课时15 函数模型的应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

课时冲关15 [基础巩固练] 一、单选题 1.已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开 始运动，假设其经过的路程和时间x的函数 关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=x2,f(x) log2x,f（x)=2,如果运动时间足够长，则运 动在最前面的物体一定是 A.a B.6 C.c D.d 2.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公 式为pH=一lg[H门，其中[H]表示溶液中 氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的 氢离子的浓度通常在1×107.5~1×10元3对 之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正 常人体血液的pH值的范围是 A.[7.25,7.55] B.[7.25,7.45] C.[7.25,7.35] D.[7.35,7.45] 3.在某种新型材料的研制中，实验人员获得 了下列一组实验数据，现准备用下列四个 函数中的一个近似表示这些数据的规律， 其中最接近的一个是 ( x 1.992 3 4 5.15 6.126 1.5174.0418 7.5 12 18.01 A.y=2x-2 B.y= 2(x2-1) C.y=log2 D.y=log 4.射线测厚技术原理公式为I=I。e‘,其 中I。,I分别为射线穿过被测物前后的强 度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度， ρ为被测物的密度μ是被测物对射线的吸收 系数.工业上通常用镅241(21Am)低能y射 线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半 价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射 线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知 射线强度减弱为一半的某种物质厚度，l2≈ 0.6931,结果精确到0.001) ( A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 二、多选题 5.在一次社会实践活动中， 个ykg 某数学调研小组根据车 间持续5个小时的生产 情况画出了某种产品的 012345xh 第二章函数 函数模型的应用 总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的 函数图象，则以下关于该产品生产状况的 判断正确的是( A.在前3小时内，每小时的产量逐步增加 B.在前3小时内，每小时的产量逐步减少 C.最后1小时内的产量与第3小时内的 产量相同 D.最后2小时内，该车间没有生产该产品 6.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算 法”使用的公式是Pn=P(1十k)”(k>一1)， 其中Pn为预测期人口数，P。为初期人口数， k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔 年数，则 ( ) A.若k∈（一1,0），则这期间人口数呈下降 趋势 B.若k∈（一1,0），则这期间人口数呈摆动 变化 C当k=了，P.≥2P时，m的最小值为3 D.当k=- 3,卫，≤2P,时，n的最小值 为3 三、填空题 7.某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西 红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市 时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函 数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的 变化关系：Q=at+b,Q=at+bt+c,Q=a ·b,Q=a·log6t. 利用你选取的函数，求得西红柿种植成本 最低时的上市天数是 ,最低种植 成本是 元/100kg 8.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过 广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌 商品广告销售的收入R与广告费A之间满 足关系R=aA(a为常数)，广告效应为D =a√A一A.那么精明的商人为了取得最大 的广告效应，投入的广告费应为 (用 常数a表示). 261 高考总复习数学 [答题栏]四、解答题 9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经 1 济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养 鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平 -3 均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4 尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x -5 ≤20时，0是x的一次函数，当x达到20 --.6 尾/立方米时，因缺氧等原因，？的值为0 千克/年 (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解 析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长 量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并 求出最大值. 10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下 测得空气中一氧化碳含量达到了危险状 态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟 后测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm,继续排气4分钟后又测得浓度 为32ppm.由检验知该地下车库一氧化 碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间 存在函数关系y-(侣)”(c,m为数). (1)求c,m的值； ·262 (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下 车库中的一氧化碳含量才能达到正常 状态？ [能力提升练] 11.中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名 录，标志着中华五千年文明史得到国际社 会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文 明的范例，实证了中华五千年文明史.考 古科学家在测定遗址年龄的过程中利用 了“放射性物质因衰变而减少”这一规律. 已知样本中碳14的质量N随时间T(单 位：年)的衰变规律满足N=V。·2 (N。表示碳14原有的质量)，则经过 5730年后，碳14的质量变为原来的 ;经过测定，良渚古城遗址文物样本 中碳14的质量是原来的号至2，据此推测 良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间.（参考数据：1g2≈0.3， lg7≈0.84，lg3≈0.48) 12.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑 马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专 心学习的.如果每天的“进步”率都是 1%,那么一年后是(1+1%)35=1.0135；如 果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 (1一1%)5=0.99365，一年后“进步”的是“退 步”的1.01=1.01) 的6.99=(0.99 ≈1481倍.如果每 天的“进步”率和“退步”率都是20%，那 么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过 的时间大约是 天（四舍五入精确） (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771).时x3,x1关于直线x=2对称，所以x3十x1=4,故C正 确；由C项可知x3=4-x1,所以x3x1=(4-x1)x1= 一z十4x1,由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围 是(0,1)，故0<-4x+16x,-13<1,所以13<-+ 4 .7 4x1<之，故D正确.] 7.AC「函数f(x)=2-2十b 有两个零点，即y=2一2的 -y=2 图象与直线y=一b有两个交 点，交点的横坐标就是x1,x2 (x1>x2),在同一平面直角坐2西0丫23文 标系中画出y=2一2与y= 一b的图象如图所示，可知1<x1<2,21一2十22一2= 0,即4=21十22>2√21X2?=2√251+2，所以 2+2<4,所以x1十x2<2.] 8.解析：因为f(0)0,f(0.5)>0,由二分法原理得一个零 点，∈00.5：第二次位计第/(9）025 答案：(0,0.5)f(0.25) 9.解析：令g(x)=m-f(3-x)=0, 得f(3-x)=m, 若3-x≤3，则x≥0，f(3-x)=2 -|3-x; 若3-x>3,则x<0,f(3一x)= y=f(3-x) (3-x-3)2=x. 所以y=f(3-x) 2-3-x,x≥0 {x2,x<0 -8 ,x-1,0≤x<3 -x+5,x≥3， (x2,x<0 (x2,x<0 画出其图象如图所示，当x=3时，y=2. 由图可知，要使函数y=g(x)恰有3个零点，即y=m与 y=f(3一x)的图象有3个交点， 则m的取值范围是(0,2). 答案：(0,2) 10.解：(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2十2x.又因 为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-x-2x.所 以fx)=r2≥0， {-x2-2x,x<0. (2)方程f(x)=a恰有3个不同 的解，即y=f(x)与y=a的图象 有3个不同的交点.作出y= f(x)与y=a的图象如图所示， 故若方程f(x)=a恰有3个不同 的解，只需-1<a<1,故a的取 值范围为（一1,1）. 11.解：(1)2,3为方程x2+bx十c=0的两根， 6=2+3,6=-5, (c=2×3. ”c=6 f(x)=x2-5.x+6. (2)g(x)=x2+(m-5)x+6, 1g(1)>0, 依题意{g(2)0, (g(4)>0, 1 解得 <m<0, 故实教m的取值范国是(0） ·48 参考答案 12.BC[当x<0时，f(x)= x3-3x,则f(x)=3.x2-3= 3(x-1)(x十1)，当x∈(-∞， 一1)时，f(x)>0,f(x)单调 1 递增，当x∈（一1,0）时， f(x)<0,f(x)单调递减，作 -2-10斤23x 出f(x)的图象，如图所示. -1 [f(x)]-(2a十1)f(x)十a -2 十a=[f(x)-a][f(x)-a-1]=0,即f(x)=a与 f(x)=a十1共有6个不等实根，由图可知，若使f(x) =a与f(x)=a十1共有6个不等实根，只需满足 j0<a<2,即0<a<1.] 10<a+1<2, l3.解析：令函数f(x)=e十x一3，而函数y=e,y=x-3 在R上都是增函数，因此函数f(x)是增函数， 由x2满足e-x-2=0,得e-2-x2-2=0,即 e-2十(1-x2)-3=0,于是f1-x2)=0, 由x1满足e十x一3=0，得f(x1)=0,因此f(x1)=0 =f(1一x2),而函数f(x)在R上递增， 于是x1=1-x2,即x1十x2=1,所以e1+2=e 答案：e 课时冲关15函数模型的应用 1.D[在运动时间足够长时，指数函数f4(x)=2增长速 度大于二次函数f:(x)=x的增长速度，大于二次根式 函数∫2(x)=x立的增长速度大于对数函数∫3(x)= log2x的增长速度， 所以运动在最前面的物体一定是d.] 2.D[依题意，令pH1=-lg[1×107.]=7.45,pH2= -lg[1×10-1.5门=7.35，因此，正常人体血液的pH值的 范围是[7.35,7.45].] 3.B[由题中表格可知函数在(0，十o)上是增函，数，且y 的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合.] 4.C[由射线测厚技术原理公式得受=e1a,所以 2=e6,-ln2=-6.084≈0.114.] 5,BD[由该车间5个小时某种产品的总产量y(单位： kg)与时间x(单位：h)的函数图象，得前3小时的年产量 逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C 错误，D正确.门 6.AC[当k∈（一1,0）时，P。>0,01十k<1,由指数函 数的性质可知，P=P。(1十k)”是关于n的减函数，即人 口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k=子，P, p(侍)）≥2P,所以（侍）广'≥2，所以n≥lg42(n∈ N),log42∈(2,3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k 子卫.=p(号)”≤P,所以（号）广≤号所以n ≥log号7(aeN,log号7-log号2e1,2),所以n的最 小值为2，故D不正确.门 7.解析：因为随着时间t的增加，种植成本Q先减少后增加， 而且当t=60和t=180时种植成本相等，再结合题中给出 的四种函数关系可知，种植成本Q与上市时间t的变化关 系应该用二次函数Q=at十bt十c,即Q=a(t-120)十m描 速，将表中数据代入可得60-120十m=116:解得 {a(100-120)2+m=84, 33 高考总复习数学 {a=0.01,所以Q=0.01(1-120)y+80,故当上市天数为 m=80. 120时，种植成本取到最低值80元/100kg. 答案：12080 8.解析：令t=√A(t⊙0)，则A=t, 1 “当t=之a,即A=子a时，D取得最大值 1 19 答案：4a 9.解：(1)由题意得当0<x≤4时，v=2; 当4<x≤20时，设v=ax十b,a≠0 显然v=ax十b在(4,20]内单调递减， 1 由已知得20a十6=0·解得 a=-81 4a+b=2, b=2 5 所以U=一 8x+2 ,2,0<x≤4，x∈N 故函数v= {日+是4<2N (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可 2x,0<x≤4， 得f(x)= gr+4≤20， 当0<x≤4时，f(x)为单调递增， 故f(x)mx=f(4)=4×2=8; 当4K≤20时，f)=-g+号=-g-20) gx-10y+空=10)=12.5 1 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达 到最大，最大值为12.5千克/立方米. 10.解：(1)由题意可列方程组 1c=128, 两式相除，解得 m= (2)由题意可列不等式128（号）】 ≤0.5， 所以（）广≤(）广≥8，解得≥2 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量 才能达到正常状态 11.解析：V=N。·2,当T=5730时，N=N。· 2=… “经过5730年后，碳14的质量变为原来的合 由题意可知2话>号，两边同时取以2为底的对数得： 3」 3 -T、g7_g3-lg7≈-1.2， 1og2575>10g:7心5730>1g2 1g2 ·48 .T6876, ∴.推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876 年之间 答案：日 6876 12.解析：设经过x天“进步”的是“退步”的1000倍， 则1000×1-0.2r=1.2,即(&号) =1000,故x= 10g1000=lg1000 3 3 1.2 1g0.8 g3-1g2≈0.1767≈17. 答案：17 课时冲关16导数的概念及其意义、导数的运算 1.B[(x2)'=-2x3,.A错；(ccos 2)'=cosx-xsin, ∴.B对；(ln10)'=0,.C错；(e2)'=2e2w,.D错.] 2.C[由题意知s=100t-5t2,则s=100一10t, 令s'=0,则t=10,即该质点瞬时速度为0m/s时，时间t =10s.] 3B[设南线)=号-1在=1处的切线概针角为。， 因为f(x)=3x2,则f'(1)=√5，因为0≤a≤π，因此，a =] 4.C[设切点坐标为(xo,lnxo),由y=lnx的导函数为y 三知切线方程为yn（x一)，即y=中 1 lnx,-1.由题意可知a= 解得a=。] (lnxo-1=0, 5.A[设A1y,B(4）,由y=兰，得y=一号 巴由线C在A点处的切线方程为y一1三门 1),把P(1,2)代入切线方程，得2-1=一 4(1-x）: x 化筒得2x1十y一8=0，同理可得曲线C在B点处的切 线方程为2x2十y2-8=0,:A,B都满足直线2x十y-8 =0,.直线AB的方程为2x十y-8=0.] 6.C[设切点为(m,n), y=ln（x+b)的导数为y=z—b 由题意可得1 、m61, 又n=m-2a,n=ln(m十b), 解得n=0,m=2a, 即有2a十b=1,因为a、b为正实数， 所以+-（日+）水2中6)=2+2++号≥ a b b.40=8, 当且仅当2a=6=2时取等号， 故日十子的最小值为8，] 7.AC[对于A,若y=(x十1)nx,则y=nx十+1 1十1，故A正确： lnx十 对于B,(c0sπ)'=（一1）'=0，故B错误； 64