专题08 不等式的基本性质 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题08 不等式的基本性质 一、知识梳理 1．对称性：a>b，则b<a. 2．传递性：a>b,b>c，则a>c. 3．加法法则：若a>b，则a±c>b±c（即：不等式的两边同时加上（或同时减去）同一个实数，不等号的方向不变.） 4．乘法法则：若a>b,c>0，则ac>bc；若a>b,c<0，则ac<bc（即：如果不等式两边同乘一个正数，则不等号方向不变；如果同乘一个负数，则不等号方向改变） 5．推论 （1）移项法则：如果a+b>c，则a>c-b （不等式任何一项，变项后从一边移到另一边） （2）加法法则推论：若a>b,c>d，则a+c>b＋d（即：两个或几个同向不等式，两边分别相加，所得的不等式与原不等式同方向） （3）乘法法则推论：如果a>b>0且c>d >0，则ac>bd（即两个或几个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向） 二、题型精练 题型1 加法法则及其推论的运用 【典例1】．比较下面代数式大小 (1)m+3与m+1; (2)a-2与a-5. 【典例2】．若x<y<0，比较与的大小. 题型2 乘法法则及其推论的运用 【典例1】．比较下面代数式的大小． （1)2x与2y(x>y) (2)-3a与-3b(a<b) 【典例2】.若a>b,c>d,，试比较a-d与b-c的大小. 三、知识检测 1．如果a>b，则下列不等式成立的是 ( ) A.-5a<-5b B.|a|>|b| C.ac>bc D. 2．已知a<b<0，则下列各式不正确的是( ) A. B.|a|>|b| C.2a>2b D. 3．若x>y，则下列关系正确的是 ( ) A.xz>yz B.-x>-y C. D. 4．已知a>b，则下列关系正确的是 ( ) A.-b>-a B. C. D.|a|>|b| 5．已知,Q=2ab，若a≠b，则P、Q的大小关系是 ( ) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 6．若m<0,n>0 m+n<0，则下列不等式成立的是( ) A. -n<m<n<-m B. -n<m<-m<n C. -m<-n<n<m D. m<-n<n<-m 7．已知a>b,c>d，且c,d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 ( ) A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+c 8．下列说法正确的是( ) A.如果a<0<b，那么a+b<0 B.如果a<0<b，那么 C.如果a>b，那么2a+5>2b+3 D.如果a>b，那么a>0,b>0 9．已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B. C.ab>ac D.c(b-a)<0 10． 下列结论正确的是( ) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，则 C.若，则a>b D.若a>b，则 11．已知x<y，则下列不等式中错误的是 ( ). A. y>x B. x-8<y-8 C. 5x<5y D. -3x<-3y 12．下列不等式正确的是 ( )． A. 5-a>3-a B. 5a>3a C. D. 5+a>3-a 13． 下列命题中正确的是 ( )． A.如果ac>bc，则a>b B.如果，则a>1 C.如果a>b，则 D.如果,ab>0，则 14．已知a<b<0，比较与1的大小 15．已知a>b>0，比较 1与的大小 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 不等式的基本性质 一、知识梳理 1．对称性：a>b，则b<a. 2．传递性：a>b,b>c，则a>c. 3．加法法则：若a>b，则a±c>b±c（即：不等式的两边同时加上（或同时减去）同一个实数，不等号的方向不变.） 4．乘法法则：若a>b,c>0，则ac>bc；若a>b,c<0，则ac<bc（即：如果不等式两边同乘一个正数，则不等号方向不变；如果同乘一个负数，则不等号方向改变） 5．推论 （1）移项法则：如果a+b>c，则a>c-b （不等式任何一项，变项后从一边移到另一边） （2）加法法则推论：若a>b,c>d，则a+c>b＋d（即：两个或几个同向不等式，两边分别相加，所得的不等式与原不等式同方向） （3）乘法法则推论：如果a>b>0且c>d >0，则ac>bd（即两个或几个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向） 二、题型精练 题型1 加法法则及其推论的运用 【典例1】．比较下面代数式大小 (1)m+3与m+1; (2)a-2与a-5. 答案： (1)  (2)  分析： 比较两个代数式的大小，可以用作差法：若差大于0，则前者大；差小于0，则前者小。 详解： (1) ，所以 。 (2) ，所以 。 【典例2】．若x<y<0，比较与的大小. 答案：。 分析： 已知 ，则 （因为负数绝对值越大平方越大）。 两边同时加 3，不等号方向不变。 详解： 由 ，得 ，所以 。 因此 。 题型2 乘法法则及其推论的运用 【典例1】．比较下面代数式的大小． （1)2x与2y(x>y) (2)-3a与-3b(a<b) 答案： (1)  (2)  分析：利用不等式性质：不等式两边同乘正数，不等号方向不变；同乘负数，方向改变。 详解： (1) 由 ，两边同乘正数 2，得 。 (2) 由 ，两边同乘负数 ，不等号方向改变，得 。 【典例2】.若a>b,c>d,，试比较a-d与b-c的大小. 答案： 分析：已知 ，，可得 。将两个不等式相加。 详解： 我们比较  与 ： 因为 ，，所以 因此 三、知识检测 1．如果a>b，则下列不等式成立的是 ( ) A.-5a<-5b B.|a|>|b| C.ac>bc D. 答案： A 分析：已知 ，逐个判断每个选项在实数范围内是否一定成立。 详解： A. ，两边同乘负数 ，不等号方向改变 ⇒  ✅ B.  不一定成立，例如  时  成立，但 ， ❌ C.  不一定成立，若  则不等号可能改变或取等 ❌ D.  不一定成立，若  则两边相等 ❌ 因此只有 A 一定成立。 2．已知a<b<0，则下列各式不正确的是( ) A. B.|a|>|b| C.2a>2b D. 答案 ：C 分析：已知 ，逐项判断。 详解： A. ，取倒数，不等式方向改变 ⇒  ✅ B. 负数绝对值越大数值越小，因  则  ✅ C. 不等式  两边乘正数 2 得 ，所以  ❌ D.  ⇒ 两边平方，因负数平方后大小关系相反 ⇒  ✅ 3．若x>y，则下列关系正确的是 ( ) A.xz>yz B.-x>-y C. D. 答案： C 分析：已知 ，利用不等式性质逐项判断。 详解： A.  不一定成立，当  时不等号方向可能改变 ❌ B.  两边乘  得 ，与已知矛盾 ❌ C. ，乘正数不等号方向不变 ⇒  ✅ D.  不一定成立，当  时两边相等 ❌ 4．已知a>b，则下列关系正确的是 ( ) A.-b>-a B. C. D.|a|>|b| 答案： A 分析：已知 ，逐项判断。 详解： A.  两边乘  得 ，即  ✅ B.  不一定，如  时  但  ❌ C.  不一定，需要 ，若  为负则根号无意义 ❌ D.  不一定，如  时  但  ❌ 5．已知,Q=2ab，若a≠b，则P、Q的大小关系是 ( ) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 答案：A 分析：已知 ，比较  与  的大小，作差得 。 详解： 因为 ，所以 ，因此 。 6．若m<0,n>0 m+n<0，则下列不等式成立的是( ) A. -n<m<n<-m B. -n<m<-m<n C. -m<-n<n<m D. m<-n<n<-m 答案： B 分析：已知 ，，且 ，即 。由此推导各数的大小顺序。 详解： 由  得 。 由  得 。 又 ，且  说明  的绝对值大于 ，所以 。 因此： 即 。 7．已知a>b,c>d，且c,d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 ( ) A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+c 答案： D 分析：已知 ，，且 ，逐项判断是否一定成立。 详解： A.  不一定成立，如  时  成立，但 ，，不成立 ❌ B.  不一定成立，如  时  成立，但 ，，成立；但若  则  成立。反例需找： 时  成立，但 ，，相等，不满足大于。不总是成立 ❌ C.  不一定成立，移项得 ，已知  无法推出该式恒成立 ❌ D.  两边减  得 ，已知成立 ✅ 8．下列说法正确的是( ) A.如果a<0<b，那么a+b<0 B.如果a<0<b，那么 C.如果a>b，那么2a+5>2b+3 D.如果a>b，那么a>0,b>0 答案：C 分析：逐项判断。 详解： A.  时， 不一定小于 0，如  时  ❌ B.  时， 不一定成立，如  时 ， ❌ C. ，两边乘 2 得 ，两边加 5 得 ，而 ，所以  成立 ✅ D.  不一定要求 ，如  满足  但  ❌ 9．已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B. C.ab>ac D.c(b-a)<0 答案：C 分析： 已知 ，。 由  可知  与  异号，结合 ，得 。 详解： A. ：，，乘积 ，不成立 ❌ B.  两边除以 （，不等号方向改变）得 ，由  且 ，不一定成立（如  时 ）❌ C.  两边除以 （，不等号方向不变）得 ，已知成立 ✅ D. ：，，负乘负得正，所以  ❌ 10． 下列结论正确的是( ) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，则 C.若，则a>b D.若a>b，则 答案： C 分析：逐项判断。 详解： A. 若 ，则  不一定成立，当  时不等号方向改变 ❌ B. 若 ，则  不一定成立，如  时  但  ❌ C. 若 ，由于 ，且若  则不等式不成立（0>0 不成立），故  且 ，两边除以正数  得  ✅ D. 若 ，则  不一定成立，如  时  ❌ 11．已知x<y，则下列不等式中错误的是 ( ). A. y>x B. x-8<y-8 C. 5x<5y D. -3x<-3y 答案： D 分析：已知 ，利用不等式性质判断各选项。 详解： A.  与  等价 ✅ B.  两边加 8 得  ✅ C.  两边除以 5 得  ✅ D.  两边除以  得 ，与已知矛盾 ❌ 12．下列不等式正确的是 ( )． A. 5-a>3-a B. 5a>3a C. D. 5+a>3-a 答案：A 分析：逐项判断。 详解： A. ，两边加  得 ，恒成立 ✅ B. ，当  时成立，但  时不成立 ❌ C. ，当  时成立，当  时方向相反，且  无意义 ❌ D. ，即 ，即 ，不一定恒成立 ❌ 13． 下列命题中正确的是 ( )． A.如果ac>bc，则a>b B.如果，则a>1 C.如果a>b，则 D.如果,ab>0，则 答案： D 分析：逐项判断。 详解： A. 若 ，则  不一定成立，当  时不等号方向相反 ❌ B. 若 ，则  不一定成立，如  时  成立，但  不成立 ❌ C. 若 ，则  不一定成立，如  时  ❌ D. 若 ，，则  同号且 ，所以 ，即  成立 ✅ 14．已知a<b<0，比较与1的大小 答案： 分析：已知 ，则  和  均为负数，且 。 详解： 由  得 （同号相除为正）。 因为 ，取绝对值有 ，所以 。 由于  均为负，。 因此 。 15．已知a>b>0，比较 1与的大小 答案：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则  分析：要比较  和 ，需要知道  与  的大小关系。 详解： · 若 ，则  · 若 ，则  · 若 ，则  1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $