专题01 集合的概念 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题01 集合的概念 一、知识梳理 1. 集合 一般地，把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象的全体组成一个集合（简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素.一个集合，通常用大写的英文字母A,B,C,...表示，构成集合的这些对象是集合的元素，通常用小写的英文字母a,b,c,...表示。 2. 元素与集合之间的关系 （1）若a是集合A中的元素，记作：a∈A,读作：“a属于A”； （2）若a不是集合A中的元素，记作：aA，读作：“a不属于A”. 3. 集合元素的特性 （1）确定性；(2）互异性；(3）无序性． 4. 数集的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合称为有限集； （2）无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. （3）空集：不含任何元素的集合称为空集，记作：Ø. 5. 常见数集的符号表示 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记号 N 或N＊ Z Q R 二、题型精练 题型1 集合的概念 【典例1】．下列语句描述的对象能构成集合的是（    ） A． 图书馆内好书的全体 B． 所有较聪明的同学 C． 所有不小于3的实数 D． 著名歌手的全体 【典例2】．判断下列语句中的对象能否构成一个集合，并说明理由： （1）大于5的有理数； （2）某班个子较矮的学生； （3) 山东省较好的中职院校 题型2 元素与集合之间的关系 【典例1】．下列关系式正确的个数为 （    ） ①⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】. 用“∈”或“”填空. (1)2.7 Q; (2)0.1 N; (3)0 Z; (4)2 R; (5)-2 Ø; (6)0 N*; 题型3 集合中元素的特性及应用 【典例1】．若集合，求实数a满足的条件. 【典例2】. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围. 三、知识检测 1．下列语句中，能确定一个集合的是( ) A.班里长得高的男同学 B.很大的正整数 C．非常接近2的有理数全体 D．不超过10的非负整数 2．下列各组对象中不能构成集合的是 ( ) A．某校高一（2）班的全体男生 B. 某校全体学生的家长 C. 李明的所有家人 D. 王明的所有好朋友 3．下列四个关系正确的是( ) A. 0∈ B.={0} C. D. 4．下列方程的解集不是Ø的是( ) A.方程的解集 B.方程的解集 C.方程|x-1|<0的解集 D.方程|x|= -2的解集 5．已知，则x的值是( ) A.0 B.1 C.-2 D.±1 6．某集合中三个元素分别对应一个三角形的三条边长，则此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 7．下列四个关系式：③0∈N;.其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8．给出下列关系：①②③-3Z;④，其中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9．已知集合A是由0,m三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为 ( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 10． 若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A.3.14 B.-5 C. D. 11．下列关系正确的是（    ） A．-5∈N B．∈R C．∈Z D．∈Q 12．由小于9的正奇数组成的集合中，元素的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 13． 由10以内的质数组成的集合中包含 个元素.。 14．设不等式2x-1<0的解集为A，则3 A, A（用符号“”或“”填空） 15．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；) ③2026年2月在山东接种疫苗的所有人组成的集合；④末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 16． 已知集合A表示由2、4、6组成的集合，并且a∈A,6-a∈A，a的值为 . 17．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等.则a= . 18.集合N表示 集合；集合Z表示 集合；集合R＊表示 集合. 19．设集合A中含有三个元素3, x, （1）求实数x应满足的条件． （2）若-2∈A，求实数x. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念 一、知识梳理 1. 集合 一般地，把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象的全体组成一个集合（简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素.一个集合，通常用大写的英文字母A,B,C,...表示，构成集合的这些对象是集合的元素，通常用小写的英文字母a,b,c,...表示。 2. 元素与集合之间的关系 （1）若a是集合A中的元素，记作：a∈A,读作：“a属于A”； （2）若a不是集合A中的元素，记作：aA，读作：“a不属于A”. 3. 集合元素的特性 （1）确定性；(2）互异性；(3）无序性． 4. 数集的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合称为有限集； （2）无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. （3）空集：不含任何元素的集合称为空集，记作：Ø. 5. 常见数集的符号表示 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记号 N 或N＊ Z Q R 二、题型精练 题型1 集合的概念 【典例1】．下列语句描述的对象能构成集合的是（    ） A． 图书馆内好书的全体 B． 所有较聪明的同学 C． 所有不小于3的实数 D． 著名歌手的全体 答案： C 分析：集合的定义是：确定的、互异的、无序的对象的全体。关键在于“确定性”——任何一个对象是否属于这个整体必须明确。 详解： A. “好书”——没有明确标准，不确定，不能构成集合。 B. “较聪明的同学”——没有明确标准，不确定，不能构成集合。 C. “所有不小于 3 的实数”——有明确的标准（≥3），每个实数都可判断是否属于，能构成集合。 D. “著名歌手”——没有明确标准，不确定，不能构成集合。 【典例2】．判断下列语句中的对象能否构成一个集合，并说明理由： （1）大于5的有理数； （2）某班个子较矮的学生； （3) 山东省较好的中职院校 答案： （1）能构成集合 （2）不能构成集合 （3）不能构成集合 分析： 判断标准是“确定性”：给定一个对象，是否能明确判断它属于还是不属于这个整体。能明确判断的才能构成集合。 详解： （1）大于 5 的有理数 ——判断标准明确：如果一个数是有理数且大于 5，就属于这个整体，否则不属于。所以能构成集合。 （2）某班个子较矮的学生 ——“较矮”没有明确标准，是相对、模糊的，不能确定某个学生是否属于，所以不能构成集合。 （3）山东省较好的中职院校 ——“较好”没有统一、明确的评判标准，无法确切判断一所学校是否属于，所以不能构成集合。 题型2 元素与集合之间的关系 【典例1】．下列关系式正确的个数为 （    ） ①⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B 分析：逐个判断元素与集合的属于关系是否正确。 详解： ① ： 表示正整数集，2 是正整数 ✅ ② ： 不是整数 ✅ ③ ：集合  含有元素 2 ✅ ④ ：空集不含任何元素 ❌ ⑤ ：自然数集不含分数 ❌ ⑥ ： 不是有理数 ❌ 正确的有 ①、②、③，共 3 个。 【典例2】. 用“∈”或“”填空. (1)2.7 Q; (2)0.1 N; (3)0 Z; (4)2 R; (5)-2 Ø; (6)0 N*; 答案： (1) 2.7  Q (2) 0.1  N (3) 0  Z (4) 2  R (5) -2  Ø (6) 0  N* 分析：根据各数集的定义判断 详解： (1) 2.7 是有限小数 ⇒ 可化为分数  ⇒ 是有理数 ⇒  ✅ (2) 0.1 是小数 ⇒ 不是自然数 ⇒  ✅ (3) 0 是整数 ⇒  ✅ (4) 2 是实数 ⇒  ✅ (5) 空集不含任何元素 ⇒  ✅ (6)  是正整数集 ⇒ 0 不是正整数 ⇒  ✅ 题型3 集合中元素的特性及应用 【典例1】．若集合，求实数a满足的条件. 答案： 且 。 分析：集合元素的互异性要求 。 详解： 由  得 所以  且 。 【典例2】. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围. 答案：实数  的取值范围是  或 。 分析：方程  的解集  中至多有一个元素，即方程无实数解或只有一个实数解（重根也算一个元素）。 需分  和  两种情况讨论。 详解： 1. 当  时 方程化为 ，解得 ，有一个实数解，符合“至多一个元素”。✅ 2. 当  时 方程是一元二次方程，判别式： · 当  时，方程无实数解，，符合至多一个元素。 · 当  时，方程有一个实数解（重根），符合至多一个元素。 · 当  时，方程有两个不同实数解，不符合要求。 综合：  或 （含 ）。 所以： 三、知识检测 1．下列语句中，能确定一个集合的是( ) A. 班里长得高的男同学 B. 很大的正整数 C．非常接近2的有理数全体 D．不超过10的非负整数 答案： D 分析：集合必须满足“确定性”——即对于任意对象，都能明确判断它是否属于这个整体。 详解： A. “长得高的男同学”——没有明确标准，无法确定谁算“高”，不能构成集合。 B. “很大的正整数”——没有明确界限，不能构成集合。 C. “非常接近 2 的有理数”——“非常接近”没有明确标准，不能构成集合。 D. “不超过 10 的非负整数”——有明确范围：，能构成集合。 2．下列各组对象中不能构成集合的是 ( ) A．某校高一（2）班的全体男生 B. 某校全体学生的家长 C. 李明的所有家人 D. 王明的所有好朋友 答案： D 分析：集合的定义要求对象具有确定性。“好朋友”一词没有明确、统一的标准，无法准确判断一个人是否属于“王明的所有好朋友”。 详解： A. 某校高一（2）班的全体男生——对象明确，能构成集合。 B. 某校全体学生的家长——对象明确（每个学生对应的家长），能构成集合。 C. 李明的所有家人——有明确的血缘或法律关系，能构成集合。 D. 王明的所有好朋友——“好朋友”没有客观标准，不能构成集合。 3．下列四个关系正确的是( ) A. 0∈ B.={0} C. D. 答案： D 分析：空集  不含任何元素。 逐个判断关系式的正确性。 详解： A.  ❌ 空集不含任何元素。 B.  ❌ 空集不含元素，而  含元素 0。 C.  ❌ 方程  的解为 ，故该集合为 ，不是空集。 D.  ✅ 正确。 4．下列方程的解集不是Ø的是( ) A.方程的解集 B.方程的解集 C.方程|x-1|<0的解集 D.方程|x|= -2的解集 答案： B 分析：逐个方程在实数范围内求解，判断是否有解。 详解： A.  ⇒ ，无实数解 ⇒ 解集为 ∅。 B.  ⇒  ⇒ ，有解 ⇒ 解集不是 ∅。 C.  在实数范围内无解 ⇒ 解集为 ∅。 D.  不可能 ⇒ 解集为 ∅。 5．已知，则x的值是( ) A.0 B.1 C.-2 D.±1 答案： D 分析：已知 ，则  等于 0 或等于 。 集合  中的元素满足互异性，因此需考虑  时集合退化为单元素集的情况，但题目若要求集合  保持两个不同元素，则需 。 详解： 由  得： · 若 ，则 。此时集合 ，元素 0 在集合中，符合题意，但集合只有一个元素。 · 若 ，则 。 若要求集合  含有两个不同元素，则 ，故  或 。 因此 ，对应选项 D。 6．某集合中三个元素分别对应一个三角形的三条边长，则此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 答案：B 分析：集合中的元素具有互异性，即三个元素互不相同。 若一个三角形的三条边长作为集合的三个元素，则三条边长必须互不相等，所以三角形一定不是等腰三角形（包括等边三角形）。 详解： · 等腰三角形至少有两条边相等，此时对应集合中会出现重复元素，违反互异性。 · 等边三角形三条边都相等，更不符合集合互异性。 · 直角三角形、钝角三角形、锐角三角形都可以三条边互不相等，所以可能。 因此一定不是 等腰三角形。 7．下列四个关系式：;③0∈N;.其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 分析：逐个判断每个关系式的真假。 详解： ① ： 是实数 ✅ ② ： 是有理数，应属于 ，所以“”是错的 ❌ ③ ：通常  包括 0（中学教材有时包括有时不包括，但多数情况包含 0）✅（若按教材含 0） ④ ：集合  含有元素 0 ✅ 正确个数：①、③、④ 共 3 个。 8．给出下列关系：①;②③-3Z;④，其中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 分析：根据数集的定义判断每个关系是否正确。 详解： ① ：有理数也是实数 ✅ ② ： 是无理数，不属于有理数 ❌ ③ ： 是整数，应属于 ，所以“”是错的 ❌ ④ ： 是负数，不属于自然数 ✅ 正确的有 ① 和 ④，共 2 个。 9．已知集合A是由0,m三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为 ( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 答案： B 分析：集合  有三个元素，且 ，则 2 等于  或等于 。同时需保证集合中三个元素互异。 详解： 1. 若 ，则 ，集合为 ，有两个 0，违反互异性 ⇒ 。 2. 若 ，则  或 。 · 当  时，集合为 ，只有两个元素，违反“三个元素” ⇒ 。 · 当  时，集合为 ，三个元素互异，且  成立。 因此 。 10． 若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A.3.14 B.-5 C. D. 答案： D 分析： 是实数，但不是有理数，即  是无理数。 详解： · A. 3.14 是有限小数 ⇒ 可化为分数  ⇒ 是有理数 ❌ · B. -5 是整数 ⇒ 是有理数 ❌ · C.  是分数 ⇒ 是有理数 ❌ · D.  是开方开不尽的数 ⇒ 是无理数 ✅ 11．下列关系正确的是（    ） A．-5∈N B．∈R C．∈Z D．∈Q 答案： B 分析： 逐个判断每个元素与集合的属于关系。 详解： A. ：自然数集不含负数 ❌ B. ： 是实数 ✅ C. ：分数不是整数 ❌ D. ：分子是无理数，商仍为无理数，不是有理数 ❌ 12．由小于9的正奇数组成的集合中，元素的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A 分析：小于 9 的正奇数为 1, 3, 5, 7，共 4 个 详解：小于 9 的正奇数为 1, 3, 5, 7，共 4 个 13． 由10以内的质数组成的集合中包含 个元素.。 答案：包含 4 个元素。 分析：10 以内的质数：2, 3, 5, 7。共 4 个。 详解：质数指大于 1 的自然数中，只能被 1 和自身整除的数。 10 以内的质数有：2, 3, 5, 7。 14．设不等式2x-1<0的解集为A，则3 A, A（用符号“”或“”填空） 答案：，。 分析：解不等式  得 。 集合 。 详解： · ？不成立，所以 。 · ？不成立（因为 ，不满足小于），所以 。 15．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；) ③2026年2月在山东接种疫苗的所有人组成的集合；④末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 答案：是有限集的序号为 ②③，是无限集的序号为 ①④。 分析： 有限集是指集合中的元素个数有限，无限集则是元素个数无限。 详解： ① 5 的负整数倍：即 ，有无穷多个 ⇒ 无限集。 ② 2022 的正约数：2022 的正约数个数有限 ⇒ 有限集。 ③ 2026 年 2 月在山东接种疫苗的所有人：人数有限 ⇒ 有限集。 ④ 末位是 7 的自然数：，无穷多个 ⇒ 无限集。 16． 已知集合A表示由2、4、6组成的集合，并且a∈A,6-a∈A，a的值为 . 答案： 的值为 2 或 4。 分析：集合 ，且 ，同时 。 依次检验  是否满足条件。 详解： · 若 ，则  ⇒ 成立。 · 若 ，则  ⇒ 成立。 · 若 ，则  ⇒ 不成立。 所以  或 。 17．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等.则a= . 答案： 分析：，。 若 ，则  必须等于 4。 详解： 由  得  或 。 两者都能使  成立 18.集合N表示 集合；集合Z表示 集合；集合R＊表示 集合. 答案：集合  表示 自然数 集合；集合  表示 整数 集合；集合  表示 非零实数 集合。 分析：见详解 详解： ：自然数集 · ：整数集 · ：非零实数集 19．设集合A中含有三个元素3, x, （1）求实数x应满足的条件． （2）若-2∈A，求实数x. 答案：（1）实数  应满足：，且 ，且  （2）若 ，则  或 。 分析：集合元素需互异，所以  两两不相等。 由  得  或 ，再代入检验互异性。 详解： （1）互异性条件 ·  ✅ · · 综合：，且 ，且  （2）若  · 若 ，则 ，集合为 ，互异，成立。 · 若 ，则 ，判别式 ，无实数解。 因此 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $