专题10 一元二次不等式（组）的解法 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题10 一元二次不等式（组）的解法 一、知识梳理 1. 一元一次不等式的概念 不等式中，未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的整式不等式称为一元一次不等式。 2. 一元一次不等式的解集 使不等式成立的未知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 3.解一元一次不等式的步骤 S1 去分母； S2 去括号； S3 移项； S4 合并同类项，化成不等式ax>b(a≠0）的形式； S5 不等式两边同时除以未知数的系数，得出不等式的解集为 4.一元一次不等式组的概念 一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，称为一元一次不等式组． 5.一元一次不等式组的解法 解由几个不等式构成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分. 6.解一元一次不等式组的步骤 S1求这个不等式组中各个不等式的解集； S2求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这几个不等式组的解集. 7．不等式组解集的情况： ①，若a>b，则不等式的解集为{x|x>a}；若a<b，则不等式的解集为{x|x>b}.简称同大取大. ②，若a>b，则不等式的解集为{x|x<b}，若a<b，则不等式的解集为{x|x<a}.简称同小取小. ③，若a<b，则不等式的解集为{x|a<x<b}.简称大小小大中间找. 若a>b，则不等式组无解.简称大大小小无解答. 二、题型精练 题型1 一元一次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来（    ） (1)-x+19≥2(x+5); (2) 【典例2】．解不等式，并把它的解集数轴上表示出来. 题型2 一元一次不等式组的解法 【典例1】．解下列不等式组 【典例2】. 不等式组 的解集为 题型3 根据不等式（组）的整数解求值 【典例1】．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足 ( ) A.a=10 B.10≤a<12 C.10<a≤12 D.10≤a≤12 【典例2】. 关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是 ( ) A.9 B.-9 C.5 D.-5 三、知识检测 1．不等式的解集为 ( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 2．不等式-2x<-6的解集是 ( ) A.{x|x>3} B.{x|x>-3} C.{x|x<3} D.{x|x<-3} 3．不等式组的解集为( ) A.(-3,3) B.[-3,3) C.[-3,3] D..(-3,3] 4．不等式x-2≥1+4x的解集为 ( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 5．不等式3(x-1)≤x+5的非负整数解有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D．无数个 6．若是关于x的一元一次不等式，则m= ( ) A.±1 B.1 C.-1 D.0 7．不等式的解集是 ( ). A. {x|x<2} B. {x|x>2} C. {x|x>3} D. {x|x<3} 8．下列不等式组无解的是 ( ) ． A. B. C. D. 9．不等式组的解集为（ ） A.x＞-1 B. C. D.x＞1 10． 不等式-1＜≤5的解集为( ) A.（-1，8） B.[-1,8] C. D. 11．若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A．-7＜a＜ B．-7≤a≤ C．-7＜a≤ D．-7≤a＜ 12．不等式组的解集为 13. 不等式(3x-2)+1>2x-6的解集用区表示为 14． 不等式1.5≤-7.5x的解集是 15． 当 时，代数式4(x-1)的值大于代数式2(4-3x）的值. 16．满足不等式的最大整数是 . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元二次不等式（组）的解法 一、知识梳理 1. 一元一次不等式的概念 不等式中，未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的整式不等式称为一元一次不等式。 2. 一元一次不等式的解集 使不等式成立的未知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 3.解一元一次不等式的步骤 S1 去分母； S2 去括号； S3 移项； S4 合并同类项，化成不等式ax>b(a≠0）的形式； S5 不等式两边同时除以未知数的系数，得出不等式的解集为 4.一元一次不等式组的概念 一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，称为一元一次不等式组． 5.一元一次不等式组的解法 解由几个不等式构成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分. 6.解一元一次不等式组的步骤 S1求这个不等式组中各个不等式的解集； S2求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这几个不等式组的解集. 7．不等式组解集的情况： ①，若a>b，则不等式的解集为{x|x>a}；若a<b，则不等式的解集为{x|x>b}.简称同大取大. ②，若a>b，则不等式的解集为{x|x<b}，若a<b，则不等式的解集为{x|x<a}.简称同小取小. ③，若a<b，则不等式的解集为{x|a<x<b}.简称大小小大中间找. 若a>b，则不等式组无解.简称大大小小无解答. 二、题型精练 题型1 一元一次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式 (1)-x+19≥2(x+5); (2) 答案： (1) ，解集为  (2) ，解集为  分析：解一元一次不等式，通过移项、合并同类项、系数化为 1 求解，注意乘除负数时要改变不等号方向。 详解： (1)  展开右边：  移项：  合并：  两边除以 （负数，改变不等号方向）：  (2)  左边化简：  原式：  两边乘 12（正数，方向不变）：  移项：  合并：  两边除以 （负数，改变方向）：  【典例2】．解不等式 答案：，解集为  分析：解一元一次不等式，先去分母，再移项、合并、系数化为 1。 详解： 两边乘 6（正数，方向不变）： 移项： 两边除以 （负数，改变方向）： 因此解集为 。 题型2 一元一次不等式组的解法 【典例1】．解下列不等式组 答案：不等式组的解集为 。 分析：分别解每个不等式，再取交集。 详解： 原不等式组： 1. 解第一个不等式 2. 解第二个不等式 左边化简： 右边： 不等式变为： 两边乘 6（正数）： 3. 取交集 得： 用区间表示为 。 【典例2】. 不等式组 的解集为 答案： ，即 。 分析：分别解每个不等式，再取交集。 详解： 原不等式组： 1. 解第一个不等式 两边乘 6（正数）： 2. 解第二个不等式 即 。 3. 取交集 由  且 ，得 ，即 。 所以最终解集为 ，即 。 题型3 根据不等式（组）的整数解求值 【典例1】．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足 ( ) A.a=10 B.10≤a<12 C.10<a≤12 D.10≤a≤12 答案：B 分析：先解不等式组，得到解集为 。 要求恰好有 3 个整数解，即整数解为 ，因此 ，解出  的范围。 详解： 原不等式组： 1. 解 ： 2. 解 ： 3. 不等式组的解集为： 4. 解集中 ，所以整数解从 3 开始。 要有恰好 3 个整数解，则解集必须包含 3、4、5，但不包含 6。 因此： 5. 两边乘 2： 【典例2】. 关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是 ( ) A.9 B.-9 C.5 D.-5 答案：A 分析： 由数轴可知不等式的解集为 。 先解不等式 ，令其解集与  相等，即可求出 。 详解： 解不等式： 两边乘 5（正数，不等号方向不变）： 已知解集为 ，所以： 三、知识检测 1．不等式的解集为 ( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 答案：B 分析：解一元一次不等式，先去分母，再移项、化简。 详解： 两边乘 3（正数，方向不变）： 解集为 。 2．不等式-2x<-6的解集是 ( ) A.{x|x>3} B.{x|x>-3} C.{x|x<3} D.{x|x<-3} 答案：A 分析：解一元一次不等式 ，两边除以负数  时要改变不等号方向。 详解： 两边除以 （负数，改变方向）： 因此解集为 。 3．不等式组的解集为( ) A.(-3,3) B.[-3,3) C.[-3,3] D..(-3,3] 答案：B 分析：分别解两个不等式，再取交集。 详解： 1. 解 ： 2. 解 ： 3. 取交集： 即 。 4．不等式x-2≥1+4x的解集为 ( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 答案：B 分析：解一元一次不等式 ，移项、合并、系数化为 1。 详解： 两边除以 （负数，改变方向）： 解集为 。 5．不等式3(x-1)≤x+5的非负整数解有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D．无数个 答案： B 分析：先解不等式，再找出所有满足条件的非负整数解。 详解： 解不等式： 非负整数解为 ，共 5 个。 注意： 且  是非负整数 ⇒ 0,1,2,3,4，共 5 个。 6．若是关于x的一元一次不等式，则m= ( ) A.±1 B.1 C.-1 D.0 答案：C 分析： 一元一次不等式要求： 1. 未知数  的次数为 1； 2. 系数不为 0。 详解： 原式  是关于  的一元一次不等式，因此： 且  的系数 ，即 。 所以 。 7．不等式的解集是 ( ). A. {x|x<2} B. {x|x>2} C. {x|x>3} D. {x|x<3} 答案：D 分析：解不等式 ，先化简右边，再讨论  的符号。 详解： 原式： 右边化简：，所以： 移项： 两边乘 （负数，改变方向）： 因此解集为 ，对应选项 D。 8．下列不等式组无解的是 ( ) ． A. B. C. D. 答案： C 分析：分别解每个不等式组，看交集是否为空集。 详解： A. ，，交集 ，有解。 B. ，，交集 ，有解。 C. ，，交集为空，无解。 D. ，，交集 ，有解。 9．不等式组的解集为（ ） A.x＞-1 B. C. D.x＞1 答案：C 分析：分别解两个不等式，再取交集。 详解： 1. 解 ： 2. 解 ： 3. 取交集： 10． 不等式-1＜≤5的解集为( ) A.（-1，8） B.[-1,8] C. D. 答案：D 分析：解不等式 ，两边同时乘 3（正数），再分别解两个不等式。 详解： 两边乘 3（正数，方向不变）： 左边： 右边： 取交集： 解集为  11．若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A．-7＜a＜ B．-7≤a≤ C．-7＜a≤ D．-7≤a＜ 答案：C 分析：先分别解两个不等式，得到解集，再根据整数解个数确定  的范围。 详解： 1. 解第一个不等式 两边乘 3： 即 。 2. 解第二个不等式 两边乘 2： 即 。 3. 不等式组的解集 4. 只有 4 个整数解 整数解是 （从 20 往下数 4 个整数）。 因此  的最小整数解是 17，下一个整数 16 不在解集中。 所以： （因为 ，若 ，则 ，最小整数 17，符合；若 ，则 ，最小整数 18，只有 3 个整数解，不符合。） 5. 解不等式 先解右边： 再解左边： 所以： 12．不等式组的解集为 答案：  分析：分别解两个不等式，再取交集。 详解： 1. 解 ： 2. 解 ： 3. 取交集：  且 ，即 。 13. 不等式(3x-2)+1>2x-6的解集用区表示为 答案：解集为  分析：解一元一次不等式，移项、合并同类项。 详解： 用区间表示为 。 14． 不等式1.5≤-7.5x的解集是 答案：解集是 ，即  分析：解不等式 ，两边除以负数  时要改变不等号方向。 详解： 两边除以 （负数，改变方向）： 即 。 15． 当 时，代数式4(x-1)的值大于代数式2(4-3x）的值. 答案： 分析：列不等式 ，解出  的范围。 详解： 因此当  时，满足条件。 16．满足不等式的最大整数是 . 答案：最大整数是  分析：解不等式 ，得到  的取值范围，再找出该范围内的最大整数。 详解： 两边乘 3（正数）： 所以 ，最大整数是 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $