论系数正负 2. 能根据解集整数解求参数范围 3. 结合数轴分析参数边界 1. 期中拔高/压轴题型，分值约5-8分2. 难点：分类讨论不全面、边界等号取舍 3. 区分度高，优生必掌握 八、一元一次不等式（组）的实际应用 1. 能从实际问题（分配、方案、最值、积分、优惠）提炼不等关系 2. 正确列不等式（组）、求解、检验并作答 3. 结合实际意义取舍解集 1. 解答题必考，分值约10-15分，期中代数应用核心 2. 关键词：至少、最多、不超过、不低于、方案最优 3. 难点：列不等式、结果取整 知识点01 不等式的概念与性质 概念：用 >、<、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子，叫做不等式。 5条基本性质（必考，尤其性质3，是高频易错点）： 1.加减不变：若 a > b，则 a ± c > b ± c（不等式两边同时加或减同一个数或整式，不等号方向不变）； 2.乘正不变：若 a > b，c > 0，则 ac > bc（不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变）； 3.乘负必变：若 a > b，c < 0，则 ac < bc（不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向必须改变，最易错点）； 4.传递性：若 a > b，b > c，则 a > c； 5.三歧性：a > b、a = b、a < b 三者必居其一，不存在其他情况。 知识点02 一元一次不等式的定义 判定一元一次不等式，需同时满足以下3个要素（缺一不可）： 1.只含有1个未知数； 2.未知数的次数为1； 3.不等式两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）。 示例：2x + 1 > 5（符合定义，✅）；x² + 3 > 0（未知数次数为2，❌）； + 2 < 0（分母含未知数，不是整式，❌）。 知识点03 一元一次不等式的解法 1.去分母：两边同时乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，切勿漏乘不含分母的常数项； 2.去括号：根据乘法分配律展开括号，若括号前是负号，括号内各项都要变号，不能只变首项； 3.移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项必须变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：将同类项合并，化为 ax > b（或 <、≥、≤）的最简形式； 5.系数化为1：两边同时除以未知数的系数a，注意： 若a > 0（系数为正），不等号方向不变； 若a < 0（系数为负），不等号方向必须反向（扣分重灾区，务必牢记）。 知识点04解集的数轴表示（直观体现解集，常结合解法考查） 空心圈 ○：表示 > 或 <，说明不包含该端点对应的数值； 实心点 ●：表示 ≥ 或 ≤，说明包含该端点对应的数值； 方向：大于向右画，小于向左画，线条延伸要规范，体现解集的无限性。 知识点05 一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 解集：一元一次不等式组中，所有不等式解集的公共部分，若没有公共部分，则该不等式组无解； 4种基本类型（设 a < b，高频考点，记口诀即可快速求解）： 不等式组形式 解题口诀 解集 x > a，x > b 大大取大 x > b x < a，x < b 小小取小 x < a x > a，x < b 大小小大取中间 a < x < b x < a，x > b 大大小小无解集 无解 知识点06 实际应用（列不等式/组解决问题，中考高频题型） 核心关键：将题目中的文字描述，转化为对应的不等号，找准不等关系是解题核心。 至少、不少于、不低于：对应 ≥； 至多、不超过、不高于：对应 ≤； 不足、低于、少于：对应 <； 超过、大于、多于：对应 >。 知识点07高频易错点（避坑指南，重中之重） 本章易错点集中在解题步骤的细节上，以下5点是最常扣分的地方，务必牢记并规避： 1.去分母漏乘常数项：如解 > 3 时，错解为 x - 1 > 3（漏乘常数项3），正确解为 x - 1 > 6； 2.括号前为负号，只变首项：如去括号 -2(x - 3) 时，错解为 -2x - 6（只变首项x的符号），正确解为 -2x + 6； 3.移项不变号：如解 3x + 5 > 10 时，错解为 3x > 10 + 5（移项5未变号），正确解为 3x > 10 - 5； 4.系数为负，不等号不变：如解 -2x < 4 时，错解为 x < -2（系数为负未变号），正确解为 x > -2； 5.数轴表示时虚实不分：混淆空心圈（>、<）和实心点（≥、≤），导致解集表示错误。 知识点08解题速记口诀（快速记忆，灵活运用） 去分母要乘全， 去括号看符号， 移项务必要变号，合并同类要细心， 系数化1看正负，负时变号记心头。 大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解没了。 题型一 不等式性质判断题（基础题，易失分） 解｜题｜技｜巧 看到“乘/除负数”的操作，立即标记“需要变号”，优先验证不等号方向是否正确； 遇到含字母参数的题目，先判断参数（系数）的正负，再确定解集的方向，不确定时可举例验证。 【典例1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知，下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，不符合题意； B、∵，∴，∴，正确，不符合题意； C、∵，∴，正确，不符合题意； D、时与可能相等，也可能，，故错误，符合题意， 故选：D． 【典例2】．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么________．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】＞ 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可 【详解】解：∵，， ∴＞， 故答案为：＞． 【典例3】．（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么______（填“＞”或“＜”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质判断A，B，取特殊值判断C，D即可． 【详解】解：A：∵a＞b，∴a-3＞b-3，故A错误，不符合题意； B：∵，∴，∴，故B正确，符合题意； C：当c=0时，，故C错误，不符合题意； D：a=1，b=-2时，a2＜b2，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 【变式2】．已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴, 故B符合题意； C、∵， ∴， 故C不符合题意； D、∵， ∴不一定成立 故D不符合题意； 故选：B． 【变式3】．如果 ，那么下列各式不能成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】A、两边同乘，不等号的方向要改变，正确，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式4】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知，那么___________．（在横线上填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 题型二 解一元一次不等式（基础计算题，必考题） 解｜题｜技｜巧 步步书写，不跳步，尤其注意去分母、去括号、移项、系数化为1这四步，每一步都要标注依据（不等式性质）； 系数化1时，先看系数的正负，再确定不等号方向，牢记“负系数必变号”； 口诀辅助：移项要变号，负除要反向。 【典例1】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 【典例2】．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则原不等式的解集为 【典例3】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 【变式1】．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 【变式2】．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则原不等式的解集为 【变式3】．解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 【变式4】．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 题型三 数轴表示解集/由数轴写不等式（组）（数形结合题） 解｜题｜技｜巧 画数轴表示解集：遵循“定点→画圈/点→定方向”三步，先确定端点位置，再根据不等号类型画空心圈或实心点，最后根据“大于向右、小于向左”画折线； 逆向题（由数轴写不等式）：先看端点的虚实（确定不等号是否含等号），再看折线方向（确定不等号方向），最后写出不等式。 【典例1】．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 【典例2】．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解不等式的基本能力，严格遵循基本步骤是基础，不等式两边都除以或乘以一个负数时不等号方向要改变． 根据解不等式的基本步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得不等式的解集，并表示在数轴上． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示解集如下： 【变式1】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 【变式2】．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 故原不等式组的解集是：， 把解集在数轴上表示出来为： ． 【变式3】．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，并在数轴上表示出解集． 【详解】解：， 由①得：x≤1， 由②得，x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x≤1， 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键． 题型四 解一元一次不等式组（求整数解/特殊解，高频题） 【典例1】．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【典例2】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图形见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．先分别求解两个不等式，再求公共解，并在数轴上表示解集． 【详解】解：由①得，， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 由②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 【典例3】．（22-23七年级上·上海·期中）解不等式组：，写出x的最大整数解． 【答案】，0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的最大整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的最大整数解是0． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）求不等式组的整数解． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，据此求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【变式2】．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 【变式3】．解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 则不等式组的解集为：． 【变式4】．解不等式组： 并写出其整数解 【答案】，整数解为：，0，1 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：，0，1． 题型五 含参数不等式（求参数范围，难点题） 解｜题｜技｜巧 1.将参数视为常数，按照一元一次不等式（组）的解法，解出含参数的解集； 2.结合题目给出的条件（如“不等式有解”“不等式无解”“解集为x > 3”“有3个整数解”等），建立关于参数的不等式（组）； 3.求解参数范围，关键是临界值验证（判断端点是否能取等号，避免漏解或多解）。 【典例1】．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 【典例2】．（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为______． 【答案】4 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查新定义两个不等式是“互联”，只能包含一个整数使得这两个不等式同时成立，解得不等式解集，，是“互联”的，得，进而求解． 【详解】解：， ， 不等式解集：， 和是“互联”的，要包含1但不包含2， ∴， 解得：， ∴a的最大值：4． 故答案为：4． 【典例3】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【变式2】．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式组，理解关联方程的意义并正确求解是解题的关键． （1）分别求出3个方程的解，求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的概念即可判断； （2）求出不等式组的解集，根据关联方程的概念写出一个方程即可； （3）求出不等式组中每个不等式的解集，则方程的解满足每个解集，从而求得m的范围． 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 【变式3】．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 题型六 实际应用题（分配问题、方案问题、最值问题，综合题） 【典例1】．（24-25七年级下·上海·期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的应用，根据心率的最高值和最低值列出不等式求解即可． 【详解】解：解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【典例2】．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【答案】 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 【典例3】．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是找出不等关系列出不等式．根据表中数据列出不等式求解，即可． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 【典例4】．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【答案】他最少要答对14道题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设他要答对道题，根据想得分不低于120分，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设他要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最小整数解为：14； 答：他最少要答对14道题． 【典例5】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【答案】(1)租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元 (2)共有6种租车方案 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，根据租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元，列出方程组进行求解即可； （2）设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 【变式1】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据长方形边长大于0，周长不大于20，列出不等式组，解一元一次不等式组即可得出结论． 【详解】解：由已知可得：， 解得：． 【变式2】．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 【答案】或 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】设勤奋小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解. 【详解】解：设勤奋小组一共有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些图书的总数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴，即, 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵为正整数， ∴或， ∴勤奋小组一共有人或人． 【变式3】．（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【变式4】．（25-26七年级下·上海闵行·月考）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 【答案】(1)台A型机器人 (2)方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）设购买机器人台，则B机器人台，则根据题意得到不等式，再解不等式即可； （2）设购买机器人台，则B机器人台，根据题意得到不等式组，求出整数解，即可求解方案． 【详解】（1）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得 因为为整数， 所以最多购入台A型机器人； （2）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得， 因为为整数， 所以取， 所以有三种方案，方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台． 【变式5】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 【变式6】．（2024七年级下·上海·专题练习）市青少年宫决定组织学生开展研学活动，若每位老师带16名学生，还剩28名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．计划此次研学活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 (1)求参加此次研学活动的老师有多少人？参加此次研学活动的学生有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，请直接写出租用客车的辆数； (3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】(1)参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人 (2)租用客车总数为8辆 (3)共有3 种租车方案：方案一：租用甲3 辆，乙5辆，租车费用2900元；方案二：租用甲2辆，乙6辆，租车费用3000元；方案三：租用甲1辆，乙7 辆，租车费用3100元；最节省方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，理由见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数除法的应用 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用a辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键． （1）设出老师有x人，学生有y人，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数； （2）根据汽车总数不能超过（取整为8）辆，即可求出； （3）设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可． 【详解】（1）解：设老师有x人，学生有y人， 依题意，得， 解得， 答：参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人； （2）∵每辆至少要有2名老师，参加此次拓展活动的老师有16人， ∴不能超过8辆； 汽车总数不能小于（取整为8）辆， 总数为8辆； 答：租用客车总数为8辆； （3）设租a辆甲种客车，由题意可得： ， 解得（a为整数）， ∴共有3 种租车方案： 方案一：租用甲3 辆，乙5 辆，租车费用2900元； 方案二：租用甲2 辆，乙6 辆，租车费用3000元； 方案三：租用甲1辆，乙7 辆，租车费用3100元； ∴最节省方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：当时， A、，该选项错误； B、，该选项错误； C、若，则，该选项错误； D、，，该选项计算正确； 故选：D 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了列不等式的知识，理解非负数即是大于或等于0的数，是解答本题的关键． 根据题意直接列不等式即可． 【详解】解：“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 5．（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中的两个方程相加可推出，则根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 8．（23-24七年级下·上海闵行·期末）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的解集是_______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解； 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为；． 4．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键，属于中考常考题型．根据解一元一次不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）若关于的方程的解为正数，则满足的条件是________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，解一元一次方程可得，由题意可以，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了___________道题． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设小聪答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分超过90分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小聪答对了x道题，则答错了道题， 依题意，得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为22．即最少答对22题， ∴小聪至多答错了道题． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 【答案】当时，关于的方程的解是正数 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，先解一元一次方程得出，结合题意可得，再解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵关于的方程的解是正数， ∴， 解得， ∴当时，关于的方程的解是正数． 8．（24-25七年级下·上海静安·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．再在数轴上表示出即可，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 1．（24-25七年级下·上海·期中）若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，进而得，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴符合条件的正整数m的值为1． 故答案为：1． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 4．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 5．（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质、运用完全平方公式进行运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减计算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将利用完全平方公式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， 而， ∴， ∴， 即． 6．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 7．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 8．（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【知识点】二元一次方程的解、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $