专题07 实数的大小 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题07 实数的大小 一、知识梳理 1. 不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，则含有这些不等号的式子，称为不等式. 2. 实数大小 数轴上任意两点中，右边点对应实数比左边点对应实数大。 3. 实数大小的基本性质 （1）a-b>0⇔a>b； （2）a-b=0⇔a<b； （3）a-b<0⇔a<b. 4. 比较法 比较法是一种常见的比较两个实数（或代数式）大小的方法.一般步骤：①作差 ②变形 ③判断符号 ④得出结论 二、题型精练 题型1 作差比较结果是一个常数 【典例1】．与大小 【典例2】．比较(a+2)(a+1)与的大小 题型2 作差比较结果是一个代数式 【典例1】．比较与大小 【典例2】.比较与2a-1的大小 三、知识检测 1．比较  与  的大小，正确结论是（ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 2．比较  与  的大小（ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 无法确定 3．比较  与 ，对任意实数 ，正确的是( ) A. 前者大 B. 后者大 C. 前者大当  D. 前者小当  4. 比较  与 ( ) A. 前者大 B. 后者大 C. 前者不小于后者 D. 后者不小于前者 5. 比较  与  A.小于 B. 大于 C. 小于等于 D. 无法比较 6. 比较  与 （ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 7.比较  与 （ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 8.设 ，，则（ ） A.  恒成立 B.  恒成立 C. 当  时  D. 当  时  9.已知 ，，则（ ） A.  B.  C.  D. 与  有关 10.已知 ，，则（ ） A.  B.  C.  D. 与  有关 11.比较  与  的大小：______。 12.比较  与  的大小：若  时差为 ，若  时差为 __，一般地， 当 ，对吗？（填“对”或“错”）。 13.比较  与 ：前者减后者 = ______，所以前者 ____ 后者。 14.比较  与 ：差为 ______。 15.比较  与 ：差为 ______，所以  对任意实数  成立（填“对”或“错”）。 16.比较  与 ：差 = ______，所以  ____ （填  或 ）。 17.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 18.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 19.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 20.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实数的大小 一、知识梳理 1. 不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，则含有这些不等号的式子，称为不等式. 2. 实数大小 数轴上任意两点中，右边点对应实数比左边点对应实数大。 3. 实数大小的基本性质 （1）a-b>0⇔a>b； （2）a-b=0⇔a<b； （3）a-b<0⇔a<b. 4. 比较法 比较法是一种常见的比较两个实数（或代数式）大小的方法.一般步骤：①作差 ②变形 ③判断符号 ④得出结论 二、题型精练 题型1 作差比较结果是一个常数 【典例1】．与大小 答案：  分析：比较两个代数式的大小，常用作差法。计算 ，若结果大于 0，则  更大；若小于 0，则相反。 详解： 因为 ，所以： 【典例2】．比较(a+2)(a+1)与的大小 答案：  分析：比较两个代数式的大小，通常用“作差法”，即计算两者的差，根据差的正负判断大小。 详解： 因为 ，所以： 题型2 作差比较结果是一个代数式 【典例1】．比较与大小 答案：  分析：用“作差法”比较两个代数式的大小，即计算两者之差，判断差的正负。 详解： 因为 ，所以： 即： 【典例2】.比较与2a-1的大小 答案：   分析：比较两个代数式的大小，常用作差法。计算差值，判断正负情况。 详解： 因为 ，所以 ，即： 三、知识检测 1．比较  与  的大小，正确结论是（ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 答案：A 分析：比较  与  的大小，可作差或直接观察。 详解： 因此  恒成立，与  的取值无关。 2．比较  与  的大小（ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 无法确定 答案：B 分析：计算  的差。 详解： 所以： 3．比较  与 ，对任意实数 ，正确的是( ) A. 前者大 B. 后者大 C. 前者大当  D. 前者小当  答案： C 分析：作差法比较  与 。 详解： · 当 ，即  时，前者大。 · 当 ，即  时，后者大。 · 当  时，两者相等。 选项分析： A. 前者大：错，只在  时成立。 B. 后者大：错，只在  时成立。 C. 前者大当 ：不精确（因为  才对），但  包含了 ，不过  在  区间时，前者小。所以 C 不对。 D. 前者小当 ：也不对，因为  时前者大。 4. 比较  与 ( ) A. 前者大 B. 后者大 C. 前者不小于后者 D. 后者不小于前者 答案：C 分析：比较  与  的大小，可用作差法。 详解： 所以： 5. 比较  与  A.小于 B. 大于 C. 小于等于 D. 无法比较 答案：C 分析： 详解： 因此： 6. 比较  与 （ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 答案： C 分析：展开 。 详解： 所以两者恒相等，与  无关。 7.比较  与 （ ） A. 前者大 B. 后者大 C. 相等 D. 与  有关 答案：B 分析：直接比较两式，后者比前者多 1。 详解： 所以  恒成立。 8.（多选）设 ，，则 A.  恒成立 B.  恒成立 C. 当  时  D. 当  时  答案：A C 分析：作差比较 。 详解： 所以  恒成立，等号当且仅当  时成立。 选项分析： · A.  恒成立 ✅ · B.  恒成立 ❌ · C. 当  时，（因为 ，平方为正） ✅ · D. 当  时， ❌（应为  吗？ 时  得 ，； 时 ，所以 D 错） 9.已知 ，，则 A.  B.  C.  D. 与  有关 答案：B 分析：比较  与  的大小，可用作差法。 详解： 10.已知 ，，则 A.  B.  C.  D. 与  有关 答案：B 分析：分别展开  和 ，然后作差比较大小。 详解： 11.比较  与  的大小：______。 答案：相等 分析：见详解 详解： 12.比较  与  的大小：若  时差为 ，若  时差为0，一般地， 当 ，对吗？（填“对”或“错”）。 答案： 对 分析：作差比较  与 。 详解： 1. 计算差 2. 当  3. 当  13.比较  与 ：前者减后者 = ______，所以前者 ____ 后者。 答案：前者减后者 ，所以前者 大于 后者。 分析：作差法比较  与  的大小。 详解： 14.比较  与 ：差为 ______。 答案：差为 。 分析：作差法比较  与 。 详解： 填：。 15.比较  与 ：差为 ______，所以  对任意实数  成立（填“对”或“错”）。 答案：差为 ，所以“对”。 分析：作差法比较  与 。 详解： 因为 ，所以 ， 因此  恒成立，从而  成立。 填：，对。 16.比较  与 ：差 = ______，所以  ____ （填  或 ）。 答案：差 = ，所以 。 分析：作差比较  与 。 详解： 因为 ，所以： 17.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 答案：差 = ，所以前者 小于 后者。 分析：作差法比较  与  详解： 因为 ，所以： 18.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 答案：差 = ，所以前者 不大于 后者（或填“≤”）。 分析：作差法比较  与 。 详解： · 当  时，差 > 0，前者大； · 当  时，差 = 0，相等； · 当  时，差 < 0，后者大。 19.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 答案：差 = ，所以前者 大于 后者。 分析：作差法比较  与 。 详解： 20.比较  与 ：差 = ______，所以前者 ____ 后者。 答案：差 = ，所以前者 小于 后者。 分析：作差法比较  与 。 详解： 因为 ，所以： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $