课时8 函数的奇偶性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

米 课时冲关8 [基础巩固练] 一、单选题 1.设f(x)为R上的奇函数，当x≤0时， f(x)=2x2+a-1,则f(a)= ( A.-2 B.2 C.0 D.4 2.若函数f(x)=x 1十 m 1-e 是偶函数，则 1m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 十x,x0, 3.已知函数f(x)= 为奇函 ax2+bx,x-0 数，则2a+3b等于 A.-1 B.1 C.5 D.-5 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x)=√+2，则不等式f(x)>x的 解集为 A.(-∞，-4)U(0,4) B.（-4,0)U(4,+∞) C.(-4,0)U(0,4) D.(-∞，-4)U(4,+∞) 5.已知函数f(x)=a.x3-bx+3,且f(-7) =m,f(7)=n,则 ( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.m+n=6 D.m-n=6 6.若函数f(x)=m(e一ex)+nln(x+ √x+1)+1(m,n为常数)在[1,3]上有最大 值7，则函数f(x)在[-3，一1]上 A.有最小值一5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值一7 二、多选题 7.下列函数既是偶函数，且在区间[0，十∞) 内单调递增的有 ( A.y=2x B.y=|x|-2 C.y=3.x2+1 1 D.y= 第二章函数 函数的奇偶性 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x十2y)= f(x)+2f(y),则 () A.f(0)=0 B.f(1)=1 C.f(x)是奇函数 D.f(x)在R上单调递增 三、填空题 9.若函数f(x)=er+ae是定义在R上的 奇函数，则实数a= 10.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域 为R,则下列说法正确的有 ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 f(x)十f(2x)=一x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(.x)使得 f(x)+f(2x)=一x恒成立； ③使得f(x)+f(一x)=cosx恒成立的 函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)一f(一x)=cosx恒成立的 函数f(x)存在且有无穷多个 四、解答题 11.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≤0 时，f(x)=一x2+4x-3, (1)求函数f(x)的解析式； 247· 高考总复习数学 [答题栏] (2)若f(2m-1)<f(m+1),求实数m (3)若当x>1时，f(x)>0,且f(2)=1, 的取值范围. 求不等式f(x+2)一f(x-1)<2的 解集. 2 3 ..4 -5 7 --8 -.13 .14 12.已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）U (0,十∞)，对任意x,y∈R且|x≠|yl,都满 足f(x十y)+f(x-y)=f(x2-y). (1)求f(1),f(-1); [能力提升练] 13.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函 数，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 且f(x)-g(x)=-a.x2+3.x一1.若对任 意1<，<<2都有）一8(x) x1一x2 一4，则实数a的取值范围是 ( A.(-∞，-1]U[0,+∞) B.(0,+∞) C.[-1,+∞) (2)判断f(x)的奇偶性； D.[-1,0) 14.[多选]已知函数f(x),g(x)定义域为R, Ef(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x-y), g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y),g(0)≠0， 则下列结论正确的是 () A.f(x)为奇函数 B.g(x)为偶函数 C.若f(1)+g(1)=1,则f(100)-g(100) =1 D.若f(1)-g(1)=1,则f(100)+g(100) =1 ·248·高考总复习数学 14.ACD[对于A,通数fx)=士在[号，3]上单调递 减，所以值城也是[片，3]故A正确： 对于B,因为函数f(x)=x2-4x十6的对称轴为x=2, 图象开口向上， 故函数f(x)在[2，b们上单调递增，所以其值域为[2，b -4b十6]， 又因为[2，b]为f(x)=x一4x十6的完美区间， 所以b2一4b十6=b,解得b=2或b=3,因为b>2,所以 b=3,B错误； 对于C,若f)=一合十受存在2倍关好区间， 则设定义域为[a,b],值域为[2a,2b], 当0a<6时，易得f)=-合十号在区网上单调 递减， ,两式相减，得a十b=4,代入方程组 26+号-2a 1 解得a=1,b=3,C正确； 对于D,f(x)的定义域为{xx≠0，假设函数f(x)= mx-l <0 存在“完美区间”[a,b], x 1 m- ,x>0 x 若b<0,由函数f(x)在（一o∞，0）内单调递减，则 m+=b a ,解得m=0: m+古=a 若a>0,由函数f(x)在(0，十∞)内单调递增， 则3 ⊥b 即工=m-1在(0，十0)有两解a,b,得m>2, 故实数m的取值范围为(2，十∞)U{0},D正确.] 课时冲关8函数的奇偶性 1.A[因为f(x)为R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x 十a-1, 所以f(0)=a一1=0，解得a=1, 所以当x≤0时，f(x)=2x, 所以f(a)=f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2=-2.] 2A[函数)=（十）的定义城为z≠0， 由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 即-(+）(+）理得” e-1 =-2,所以m=-2.] 3.B[画数)=，≤0，为奇孟数，当>0时， lax'+bx:x>0 -x<0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2十(-x)] =-x2十x, 而当x>0时，f(x)=a.x2十bx,因此a=-1,b=1,即 f(x)=-x2+x, 当x<0时，-x>0,则f(x)=-f(-x)= -[-(-x)2十(-x)]=x十x,符合题意， 又f(0)=0,所以a=-1,b=1,2a十3b=2×(-1)十 3×1=1.] ·41 4.A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，由当x>0时， f(x)=√E+2, 得当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(√一x十2)= -一z-2,f(0)=0, 当x>0时，f(x)>x台w√E+2>x,即(WG-2)(√E+1)<0, 解得0x<4, 当x<0时，f(x)>x台-√一x-2>x台（√一五-2） (√一x十1)>0，解得x<一4， 当x=0时，f(x)>x无解，所以不等式f(x)>x的解集 为(-∞，-4)U(0,4).] 5.C[f(x)+f(-x)=a(x3-x)-b(x-x)+6=6. 因为f(-7)=m,f(7)=,所以m十n=6.] 6.A [i g(x)=f(x)-1=m(e-e *)nln(z+ √x2+1), 因为√+1>√=x,所以x十√π+1>0恒成 立，所以g(x)的定义域为R且关于原点对称， 又g(-x)=m(ex-e)十nln(-x十√x+1) =-me-e)+血（V2于i十x) 1 =-[m(e-ex)十nln(x十√x+1)]=-g(x), 所以g(x)是奇函数， 因为f(x)在[1,3]上有最大值7，所以g(x)在[1,3]上有 最大值为6， 所以g(x)在[-3，-1]上有最小值-6， 所以f(x)在[-3，-1门上有最小值一5.门 7.BC[A中，设f(x)=2x, 则f(-2)=-4,f(2)=4,f(-2)≠f(2), 故f(x)不是偶函数，故A错误； D中，设g)=,则g1)=1,g2)=子 g(1)>g(2), 故g(x)在[0，十∞)内不单调递增，故D错误； B中，设s(x)=|x-2,则s(-x)=-x|-2=s(x),故 s(x)为R上的偶函数， 而当x≥0时，s(x)=x一2，该函数在[0，十o)内单调递 增，故B正确： C中，设t(x)=3x2十1，则t(-x)=3x2十1=t(x),故 t(x)为R上的偶函数， 而当x≥0时，t(x)=3.x2十1在[0，十∞)内单调递增，故 C正确.] 8.AC[由f(x+2y)=f(x)十2f(y)知， 当x=y=0时，f(0)=3f(0),即f(0)=0,故A正确； 取f(z)=一x,则f(x)满足条件f(x十2y)=f(x)十2f(y), 但f(1)=一1，且f(x)是在R上单调递减，故B,D 错误； 当x=-t,y=t时，f(t)=f(-t)+2f(t), 即f(-t)=一f(t),故C正确.] 9.解析：由f(x)是R上的奇函数得，f(0)=1十a=0,解得 a=-1,则f(x)=ex-e, 所以，f(-x)=e-e=-f(x),则f(x)=ex-e为 奇函数，符合题意， 答案：-1 10.解析：利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证 后可判断②③的正误， 对于①，若存在R上的增函数f(x),满足f(x)十f(2x) =一x, 则f(0)十f(2×0)=一0即f(0)=0, 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+ f(2x)>f(x)+f(2x), 故一2x>一x即x0,矛盾，故①错误； 1 对于②，取f()=一3x,该函数为R上的减函数且 f(x)+f(2x)=-x, 故该函数符合，故②正确； 对于®，取f)=合asx十m,m∈R, 此时f(x)十f(-x)=cosx,由m∈R可得f(x)有无穷 多个，故③正确； 对于④，若存在f(x),使得f(x)一f(一x)=cosx,用 -x代换x,得f(-x)-f(x)=c0sx, 由上可得20sx=0恒成立，显然不正确，故满足f(x)一 f(一x)=c0sx的函数不存在，故④错误. 答案：②③ 11.解：(1)当x>0时，则一x0. 由题意可得：f(x)=f(一x)=一（一x)2十4（一x)一3= -x2-4x-3, 所以函数f(x)的解析式为f(x) -{网 (2)因为y=一x2十4x-3的开口向下，对称轴为x=2, 可知函数∫(x)在（一o∞，0]内单调递增， 且函数f(x)是R上的偶函数，可知函数f(x)在[0，十oo) 内单调递减， 若f(2m-1)<f(m十1)，则12m-1>m+1, 整理可得m2-2m>0,解得m>2或m<0, 所以实数m的取值范围为(-∞，0)U(2,十∞). 12.解：(1)因为对任意x,y∈R且x≠y,都满足∫(x十 y)+f(x-y)=f(x2-y2), 令x=1,y=0,得f(1)十f(1)=f(1),∴.f(1)=0, 令x=-1,y=0,得f(-1)十f(-1)=f(1)=0, ∴.f(-1)=0. （②)对任意非索实数a,6令x=空y=, 可得f(a)十f(b)=f(ab). 在上式中，令b=-1,得f(a)十f(-1)=f(-a), 即对任意非零实数a都有f(a)=f(-a), ∴f(x)是偶函数. (3)对任意x1x∈(0，十∞)且1<x,有2>1， f(侵)>0. 由(2)知f)=f(×） =f(停)十f>f f(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 f(2)=1,.2=1+1=f(2)+f(2)=f(4). f(x十2)-f(x-1)<2, ∴.fx十2)<f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)=f(4x-4), ,f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,十∞)的偶函数，且 在区间(0，十∞)上单调递增， ∴.原不等式转化为0<x十2<4x-4, 解得x<-2或-2<x<号或x>2, “原不等式的解集为(-0，-2U(-2,号)U2,+∞) ·41 参考答案 13.C[因为f(-x)=-fx),g(-x)=g(x), 由f(x)-g(x)=-a.x2十3x-1,用-x代替x得f(-x) -g(-x)=-a2-3x-1即-f(x)-g(x)=-a.x2-3z -1, 所以g(x)=a.x2十1. 由）-g>-4,1<西<，<2得g()-g()< x1一x2 -4(-22)→g()十4<g(2)十4x2· 设h(x)=g(x)十4x=ax2十4x十1，则h(x)在(1,2)上 单调递增. a<o a>0 所以 ≥2或a=0或 2a ≤1即-1长a<0或a 2a =0或a>0,所以a≥-1.] 14.ABD f()g(y)-f(y)g(z)=f(x-y)f(y)g(z) -f(x)g(y)=f(y-x), 所以f(y一x)=一f(x-y),故f(x)是奇函数，所以A 正确： 由g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)得g(y)g(x) f(y)f(z)=g(y-x), 所以g(y一x)=g(x一y),故g(x)是偶函数，所以B 正确； 由题意得f(x-y)-g(x-y)=f(x)g(y)一f(y)g(x) -g(x)g(y)+f(x)f(y)=[f(y)+g(y)]·[f(x) g(x)],令y=1得f(x-1)-g(x-1)=[f(1)十g(1)] [f(x)-g(x)], 由f(x)是奇函数得f(0)=0, 且[g(0)]-[f(0)]2=g(0),g(0)≠0，解得g(0)=1, 当f(1)十g(1)=1时，f(100)-g(100)=f(0)-g(0) =一1，所以C错误. 由题意得f(x-y)十g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x) 十g(x)g(y)-f(x)f(y)=[g(y)-f(y]·[f(x)+ g(x)],令y=1得f(x-1)十g(x-1)=[g(1)-f(1)] [f(x)十g(x)]=-[f(x)十g(x)] 当f(1)-g(1)=1时，f(100)+g(100)= (-1)[f(0)十g(0)]=1,所以D正确.] 课时冲关9函数的周期性与对称性 1.C[画出草图，根据图象即可判断出函数图象关于原点 对称.] y=e y=-e 2.A[函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于原点对 称，又y=f(x)的图象经过点P(1,一2)，则函数y= 一f(-x)的图象必过点(-1,2).] 3.A[因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(-1) =1, 所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),所以f(1)=-1, 又f(x)=f(x十5)，所以函数f(x)是周期为5的周期 函数， 则f(2025)+f(2026)=f(405×5)+f(405×5+1)= f(0)十f(1)=-1.] 5