第16章 相交线与平行线（知识清单，3知识2易错1重点2难点）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第16章 相交线与平行线 知识点01相交线 1.两线四角（对顶角与邻补角） 对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等 示例：直线AB、CD交于O，∠AOC与∠BOD是对顶角 邻补角 定义：有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 性质：邻补角互补（和为180°） 示例：∠AOC与∠AOD互为邻补角 2. 垂线及其性质 定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直，一条是另一条的垂线，交点叫垂足 表示：AB⊥CD，垂足为O 性质 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短（直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短） 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3. 两条直线的夹角 定义：两直线相交形成的四个小于平角的角中，不大于直角的角 斜交：夹角为锐角；垂直：夹角为直角 知识点02平行线 1. 平行线定义与表示 定义：同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 表示：a∥b，读作"a平行于b" 同一平面内两直线位置关系：相交（含垂直）、平行 2. 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论（平行传递性）：若a∥c，b∥c，则a∥b 3. 三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角： 同位角（F型）：截线同旁，被截两直线同侧 内错角（Z型）：截线两侧，被截两直线之间 同旁内角（U型）：截线同旁，被截两直线之间 4. 平行线判定（由角推线） 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行公理推论、垂直于同一直线的两直线平行 5. 平行线性质（由线推角） 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 知识点03命题与证明 命题：判断一件事情的语句，分题设和结论，可写成"如果……那么……" 真命题：正确；假命题：错误（举反例可证） 定理：经过证明的真命题 证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，推理得出结论的过程 易错点1. 概念混淆 错：不相交的两条直线是平行线 正：必须加"同一平面内"前提 错：补角就是邻补角 正：邻补角需满足有公共顶点+有一条公共边 错：垂线段就是点到直线的距离 正：距离是垂线段的长度（数值），不是线段 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） （）直线外一点到一条直线的垂线段叫做该点到这条直线的距离； （）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； （）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 5．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 6．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 7．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级下·上海松江·月考）下列说法正确的是（   ） A．有公共顶点的两个角是对顶角； B．在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线互相平行； C．一个锐角的补角比它的余角大90度； D．垂直于同一直线的两直线平行． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）和是邻补角，且比大，则_______度，_______度． 易错点2. 三线八角识别错误 错误：找不到截线与被截线，误判角类型 技巧：先找截线，再定被截线 1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 4．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 7．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是直线和直线被直线______所截而得到的______角． 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是______角，与是______角． 10．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，与是直线_____与直线_____被直线_____所截得到的内错角． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 12．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 13．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 重点：平行线判定与性质 1．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，若，则．完成推理过程． 5．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 6．（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 难点1：几何证明规范书写 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 6．（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 9．（25-26七年级下·上海闵行·月考）根据提示完成说理． 如图，已知，垂足为点，，， 求证：， 证明：（已知）， ___________（垂直的意义）， （已知）， ___________（等量代换）， ______________________（___________）， （___________）， （已知）， ______________________（同位角相等，两直线平行）， ______________________（___________）， （等量代换）． 10．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 难点2：拐角问题（辅助线） 1．（24-25七年级下·上海·月考）（1）问题发现： 如图1，直线，是与之间的一点，连接、，可以发现．说明理由； （2）解决问题： 如图2，，，，请求出的度数． 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 4．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 5．（24-25七年级下·上海宝山·月考）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在、两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 8．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 相交线与平行线 知识点01相交线 1.两线四角（对顶角与邻补角） 对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等 示例：直线AB、CD交于O，∠AOC与∠BOD是对顶角 邻补角 定义：有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 性质：邻补角互补（和为180°） 示例：∠AOC与∠AOD互为邻补角 2. 垂线及其性质 定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直，一条是另一条的垂线，交点叫垂足 表示：AB⊥CD，垂足为O 性质 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短（直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短） 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3. 两条直线的夹角 定义：两直线相交形成的四个小于平角的角中，不大于直角的角 斜交：夹角为锐角；垂直：夹角为直角 知识点02平行线 1. 平行线定义与表示 定义：同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 表示：a∥b，读作"a平行于b" 同一平面内两直线位置关系：相交（含垂直）、平行 2. 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论（平行传递性）：若a∥c，b∥c，则a∥b 3. 三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角： 同位角（F型）：截线同旁，被截两直线同侧 内错角（Z型）：截线两侧，被截两直线之间 同旁内角（U型）：截线同旁，被截两直线之间 4. 平行线判定（由角推线） 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行公理推论、垂直于同一直线的两直线平行 5. 平行线性质（由线推角） 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 知识点03命题与证明 命题：判断一件事情的语句，分题设和结论，可写成"如果……那么……" 真命题：正确；假命题：错误（举反例可证） 定理：经过证明的真命题 证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，推理得出结论的过程 易错点1. 概念混淆 错：不相交的两条直线是平行线 正：必须加"同一平面内"前提 错：补角就是邻补角 正：邻补角需满足有公共顶点+有一条公共边 错：垂线段就是点到直线的距离 正：距离是垂线段的长度（数值），不是线段 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误． 故选：A． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） （）直线外一点到一条直线的垂线段叫做该点到这条直线的距离； （）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； （）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：（）直线外一点到一条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，原说法错误； （）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，原说法错误； （）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该说法正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 4．（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】C 【详解】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 7．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【详解】解：A、在同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故说法正确；； D、三角形两边之和大于第三边，故说法错误；； 故选：C． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 9．（24-25七年级下·上海松江·月考）下列说法正确的是（   ） A．有公共顶点的两个角是对顶角； B．在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线互相平行； C．一个锐角的补角比它的余角大90度； D．垂直于同一直线的两直线平行． 【答案】C 【详解】解：A．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．故选项A说法错误，不符合题意； B． 在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线不一定互相平行,原说法错误，不符合题意； C． 设这个锐角是x度，则它的补角是度，余角是度．则，说法正确，符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）和是邻补角，且比大，则_______度，_______度． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质：邻补角互补，即和为．也考查了一元一次方程的解法，根据邻补角性质列出方程是解题的关键．设，，根据和是邻补角列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，， 根据题意得， 解得． ． ，． 故答案为：；． 易错点2. 三线八角识别错误 错误：找不到截线与被截线，误判角类型 技巧：先找截线，再定被截线 1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 【答案】D 【详解】解：分两种情况： ①若原两直线平行，则内错角相等， 内错角的平分线将原角均分，形成两个相等的半角。此时，平分线形成的角仍为内错角且相等，根据平行线的判定定理（内错角相等则两直线平行），平分线互相平行； ②若原两直线不平行，则内错角不相等， 平分线形成的半角也不相等，此时平分线不满足平行条件，必然相交． 综上，题目未明确原两直线是否平行，因此内错角平分线的位置关系（平行或相交）无法确定． 故选：D． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 【答案】3 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【答案】 内错 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，，，内错． 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是直线和直线被直线______所截而得到的______角． 【答案】 / 内错 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，内错． 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图，与是______角，与是______角． 【答案】 同位 同旁内 【详解】解：由图形可得，与是是同位角；与是是同旁内角； 故答案为：同位、同旁内． 10．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，与是直线_____与直线_____被直线_____所截得到的内错角． 【答案】 【详解】如图，与是直线与直线被直线所截得到的内错角． 故答案为：，，． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 12．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 13．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 重点：平行线判定与性质 1．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，若，则．完成推理过程． 【详解】解：∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， 即， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 5．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 难点1：几何证明规范书写 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 5．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 6．（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 9．（25-26七年级下·上海闵行·月考）根据提示完成说理． 如图，已知，垂足为点，，， 求证：， 证明：（已知）， ___________（垂直的意义）， （已知）， ___________（等量代换）， ______________________（___________）， （___________）， （已知）， ______________________（同位角相等，两直线平行）， ______________________（___________）， （等量代换）． 【详解】证明：（已知）， （垂直的意义）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 10．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 难点2：拐角问题（辅助线） 1．（24-25七年级下·上海·月考）（1）问题发现： 如图1，直线，是与之间的一点，连接、，可以发现．说明理由； （2）解决问题： 如图2，，，，请求出的度数． 【详解】（1）证明：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （2）解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·上海宝山·月考）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在、两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【详解】（1）解：如图， 折叠， 直线折叠重合为两个角，平角为， ，即， 与直线的位置关系是：垂直， 如图： ， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 灯转动秒后度数为， 又当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， 此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ， ， 两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∵，∴不符合题意，舍去； 综上所述：当为或时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：当为或或时，两灯的光束互相垂直． 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 9．（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $