专题09 区间的概念 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题09 区间的概念 一、知识梳理 1. 区间的概念 设a、b∈R，且a<b则 1）满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作［a,b］ 2）满足a<x<b的全体实数x的集合，叫做开区间，记作（a,b） 3）满足a≤x<b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，记作［a,b） 4）满足a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，记作（a,b］ 注：a与b称为区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示。 2.无穷区间的表示 1）满足x<a的全体实数x的集合，记作(-∞,a) 2）满足x>a的全体实数x的集合，记作(a,+∞) 3）满足x≤a的全体实数x的集合，记作(-∞,a] 4）满足x≥a的全体实数x的集合，记作[a,+∞) 5）全体实数记作(-∞,+∞) “-∞”和“+∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大” 二、题型精练 题型1 用区间表示不等式 【典例1】．（1）集合{x|-1<x<4}用区间表示为 ; （2）集合{x|0≤x<3}用区间表示为 ; （3）集合{x|x<3}用区间表示为 ; （4）集合{x|x≥-2}用区间表示为 . 答案： (1)  (2)  (3)  (4)  分析： 根据区间表示法的规则： · 闭区间用方括号  表示包含端点。 · 开区间用圆括号  表示不包含端点。 · 无穷大用符号  或 ，且无穷大一侧总是开区间。 详解： (1)  ⇒ 开区间  (2)  ⇒ 左闭右开区间  (3)  ⇒  (4)  ⇒  【典例2】．用区间表示下列集合： (1) (2{x|x<1} (3){x|x≥3} 答案： (1)  (2)  (3)  分析： 根据区间表示规则： · 包含端点用方括号  · 不包含端点用圆括号  · 无穷大一侧总是开区间 详解： (1)  ⇒ 左闭右开区间  (2)  ⇒  (3)  ⇒  题型2 用集合表示区间 【典例1】．(1）用集合的描述法表示区间［-3,1］= （2）用集合的描述法表示区间［1，2)= （3）用集合的描述法表示区间［-5,+∞)= （4）用集合的描述法表示区间(-∞,-6)= 答案： (1)  (2)  (3)  (4)  分析：将区间转换为集合描述法，需根据区间端点是否包含来确定不等号。 详解： (1)  包含两端 ⇒  (2)  左闭右开 ⇒  (3)  左闭右无限 ⇒  (4)  左无限右开 ⇒  【典例2】. 用描述法写出下面这些区间的含义： [-2,7];[a,b];(123,+∞);(-∞,-9]. 答案： （其中 ） 分析：区间描述法需根据端点是否包含来使用相应不等号，无穷大一侧总是开区间。 详解： · ：两端都包含 ⇒  · ：两端都包含 ⇒ （前提 ） · ：左开右无限 ⇒  · ：左无限右闭 ⇒  题型3 用区间表示集合的运算 【典例1】．已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，则图中的阴影部分表的集合为( ) A.(-∞,1]∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪(1,2) C.[1,2) D.(1,2] 答案：D 分析：由阴影部分可知为A∩B，先解不等式得 ，再与  求交集。 详解： 解 ：  ⇒  或  所以 。 ：只有 0 属于 ，但  不包含 0，所以无交集。 （注意  包含 2，所以包括 2） 【典例2】. 设全集U=R，集合A=(-2,4)，B=(1,3)，C=(-∞,a) （1）求 （2）若B∩(，求实数a的取值范围。 答案： (1)  (2)  分析： 全集 ，，，。 (1) 先求  的补集，再与  取交集。 (2)  等价于  与  无交集，即 。 详解： (1) 求  (2) 求  的取值范围 条件  即 。 由于 ，要使它与  无交集，需  中所有元素都小于 ，即 。 当  时， 与  无交点（因  不含 3），成立。 当  时更成立。 因此 。 三、知识检测 1．区间（-3,2］用集合可表示为( ) A.{-2,-1,0,1,2} B.{x|-3<x<2} C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3≤x≤2} 答案：C 分析：区间  表示大于  且小于等于 2 的所有实数。 详解： · A 表示集合 ，只含整数，且包含  但实际区间包含  也包含  等，不相等。 · B 表示 ，不包含 2，与区间不同。 · C 表示 ，与区间一致 ✅ · D 表示 ，包含 ，区间不包含 ，不同。 2．不等式x<2用区间可表示为 ( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,2) 答案：D 分析： 表示所有小于 2 的实数，区间为左无穷右开。 详解： · A  表示 ，错误。 · B  表示 ，错误。 · C  表示 ，包含 2，错误。 · D  表示 ，正确。 3．区间（-4,3］用不等式表示为( ) A.-4<x<3 B.-4≤x<3 C..-4<x≤3 D.-4≤x<3 答案： C 分析：区间  表示大于  且小于等于 3 的所有实数。 详解： · A ：不包含 3，错误。 · B ：包含 ，且不包含 3，错误。 · C ：与区间一致 ✅ · D ：同 B，错误。 4．集合{x|1<x<5}可用区间表示为 ( ) A.(1,5) B.[1,5] C.[1,5) D.(1,5] 答案：A 分析：集合  表示所有大于 1 且小于 5 的实数，不含端点，对应开区间。 详解： · A ：开区间，不含端点 ✅ · B ：闭区间，包含端点 ❌ · C ：左闭右开，包含 1 ❌ · D ：左开右闭，包含 5 ❌ 选 A。 5．已知集合则A∪B= ( ) A.(-1,4) B.(-1,0) C. D.(0,4] 答案：A 分析：，，两者并集为从  到  的所有实数（因为  覆盖到 4， 覆盖到 ，中间无间断）。 详解： · A ：正确 ✅ · B ：漏掉  部分 ❌ · C ：只是交集，不是并集 ❌ · D ：漏掉  部分，且右端点包含 4，但  不包含 4（开区间），错误 ❌ 6．已知区间A=(-3,1),B=(-2,3),则A∩B=( ) A.(-3,3) B.(-3,-2) C.(-2,1) D.(1,3) 答案：C 分析：，，取公共部分。 详解：在数轴上， 从  到 ， 从  到 ，公共部分是从  到 （左端点取  的 ，右端点取  的 ，两端均开）。 因此 ，对应选项 C。 · A ：过大 ❌ · B ：与  的左边部分，但  从  开始，不包含  到  之间 ❌ · C ：正确 ✅ · D ：与  无交集 ❌ 7．集合{x|x≤-1}的区间表示是 ( ) . A.(-1,+∞) B. [-1,+∞) C.(-∞,-1) D. (-∞,-1] 答案： D 分析：集合  表示所有小于或等于  的实数，区间为左无穷右闭。 详解： · A ：表示  ❌ · B ：表示  ❌ · C ：表示 ，不包含  ❌ · D ：表示  ✅ 8．表示区间[-3,，6）的不等式是 ( ) ． A.-3<x<6 B. -3<x≤6 C.-3≤x<6 D.-3≤x≤6 答案： C 分析：区间  表示大于或等于  且小于  的所有实数。 详解： · A ：不包含  ❌ · B ：不包含 ，且包含  ❌ · C ：与区间一致 ✅ · D ：包含  ❌ 9．集合{x|x≤-2或x>0}在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案： D 分析：由集合{x|x≤-2或x>0}可知数轴上是取两端，-2点是实心，0是空心 详解： 由集合{x|x≤-2或x>0}可知数轴上是取两端，-2点是实心，0是空心 10.不等式-3≤x<5的解集用区间表示为( ) A.[-3,5] B.(-3,5) C.[-3,5) D.(-∞,5) 答案：C 分析：不等式  表示  大于或等于  且小于 ，对应左闭右开区间。 详解： · A ：包含 5，错误。 · B ：不包含 ，错误。 · C ：正确 ✅ · D ：不包含  且左边无限，错误。 11．不等式(0,+∞)用不等式表示为 ( ) A.x<0 B.x>0 C.x≤0 D.x≥0 答案： B 分析：区间  表示所有大于 0 的实数。 详解： · A ：表示负数 ❌ · B ：正确 ✅ · C ：表示非正数 ❌ · D ：包含 0 ❌ 12．不等式x<-1用区间表示为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.(-1,-∞) D.[-1,-∞) 答案： B 分析：不等式  表示所有小于  的实数，对应左无穷右开区间。 详解： · A ：包含  ❌ · B ：正确 ✅ · C ：写法不规范，且方向错误 ❌ · D ：写法不规范，且包含 ，左闭右无穷 ❌ 13．用区间表示数集{x|2<x≤4}= 答案： 分析：数集  表示大于 2 且小于等于 4 的所有实数。 详解： 左端点 2 不包含（用开区间），右端点 4 包含（用闭区间），因此区间为 。 14．若[a,3a-1]为一确定区间，则a的取值范围是 . 答案： 分析：区间  为一确定区间，要求左端点小于右端点，即 。 详解： 因此  的取值范围是 。 15．已知集合A=[-10,-3] ,B=[-5,,1)，则A∪B= ,A∩B= . 答案：； 分析：，，在数轴上画出两个区间，求并集和交集。 详解： · 并集： 从  到 ， 从  到 ，合并后从  到 （注意  不包含 1，故右端开）。 因此 。 · 交集：公共部分为 （ 包含 ， 包含  但不包含 1，公共部分到  结束）。 因此 。 16． 区间(1,+∞) 用集合的性质描述法表示为 . 答案： 分析：区间  表示所有大于 1 的实数。 详解： 用描述法表示为 。 17．不等式-10≤x≤2的区间表示为 . 答案： 分析：不等式  表示  大于或等于  且小于或等于 ，对应闭区间。 详解： 区间表示为 。 18．已知x在区间（-1,3］内，求x+5,x-5的取值范围. 答案：  的取值范围是   的取值范围是  分析： 已知 ，分别加 5 和减 5 即可得新范围，区间端点按运算规则对应改变（加常数不改变开闭，减常数同理）。 详解： 1. ： 即  ⇒  2. ： 即  ⇒  19.已知x在区间[4,+∞)内，求x+2,x-2的取值范围. 答案： 的取值范围是   的取值范围是  分析：已知 ，分别加 2 和减 2，区间端点相应变化（无穷大保持不变）。 详解： 1. ：  ⇒  2. ：  ⇒  1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 区间的概念 一、知识梳理 1. 区间的概念 设a、b∈R，且a<b则 1）满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作［a,b］ 2）满足a<x<b的全体实数x的集合，叫做开区间，记作（a,b） 3）满足a≤x<b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，记作［a,b） 4）满足a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，记作（a,b］ 注：a与b称为区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示。 2.无穷区间的表示 1）满足x<a的全体实数x的集合，记作(-∞,a) 2）满足x>a的全体实数x的集合，记作(a,+∞) 3）满足x≤a的全体实数x的集合，记作(-∞,a] 4）满足x≥a的全体实数x的集合，记作[a,+∞) 5）全体实数记作(-∞,+∞) “-∞”和“+∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大” 二、题型精练 题型1 用区间表示不等式 【典例1】．（1）集合{x|-1<x<4}用区间表示为 ; （2）集合{x|0≤x<3}用区间表示为 ; （3）集合{x|x<3}用区间表示为 ; （4）集合{x|x≥-2}用区间表示为 . 【典例2】．用区间表示下列集合： (1) (2{x|x<1} (3){x|x≥3} 题型2 用集合表示区间 【典例1】．(1）用集合的描述法表示区间［-3,1］= （2）用集合的描述法表示区间［1，2)= （3）用集合的描述法表示区间［-5,+∞)= （4）用集合的描述法表示区间(-∞,-6)= 【典例2】. 用描述法写出下面这些区间的含义： [-2,7];[a,b];(123,+∞);(-∞,-9]. 题型3 用区间表示集合的运算 【典例1】．已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，则图中的阴影部分表的集合为( ) A.(-∞,1]∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪(1,2) C.[1,2) D.(1,2] 【典例2】. 设全集U=R，集合A=(-2,4)，B=(1,3)，C=(-∞,a) （1）求 （2）若B∩(，求实数a的取值范围。 三、知识检测 1．区间（-3,2］用集合可表示为( ) A.{-2,-1,0,1,2} B.{x|-3<x<2} C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3≤x≤2} 2．不等式x<2用区间可表示为 ( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,2) 3．区间（-4,3］用不等式表示为( ) A.-4<x<3 B.-4≤x<3 C..-4<x≤3 D.-4≤x<3 4．集合{x|1<x<5}可用区间表示为 ( ) A.(1,5) B.[1,5] C.[1,5) D.(1,5] 5．已知集合则A∪B= ( ) A.(-1,4) B.(-1,0) C. D.(0,4] 6．已知区间A=(-3,1),B=(-2,3),则A∩B=( ) A.(-3,3) B.(-3,-2) C.(-2,1) D.(1,3) 7．集合{x|x≤-1}的区间表示是 ( ) . A.(-1,+∞) B. [-1,+∞) C.(-∞,-1) D. (-∞,-1] 8．表示区间[-3,，6）的不等式是 ( ) ． A.-3<x<6 B. -3<x≤6 C.-3≤x<6 D.-3≤x≤6 9．集合{x|x≤-2或x>0}在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 10.不等式-3≤x<5的解集用区间表示为( ) A.[-3,5] B.(-3,5) C.[-3,5) D.(-∞,5) 11．不等式(0,+∞)用不等式表示为 ( ) A.x<0 B.x>0 C.x≤0 D.x≥0 12．不等式x<-1用区间表示为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.(-1,-∞) D.[-1,-∞) 13．用区间表示数集{x|2<x≤4}= 14．若[a,3a-1]为一确定区间，则a的取值范围是 . 15．已知集合A=[-10,-3] ,B=[-5,,1)，则A∪B= ,A∩B= . 16． 区间(1,+∞) 用集合的性质描述法表示为 . 17．不等式-10≤x≤2的区间表示为 . 18．已知x在区间（-1,3］内，求x+5,x-5的取值范围. 19.已知x在区间[4,+∞)内，求x+2,x-2的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $