专题06 充要条件 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题06 充要条件 一、知识梳理 1. 充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，则q”是真命题 推出关系 由p可推出q. 用符号记作pq，读作“p推出q” 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 2. 充要条件 如果是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件.记作p⇔q. 二、题型精练 题型1 充分条件的判断 【典例1】．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p:a∈Q,q:a∈R; (2) (3) (4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 【典例2】．已知命题p:x为自然数，命题q:x为整数，则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型2 必要条件的判断 【典例1】．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等. （2）若ΔABC是直角三角形，则ΔABC是等腰三角形. （3）若，则x=y. （4）若关于x的方程ax+b=0((a,b∈R)有唯一解，则a>0. 【典例2】. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； （2) p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； （3）若a和b都是偶数，则a×b是偶数. 题型3 充要条件的判断 【典例1】．在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1) p:a=b，q:ac=bc; (2) p:a+5是无理数，q:a是无理数； (3) 若 (4) p:A∩B=A，q:. 【典例2】. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) (2) p:-1≤x≤5;q:x≥-1且x≤5 (3) p:A⊆B,q:A∩B=A 题型4 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【典例1】．已知p:x<-2或x>3，q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【典例2】. (1）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？ （2）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？ 三、知识检测 1．"(x-2)(x+3)=0"是"x=-3"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．"x为整数”是"2x+1为整数”的( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3．对于实数x,"0<x<1"是的 条件 ( ) A.充要 B.既不充分也不必要 C.必要不充分 D.充分不必要 4．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 5．设x∈R则的一个必要不充分条件为 ( ) A.x<1 B.x>1 C.x< D.x> 6．已知条件p:x>0，条件q:x≥3，则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．已知集合M={1,b},N={1,2,3}，则"b=2"是M⊆N的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．已知命题p:，命题q:x=1".则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9．"x=2023"是的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10． 使x＞1成立的一个必要条件是( ) A.x＞0 B.x＞3 C.x＞2 D.x＜2 11．若命题p：（x+y）（x-y）=0，q：x=y，则p是q的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12．“x，y为无理数”是“xy为无理数”（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13． "a=1"是"|a|=1"的 条件.（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”）。 14．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2}，那么“a∈M"是 的 条件.（填“充分”“必要”） 15．“方程无实根”的充要条件是 . 16． 若"-1<x<1"是"-1<x-m<1"的充要条件，则实数m的取值是 . 17．若条件p：ΔABC是等腰三角形，q: ΔABC是等边三角形，则p是q的 条件. 18.已知条件，条件q:mx+1=0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m 的值. 19．设p:x>a,q:x>3. （1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 充要条件 一、知识梳理 1. 充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，则q”是真命题 推出关系 由p可推出q. 用符号记作pq，读作“p推出q” 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 2. 充要条件 如果是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件.记作p⇔q. 二、题型精练 题型1 充分条件的判断 【典例1】．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p:a∈Q,q:a∈R; (2) (3) (4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 答案：(1) 是 (2) 是 (3) 是 (4) 不是 分析：充分条件是指“若  成立，则  成立”。即 。 详解： (1) ， 有理数一定是实数，所以  成立 ✅ (2) ，  代入  成立，所以  成立 ✅ (3) ， 当  时， 一定成立 ✅ (4)  或  若  成立， 可能是 2，此时  不成立，所以  不成立 ❌ 【典例2】．已知命题p:x为自然数，命题q:x为整数，则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 分析：自然数都是整数，但整数不一定是自然数（如负整数）。 因此  成立，但  不成立。 详解： · ： 是自然数（如 0,1,2,…） ⇒  是整数 ✅ · ： 是整数（如 -1,0,1,…） ⇏  是自然数（如 -1 不是自然数） ❌ 所以  是  的充分不必要条件。 题型2 必要条件的判断 【典例1】．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等. （2）若ΔABC是直角三角形，则ΔABC是等腰三角形. （3）若，则x=y. （4）若关于x的方程ax+b=0((a,b∈R)有唯一解，则a>0. 答案：（1）是 （2）不是 （3）是 （4）不是 分析： 是  的必要条件 ⇔  成立。 即“若  成立，则  成立”。 详解： (1) 若四边形是等腰梯形，则两条对角线相等 ✅（等腰梯形对角线相等） (2) 若  是直角三角形，则不一定是等腰三角形 ❌（如 3-4-5 三角形） (3) 若 ，则 （前提 ，原命题隐含该条件）✅ (4) 若方程 （）有唯一解，则  ❌（唯一解只需 ， 可为负） 因此（1）和（3）中的  是  的必要条件。 【典例2】. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； （2) p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； （3）若a和b都是偶数，则a×b是偶数. 答案：（1）是 （2）不是 （3）是 分析： 是  的必要条件 ⇔ 若  成立则  成立，即 。 详解： (1) 若两个三角形全等，则它们对应边上的中线相等 ✅（全等三角形对应中线相等） (2) 若两个三角形相似，则它们全等 ❌（相似不一定全等，如放大缩小） (3) 若  和  都是偶数，则  是偶数 ✅（偶数乘任何整数仍为偶数） 因此（1）和（3）中的  是  的必要条件。 题型3 充要条件的判断 【典例1】．在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1) p:a=b，q:ac=bc; (2) p:a+5是无理数，q:a是无理数； (3) 若 (4) p:A∩B=A，q:. 答案：(1) 充分不必要条件 (2) 充要条件 (3) 充要条件 (4) 充要条件 分析：分别判断  和  是否成立。 详解： (1) ， · 若 ，则  成立 ⇒  ✅ · 若 ，则 ，不一定有 （如  时  任意） ⇒  ❌ 所以  是  的 充分不必要条件。 (2)  是无理数， 是无理数 · 若  是无理数，则  是无理数（有理数加无理数为无理数） ⇒  ✅ · 若  是无理数，则  是无理数 ⇒  ✅ 所以  是  的 充要条件。 (3) ，， · 若 ，则  且  ⇒  ✅ · 若 ，则  ⇒  ✅ 所以  是  的 充要条件。 (4) ， · · 两者等价，所以  是  的 充要条件。 【典例2】. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) (2) p:-1≤x≤5;q:x≥-1且x≤5 (3) p:A⊆B,q:A∩B=A 答案：(1) 不是充要条件 (2) 是充要条件 (3) 是充要条件 分析：充要条件指  且  同时成立。 详解： (1) ， · ：若 ，则 ，成立 ✅ · ：解 ，两边平方得 ，即 ，解得  或 。 当  时，左边 ，右边 ，也满足原方程（注意 ）。 所以  也是解，此时 ，故  ❌ 因此不是充要条件。 (2) ， 两者表示同一个不等式组，等价 ✅ 因此是充要条件。 (3) ， · ，两者等价 ✅ 因此是充要条件。 题型4 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【典例1】．已知p:x<-2或x>3，q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 答案：实数  的取值范围是 。 分析： 或 ， 。  是  的必要不充分条件 ⇒  成立，但 。 详解： 1.  表示  的解集是  解集的子集。  的解集为 ， 的解集为 。 为使 ， 由于  是左半无穷区间，它只能包含在  的左半部分  中，不能包含  的部分（因为  是向左延伸的）。 因此要求 （这样  全部落在  内）。 得： 2.  表示  不是  的子集，即存在  满足  但不满足 。 当  时， 的解集为 （因为 ）， 中的  部分不满足 ，故  自动成立。 因此 。 【典例2】. (1）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？ （2）是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？ 答案：(1) 存在， (2) 存在， 分析：，记作 。 。 (1) 若  是  的充分条件 ⇒ ，即  的解集是  的解集的子集。  的解集是 ，它只能包含在  的左半部分  内（因为  是向左无限延伸的）。 要求： (2) 若  是  的必要条件 ⇒ ，即  的解集是  的解集的子集。 “ 是  的必要条件” ⇔ 。  表示：若  或 ，则 。 当  时，必须  ⇒ 。 当  时，必须  自动满足（如果  则 ，大于 -1，所以  在  中）。 所以  时， 中  部分被  包含， 也被包含（因为 ），因此  成立，但需注意  是 ，当  时， 中  当然在  中，所以  成立。 因此  时， 成立，即  是  的必要条件。 三、知识检测 1．"(x-2)(x+3)=0"是"x=-3"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 分析： 的解为  或 。 ，。 详解： · 若  成立（），则  一定成立 ⇒  ✅ · 若  成立（ 或 ），则  不一定成立（因为  可能是 2）⇒  ❌ 所以  是  的必要不充分条件。 2．"x为整数”是"2x+1为整数”的( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案：A 分析： 为整数， 为整数。 详解： · 若  为整数，则  为整数（整数乘 2 加 1 仍是整数） ⇒  ✅ · 若  为整数，则  为整数（整数减 1 仍是整数），所以  为整数或  为半整数？ 当  为整数时，设 ，则 ，所以 。  不一定是整数（如  时  不是整数）。 因此  ❌ 所以  是  的充分不必要条件。 3．对于实数x,"0<x<1"是的 条件 ( ) A.充要 B.既不充分也不必要 C.必要不充分 D.充分不必要 答案：D 分析：，。 详解： · 若 ，则  一定成立 ⇒  ✅ · 若 ，则不一定有 （例如  满足  但不满足 ）⇒  ❌ 所以  是  的充分不必要条件。 4．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 答案：A 分析： “没有共产党就没有新中国”可以理解为：如果没有共产党，那么就没有新中国。 设 ：没有共产党，：没有新中国。 原句逻辑形式为：如果 ，那么 ，即 。 在逻辑学中， 表示  是  的充分条件， 是  的必要条件。 详解： 原命题：如果没有共产党，那么没有新中国。 逆否命题：如果有新中国，那么有共产党。 所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件，即“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件。 因此应选 A。 5．设x∈R则的一个必要不充分条件为 ( ) A.x<1 B.x>1 C.x< D.x> 答案： B 分析：设 ，要找  使  成立且 ，即  是  的必要条件但不充分。 详解： ·  成立 ⇒ 。 A. ：若  成立，则  不成立，故  ❌ B. ：若 ，则  成立 ⇒  ✅ 但  时， 不一定大于 （如 ），故  ✅ C. ：， 成立时  可能大于 3.14（如 ），此时  不成立，故  ❌ D. ： 成立时  可能小于 （如 ），故  ❌ 因此只有 B 符合。 6．已知条件p:x>0，条件q:x≥3，则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 分析：，。 详解： · 若  成立（），则  一定成立 ⇒ ，即  是  的必要条件 ✅ · 若  成立（），则  不一定成立（例如  满足  但不满足 ）⇒  ❌ 所以  是  的必要不充分条件。 7．已知集合M={1,b},N={1,2,3}，则"b=2"是M⊆N的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 分析：，， 表示  且 （因集合元素互异），即  或 。 详解： · 若 ，则  成立 ⇒  是  的充分条件 ✅ · 若 ，则  可以是 2 或 3，不一定必须是 2 ⇒ 必要性不成立 ❌ 所以“”是“”的充分不必要条件。 8．已知命题p:，命题q:x=1".则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 分析：，。 详解： 1. 判断  解方程 ，设 ，则  ⇒  ⇒  或 。 ·  ⇒  ⇒  ·  ⇒  ⇒  所以方程的解为  或 。 因此  成立时， 可能是 2，此时  不成立 ⇒  ❌ 2. 判断  若 ，则左边 ，右边 ，等式成立 ⇒  ✅ 所以  是  的必要不充分条件。 9．"x=2023"是的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：D 分析：解方程 。 因式分解：，解得  或 。 详解： 原方程 ， 若 ，左边 = ，所以  不满足 。 所以  不成立。 若  成立，则  或 ，此时  不一定成立 ⇒ 。 因此  是  的既不充分也不必要条件。 10． 使x＞1成立的一个必要条件是( ) A.x＞0 B.x＞3 C.x＞2 D.x＜2 答案： A 分析：设 ，要找  使  成立（即  是  的必要条件）。 也就是  的范围要包含  的范围（即  的集合是  解集的子集）。 详解： · A. ：若 ，则  成立 ✅ · B. ：若 ，不一定 （如 ）❌ · C. ：同上，不一定 ❌ · D. ：若 ，不一定 （如 ）❌ 因此只有 A 是必要条件。 11．若命题p：（x+y）（x-y）=0，q：x=y，则p是q的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 分析：，即  或 ，也就是  或 。 。 详解： · 若  成立（），则  成立 ⇒  ✅ · 若  成立，则  或 ，不一定有 （如 ） ⇒  ❌ 所以  是  的必要不充分条件。 12．“x，y为无理数”是“xy为无理数”（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：D 分析： 为无理数， 为无理数。 详解： · 若  为无理数， 不一定为无理数（如 ，则  是有理数）⇒  ❌ · 若  为无理数， 不一定都为无理数（如 ，则  是无理数，但  是有理数）⇒  ❌ 所以  是  的既不充分也不必要条件。 13． "a=1"是"|a|=1"的 条件.（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”）。 答案：充分不必要条件 分析： ，。 详解： · 若 ，则  成立 ⇒  ✅ · 若 ，则  或 ，不一定有  ⇒  ❌ 所以  是  的 充分不必要条件。 14．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2}，那么“a∈M"是 的 条件.（填“充分”“必要”） 答案：必要不充分条件（填“必要”）。 分析：，。 “”是条件 ，“”是条件 。 详解： · 若 ，则  一定成立（因为 ）⇒ ，即  是  的必要条件 ✅ · 若 ，不一定有 （如  在  中但不在  中）⇒  ❌ 因此“”是“”的 必要不充分条件，应填 必要。 15．“方程无实根”的充要条件是 . 答案： 分析：方程  无实根的充要条件是判别式 。 详解： 无实根 ⇔  16． 若"-1<x<1"是"-1<x-m<1"的充要条件，则实数m的取值是 . 答案：𝑚=0 分析：“−1<𝑥<1”与“−1<𝑥−𝑚<1”等价，即两个不等式解集相同。 详解： 此解集要与  相等，必须： 解得 。 17．若条件p：ΔABC是等腰三角形，q: ΔABC是等边三角形，则p是q的 条件. 答案：必要不充分条件 分析：： 是等腰三角形，： 是等边三角形。 详解： · 若  成立（等边三角形），则  一定成立（等边三角形是特殊的等腰三角形） ⇒ ，即  是  的必要条件 ✅ · 若  成立（等腰三角形），则  不一定成立（如等腰但不等边） ⇒  ❌ 因此  是  的 必要不充分条件。 18.已知条件，条件q:mx+1=0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m 的值. 答案： 或 。 分析： ，解得  或 。 （），解得 。  是  的充分条件 ⇒ ，即  的解集是  的解集的子集。 详解：  的解为 ，它必须是  的解，即： 1. 若 ，则 。 2. 若 ，则 。 因此  或 。 19．设p:x>a,q:x>3. （1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 答案： (1)  (2)  分析：，。 详解： (1) 若  是  的必要不充分条件 即  成立，但 。 ·  表示  的解集是  的解集的子集，即  ⇒ 。 ·  表示  的解集不是  的子集，即存在  但  ⇒ （因为如果 ，则  都大于 3，会导致  成立，矛盾）。 所以 。 (2) 若  是  的充分不必要条件 即  成立，但 。 ·  表示  的解集是  的解集的子集，即  ⇒ 。 ·  表示  的解集不是  的子集，即存在  但 ，这要求 （因为若 ，则  都大于 3，此时  的解集与  相同， 成立，矛盾）。 所以 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $