专题05 集合的运算（二） 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题05集合的运算（二） 一、知识梳理 1.全集 在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集，通常用字母U表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集. 2. 补集 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作.即且xA}. 集合E就是集合N在全集U中的补集，即 3. 补集的性质 ①A∩=; ②A∪； ③ 4. 补集用Venn图表示如下（阴影部分所示） 二、题型精练 题型1会求集合的补集 【典例1】．已知全集U=N，集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，求ACuB的值. 【典例2】．全集A={2,4}｛5}，求a的值． 三、知识检测 1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5}，则CuA= ( ) A.{1,3,5} B.{2,4} C.{1,2,3,4,5} D.{1,5} 2．设全集U={a,b,c,d,e},A={a,b,d}，B={b}，则Cu(A∪B)=( ) A.{b} B.{a,d} C.{a,b,d} D.{c,e} 3．设全集是R，M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1}，则（CuM)∩N等于( ) A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<1} D.{x|-2≤x<1} 4．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5}，则(CuA)(CuB)=( ) A.{1,6} B.{4,5} C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7} 5．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ={1,3,4,6,7}，则集合( ) A.{2,5,8} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 6．已知全集U={a,b,c,d}，集合M={a,c}，则等于( ) A.Ø B.{a,c} C.{b,d} D.{a,b,c,d} 7．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8) 8．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则( ) A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10} 9．设全集U=R,A={x|0≤x≤6}，则=( ) A.{0,1,2,3,4,5,6} B.{x|x<0或x>6} C.{x|0<x<6} D.{x|x≤0或x≥6} 10． 已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示，则（( ) A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 11．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},（    ） A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{4,5} 12．设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B=｛2,3,4}，则等于（　　） A.{2,3} B.{1,4,5} C.{4,5) D.{1,5} 13． 如图，阴影部分所表示的集合为（ ） A. （ B.( C. D. B) 14．设U=R,A={x|a≤x≤b}，若 <3或x>4}，则a+b= 15．设全集U={x|x>-1},M={x|x>5}，则 . 16． 若集合A={x|-1≤x<1},S={x|-4≤x≤1}，= . 17． 已知U={x|x>0}， A={x|2≤x<6}，则 . 18． 设全集U={1,2,3,4,5},4},，求实数a的值. 19． 设全集 S={1,3,,A={1,|2x-1|}，若，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。 20． 已知全集U=R，A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，求A 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05集合的运算（二） 一、知识梳理 1.全集 在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集，通常用字母U表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集. 2. 补集 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作.即且xA}. 集合E就是集合N在全集U中的补集，即 3. 补集的性质 ①A∩=; ②A∪； ③ 4. 补集用Venn图表示如下（阴影部分所示） 二、题型精练 题型1会求集合的补集 【典例1】．已知全集U=N，集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，求ACuB的值. 答案：。 分析：全集 （自然数集）， 是自然数中不在  中的元素。 先求 ，再与  取交集。 详解： 1. ，所以 包含自然数中除 0,3,6,9,12 以外的所有数。 2. 。 与  取交集，即从  中剔除属于  的元素： · 3 和 9 在  中，去掉； · 1, 5, 7 不在  中，保留。 3. 因此： 【典例2】．全集A={2,4}｛5}，求a的值． 答案：。 分析：已知 ，，且 。 补集  是  中不属于  的元素。 由  可知： · 5 在  中且不在  中（显然 5 不在 A 中，成立）。 ·  中除了 5 以外的元素必须都在  中。 即  中除 5 外剩下的两个元素就是 （因为  正好有两个元素 2 和 4）。 详解： 1. ，补集  意味着： · 2 必须在  中（成立）。 ·  必须在  中，且 。 所以  必须等于 4（因为  中另一个元素是 4）。 2. 由  得  或 。 3. 此时 ，，，符合题意。 三、知识检测 1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5}，则CuA= ( ) A.{1,3,5} B.{2,4} C.{1,2,3,4,5} D.{1,5} 答案：B 分析：补集是全集  中不属于  的元素组成的集合。 详解： ，。 不属于  的元素是 2 和 4，因此 。 2．设全集U={a,b,c,d,e},A={a,b,d}，B={b}，则Cu(A∪B)=( ) A.{b} B.{a,d} C.{a,b,d} D.{c,e} 答案：D 分析：先求 ，再求其在全集  中的补集。 详解： 1. 。 2. ，所以补集为  中不在  中的元素：。 3．设全集是R，M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1}，则（CuM)∩N等于( ) A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<1} D.{x|-2≤x<1} 答案：A 分析：先求 ，再与  求交集。 详解： 1. ，所以 。 2. 。 3. 。 即  4．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5}，则(CuA)(CuB)=( ) A.{1,6} B.{4,5} C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7} 答案：D 分析：先分别求  和 ，再求并集。 详解： 1. 。 2. 。 3. 并集：。 5．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ={1,3,4,6,7}，则集合( ) A.{2,5,8} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 答案：A 分析：补集是全集  中不属于  的元素组成的集合。 详解： ，。  中不在  中的元素是 2, 5, 8，因此 。 6．已知全集U={a,b,c,d}，集合M={a,c}，则等于( ) A.Ø B.{a,c} C.{b,d} D.{a,b,c,d} 答案：C 分析：补集是全集  中不属于  的元素组成的集合。 详解： ，。  中不在  中的元素是  和 ，因此 。 7．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8) 答案： A 分析：先求 ，再与  取交集。 详解： 1. 。 2. ，则 。 8．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则( ) A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10} 答案：C 分析： 表示集合  中不属于  的元素组成的集合。 详解： ，。 在  中但不在  中的元素是 0, 2, 6, 10，所以 。 9．设全集U=R,A={x|0≤x≤6}，则=( ) A.{0,1,2,3,4,5,6} B.{x|x<0或x>6} C.{x|0<x<6} D.{x|x≤0或x≥6} 答案：B 分析：补集是实数集中不属于  的所有元素组成的集合。 ，其补集为 。 详解： 即  10． 已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示，则（( ) A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 答案：C 分析：由Veen图可知U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，所以（ 详解： 由Veen图可知U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，所以（ 11．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},（    ） A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{4,5} 答案：C 分析：补集是全集  中不属于  的元素组成的集合。 详解： ，。  中不在  中的元素是 3, 4, 5，因此 。 12．设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B=｛2,3,4}，则等于（　　） A.{2,3} B.{1,4,5} C.{4,5) D.{1,5} 答案：B 分析：先求 ，再求其在全集  中的补集。 详解： 1. 。 2. ，所以 。 13． 如图，阴影部分所表示的集合为（ ） A. （ B.( C. D. B) 答案：B 分析：先分析阴影部分元素特征，再结合集合运算定义逐一判断选项正误。 详解： 观察图形可知，阴影部分的元素需满足两个条件：一是属于集合B，二是不属于集合A。在集合运算中，“不属于集合A”可表示为A在全集U中的补集，因此阴影部分可表示为与B的交集，即∩B。 选项A为∩A,，其中表示全集U中不属于B 的元素， 表示A中不属于B的部分，与阴影部分“属于B且不属于A”的特征不符，故选项A错误。 选项B为B，其中CuA表示全集U中不属于A 的元素， B表示B中不属于A的部分，与阴影部分元素特征一致，故选项B正确。 选项C为，根据德摩根定律， ，表示全集U中不属于的元素，即B中不属于A的部分与A中不属于B的部分的并集，与阴影部分仅为“B中不属于A的部分”不符，故选项C错误。 选项D为，表示全集U中既不属于A也不属于B的元素，与阴影部分“属于B”的特征不符，故选项D错误。 14．设U=R,A={x|a≤x≤b}，若 <3或x>4}，则a+b= 答案： 分析： ， 则 （因为实数集中除去两个开区间剩下的闭区间）。 所以 ，，。 详解： 由 ，得 。 因此 ，，。 15．设全集U={x|x>-1},M={x|x>5}，则 . 答案： 分析： 全集 ，。 补集是  中不属于  的所有元素，即 。 详解： 即 。 16． 若集合A={x|-1≤x<1},S={x|-4≤x≤1}，= . 答案： 分析：全集 ，集合 。 补集是  中不属于  的所有元素，即  加上 （因为  但 ）。 详解： 即 。 17． 已知U={x|x>0}， A={x|2≤x<6}，则 . 答案：。 分析：全集 ，。 补集是  中不属于  的所有元素，即  与  的并集。 详解： 即 。 18． 设全集U={1,2,3,4,5},4},，求实数a的值. 答案：。 分析：全集 ，，。由补集定义， 与  的元素合起来正好是  的全部元素，且互不重复。 详解： 1. 由  知 。 由  知 ，且 。 2. 因为 ，且  中已有 1 和 4，所以  的第三个元素  只能是 3 或 5（因为 1 和 4 已在  中，且 ）。 同时， 的元素不能与  的元素重复，所以  且 。 3. 若 ，则 。 · 当  时，，，此时 ，，满足条件。 · 当  时，，但 1 已在  中，不能同时出现在补集中，且  元素必须与  不重复，故不成立。 4. 若 ，则 ，，此时  不是整数，不可能在  中（因  是整数集合），故不成立。 因此只有  满足条件。 19． 设全集 S={1,3,,A={1,|2x-1|}，若，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。 答案：存在，。 分析：已知全集 ，，。 由补集定义， 且 ，且  中除  的元素外只剩 0。 详解： 1. 由  得： 因式分解： 所以 。 2. 由  知  中不含 0，且  中除  的元素外只有 0，即 ，所以 ，且 。 3. 分别检验  的值： · ： ， ， ，不是 ，❌ · ： ， ， ，✅ · ： ， ， 但 5 不在  中，，❌ 因此只有  满足条件。 20． 已知全集U=R，A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，求A 答案：， 。 分析：先化简集合 ，再分别求并集和交集运算。 详解： 1. 解集合  所以 。 2. 求  ， 即 。 3. 求  4. 求  · · 因此： 即 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $